CE QUE TU DOIS SAVOIR FAIRE — écrire une équation de désintégration (α, β⁻, β⁺) avec les lois de conservation, exploiter la loi de décroissance \(N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}\) et la demi-vie, relier l'activité au nombre de noyaux — et dater un échantillon au carbone 14.
≈ 60 min de travail · 15 exercices corrigés · mis à jour août 2026
SOMMAIRE ▾
1. Le crépitement du compteur
Approche un compteur Geiger d'un vieux réveil à aiguilles phosphorescentes : clic… clic-clic… clic. Chaque clic est un événement microscopique et définitif — quelque part dans la peinture, un noyau d'atome vient de craquer : trop instable pour durer, il s'est transformé en un autre noyau en éjectant une particule. C'est ça, la radioactivité. Rien d'exotique d'ailleurs : une banane crépite aussi, très doucement (son potassium 40), et toi-même tu contiens quelques milliards de noyaux de carbone 14.
Le paradoxe qui fait tout le chapitre : chaque clic est imprévisible, et pourtant l'ensemble est réglé comme une horloge. Impossible de dire quel noyau craquera le prochain, ni quand — mais sur des milliards de noyaux, la population fond à un rythme si régulier que les archéologues datent une momie à quelques dizaines d'années près. Le hasard individuel, la loi collective : tu as déjà rencontré ce duo dans les probabilités.
Voici la population de départ : des noyaux radioactifs, tous intacts, tous identiques — et tous porteurs de la même minuscule probabilité de craquer dans la seconde qui vient. À la section suivante, tu avances le temps toi-même.
La population de départ : des noyaux identiques, tous intacts, dont l'un vient de se désintégrer en éjectant une particule. À la section suivante, cette population passe à 400 noyaux — et c'est toi qui tiens l'horloge.
2. La moitié, encore la moitié : la demi-vie
Voici 400 noyaux radioactifs, et un curseur qui avance le temps. Avant de toucher : un pronostic. Si la moitié des noyaux disparaît pendant la première période, que se passe-t-il pendant la deuxième — tout disparaît, ou… autre chose ? Avance, et compte.
INTERACTIFLa moitié, encore la moitié
temps écoulé : 0 demi-vie(s)
N = 400 noyauxil reste 100,0 %400 noyaux, tous intacts — avance le temps
200 sur 400 : la moitié a craqué. Mais lesquels ? Impossible à prévoir — regarde le désordre des points éteints. Le hasard ne prévient pas ; il tient pourtant ses comptes.
Le quart (100). Remarque capitale : les 200 survivants de la première période n'étaient pas « plus solides » que les autres — ils ont refondu de moitié, exactement comme la population de départ. Un noyau ne vieillit pas.
Le huitième (50). La population fond par moitiés, jamais par soustraction — 400, 200, 100, 50 : chaque période divise, elle ne retranche pas.
25 sur 400 — un peu plus de 6 %. Et ça continuera : 12, puis 6, puis 3… Une décroissance par moitiés ne tombe jamais à zéro d'un coup.
L'ordre d'extinction des points est tiré au hasard — recharge la page et il changera. Le compte, lui, ne change jamais : c'est toute la différence entre un noyau et une population.
Ce que tu viens de constater du bout du curseur, voilà comment on le dit.
DÉFINITION
Un noyau radioactif est un noyau instable. Sa désintégration — sa transformation en un autre noyau, avec émission d'une particule — est aléatoire (on ne peut pas prévoir quand), spontanée (rien ne la déclenche ni ne l'accélère) et inéluctable (elle finira par arriver).
DÉFINITION
La demi-vie \(t_{1/2}\) d'un noyau radioactif est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux d'un échantillon s'est désintégrée. Elle ne dépend que du noyau — de quelques microsecondes (polonium 214) à des milliards d'années (uranium 238) : 5 730 ans pour le carbone 14, 30 ans pour le césium 137, 8 jours pour l'iode 131.
POURQUOI ?
Pourquoi des moitiés, et pas une fonte régulière ? Parce que le hasard nucléaire n'a pas de mémoire : à chaque instant, chaque noyau survivant a exactement la même probabilité de craquer que le premier jour — il ne s'use pas, ne vieillit pas. La population restante rejoue donc sans cesse la même partie : en une demi-vie, elle perd la moitié d'elle-même, quelle que soit sa taille. C'est le mécanisme exact du chrono constant de la cinétique d'ordre 1 — même hasard, autre échelle.
TESTE-TOITrois questions, trente secondes
Q1La désintégration d'un noyau radioactif donné est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — aléatoire et spontanée : ni la température, ni la pression, ni la chimie n'y changent rien — contrairement aux réactions du chapitre précédent. La loi ne vaut que pour la foule.
Q2Au bout d'une demi-vie, un échantillon de 600 noyaux en compte encore…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — la moitié, à peu près — « à peu près » parce que c'est une loi statistique : sur 600 noyaux la fluctuation est minuscule, sur 6 elle serait énorme.
Q3Après deux demi-vies, il reste…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — moitié de moitié. Répondre « plus rien », c'est soustraire au lieu de diviser — le piège n°1 du chapitre, et tu viens de le désamorcer au curseur.
3. Écrire une désintégration : les équations nucléaires
Avant de compter les noyaux, il faut savoir écrire ce qui leur arrive. Un noyau se note \(^{A}_{Z}\mathrm{X}\) : \(Z\) protons (l'identité chimique de l'élément), \(A\) nucléons en tout (protons + neutrons). Deux noyaux de même \(Z\) mais de \(A\) différents sont des isotopes — le carbone 12, stable, et le carbone 14, radioactif, sont le même élément avec deux neutrons d'écart. Quand un noyau instable craque, il éjecte une particule — et l'écriture de l'équation obéit à deux lois de fer. Entraîne l'œil : quatre désintégrations, une seule équation juste à chaque fois.
INTERACTIFTrouve la bonne équation
NOYAU 1/4
Le radium des anciennes montres lumineuses se désintègre en émettant une particule α : \(^{226}_{88}\mathrm{Ra} \longrightarrow\) … laquelle ?
Le carbone 14 est un émetteur β⁻ : \(^{14}_{6}\mathrm{C} \longrightarrow\) … laquelle ?
Le fluor 18 des scanners TEP de l'hôpital est un émetteur β⁺ : \(^{18}_{9}\mathrm{F} \longrightarrow\) … laquelle ?
Le polonium 210 se désintègre en plomb : \(^{210}_{84}\mathrm{Po} \longrightarrow {}^{206}_{82}\mathrm{Pb} + \;?\) — quelle est la particule émise ?
PAS ENCORE — fais les deux comptes : la somme des A doit se conserver, la somme des Z aussi.
EXACT — A : 226 = 4 + 222 ✔ et Z : 88 = 2 + 86 ✔ — c'est le radon 86. Les deux autres rataient l'un des deux comptes : les lois de conservation tranchent toujours.
EXACT — en β⁻, un neutron devient proton : Z monte de 1 (6 → 7, l'azote), A ne bouge pas, et les charges se conservent (6 = 7 − 1). La troisième proposition écrivait « N » avec Z = 6 — impossible : c'est Z qui fait l'élément.
EXACT — en β⁺, un proton devient neutron : Z descend de 1 (9 → 8, l'oxygène) et la particule émise est un positon \(^{0}_{1}e\). La première proposition faisait monter Z — c'est le sens du β⁻, pas du β⁺.
EXACT — les comptes désignent le coupable : il manque A = 4 et Z = 2 — une particule α. Un β⁻ n'enlève pas de nucléons, un γ n'enlève rien du tout (c'est un photon, de l'énergie pure).
PROPRIÉTÉ — LES LOIS DE CONSERVATION
Dans toute équation de désintégration, deux quantités se conservent : le nombre de nucléons (la somme des \(A\)) et la charge électrique (la somme des \(Z\)). Ces deux lois suffisent à écrire — ou à vérifier — n'importe quelle équation nucléaire.
LES TROIS RADIOACTIVITÉS+ LE RAYONNEMENT γ
Type
Particule émise
Effet sur le noyau
Arrêté par
α
noyau d'hélium \(^{4}_{2}\mathrm{He}\)
\(A\) − 4, \(Z\) − 2
une feuille de papier
β⁻
électron \(^{\;\;0}_{-1}e\)
\(Z\) + 1, \(A\) inchangé
quelques mm d'aluminium
β⁺
positon \(^{0}_{1}e\)
\(Z\) − 1, \(A\) inchangé
quelques mm d'aluminium
γ
photon (énergie pure)
aucun changement de \(A\) ni \(Z\)
une forte épaisseur de plomb ou de béton
MÉTHODE — ÉCRIRE UNE ÉQUATION DE DÉSINTÉGRATION
1.Écris le noyau père et la particule émise avec leurs notations \(^{A}_{Z}\mathrm{X}\) (α = \(^{4}_{2}\mathrm{He}\), β⁻ = \(^{\;\;0}_{-1}e\), β⁺ = \(^{0}_{1}e\)).
2.Trouve le noyau fils par les deux conservations : \(A_{\text{fils}} = A_{\text{père}} - A_{\text{particule}}\) et \(Z_{\text{fils}} = Z_{\text{père}} - Z_{\text{particule}}\).
3.Identifie l'élément fils par son \(Z\) dans la classification, et contrôle les deux sommes. Contrôle-réflexe : c'est \(Z\) qui nomme l'élément — un « azote » avec \(Z = 6\) est une faute, pas une variante.
EXEMPLE RÉSOLU — L'URANIUM DES ROCHES
L'uranium 238 (\(Z = 92\)) est un émetteur α. Écris l'équation de sa désintégration, sachant que l'élément de numéro atomique 90 est le thorium Th.
Étape 1 — père et particule : \(^{238}_{92}\mathrm{U} \longrightarrow {}^{4}_{2}\mathrm{He} + {}^{A}_{Z}\mathrm{X}\).
Conclusion : deux soustractions, une lecture de classification, deux vérifications — l'équation nucléaire est l'un des exercices les plus « mécaniques » du bac. Autant dire : des points à ne jamais laisser.
TESTE-TOIEncore trois sur les équations
Q1Dans une équation de désintégration, on conserve…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — nucléons et charge — les deux lois qui écrivent toutes les équations du chapitre. Le nombre de neutrons, lui, change dans les β : un neutron y devient proton (ou l'inverse).
Q2Lors d'une désintégration β⁻, le numéro atomique \(Z\) du noyau…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — l'électron émis emporte une charge −1 : pour que le compte tienne, \(Z\) monte de 1 (un neutron est devenu proton). Le noyau change d'élément — le carbone 14 devient de l'azote.
Q3La particule α, c'est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — deux protons, deux neutrons : un vrai morceau de noyau, lourd et vite arrêté (une feuille de papier suffit). L'électron, c'est le β⁻ ; le photon, le γ.
4. La loi de décroissance
Retour au comptage — mais cette fois avec une formule au bout. La population de la section 2 dessinait déjà une courbe ; la voici pour un noyau précis, le césium 137 (demi-vie : 30 ans), tristement célèbre depuis Tchernobyl. Avance le temps, et regarde la formule s'instancier sous le graphique.
INTERACTIFLa loi sous la courbe
temps écoulé : 0 ans
N/N0 = 100,0 %t = 0 — la population entière
Césium 137 : t1/2 = 30 ans, λ = ln 2 / 30 = 0,0231 an⁻¹. Les repères en pointillés apparaissent à chaque demi-vie passée — l'escalier des moitiés se découvre en avançant.
La forme de cette courbe, tu la connais par cœur : c'est une exponentielle décroissante. Et ce n'est pas un hasard de dessinateur.
DÉFINITION
Pour un échantillon de \(N_0\) noyaux radioactifs identiques à l'instant \(t = 0\), le nombre de noyaux non encore désintégrés à l'instant \(t\) suit la loi de décroissance radioactive :
$$N(t) = N_0 \, e^{-\lambda t}$$
où \(\lambda\), la constante radioactive (en s⁻¹, ou an⁻¹…), caractérise le noyau : plus \(\lambda\) est grande, plus la population fond vite. Cette loi est la solution de l'équation \(N' = -\lambda N\) — le nombre de désintégrations par seconde est proportionnel au nombre de noyaux présents. C'est ton équation \(y' = ay\) du chapitre primitives, et la jumelle nucléaire de la cinétique d'ordre 1 du chapitre précédent.
PROPRIÉTÉ — DEMI-VIE ET CONSTANTE RADIOACTIVE
La demi-vie et la constante radioactive se déduisent l'une de l'autre :
$$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$$
Et la loi redonne bien l'escalier des moitiés : à chaque durée \(t_{1/2}\) écoulée, \(N\) est divisé par 2 — quel que soit le point de départ.
MÉTHODE — EXPLOITER LA LOI DE DÉCROISSANCE
1.Passe de la demi-vie (donnée des énoncés) à la constante : \(\lambda = \dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}\) — et garde des unités cohérentes (des ans avec des an⁻¹).
2.Pour une durée qui est un multiple entier de \(t_{1/2}\), pas de calculatrice : compte les moitiés (\(2\,t_{1/2}\) → un quart, \(3\,t_{1/2}\) → un huitième…).
3.Sinon, applique \(N = N_0\,e^{-\lambda t}\) (ou son inverse \(t = \dfrac{\ln(N_0/N)}{\lambda}\)). Contrôle-réflexe : encadre toujours le résultat entre deux marches de l'escalier des moitiés.
EXEMPLE RÉSOLU — QUARANTE ANS APRÈS TCHERNOBYL
L'accident de Tchernobyl (1986) a dispersé du césium 137 (\(t_{1/2} = 30\) ans). Quelle fraction du césium déposé restait-il en 2026, quarante ans plus tard ?
Étape 2 — encadrement : 40 ans est entre \(t_{1/2}\) (50 %) et \(2\,t_{1/2}\) (25 %).
Étape 3 — \(\dfrac{N}{N_0} = e^{-0{,}0231 \times 40} = 0{,}40\) : environ 40 % — dans la fourchette prévue. ✔
Conclusion : quarante ans après, presque la moitié du césium est toujours là. La décroissance radioactive ne se nettoie pas, ne se chauffe pas, ne s'accélère pas — elle s'attend.
TESTE-TOITrois questions sur la loi
Q1La loi \(N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}\) décrit…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — exponentielle : chaque demi-vie divise par 2, la courbe s'aplatit sans jamais toucher zéro. Une décroissance linéaire retrancherait la même quantité à chaque période — ce n'est pas ce que fait le hasard sans mémoire.
Q2Si \(t_{1/2} = 30\) ans, alors λ vaut…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — \(\lambda = \ln 2 / t_{1/2}\), l'inverse d'un temps. La deuxième réponse a l'unité d'un temps (éliminatoire d'office), la troisième oublie le \(\ln 2\) — le même piège qu'en cinétique.
Q3La demi-vie d'un noyau dépend…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — c'est une carte d'identité du noyau — ni la quantité, ni la température, ni la chimie n'y peuvent rien (la désintégration est spontanée). C'est ce qui rend la radioactivité si fiable pour dater… et si difficile à « nettoyer ».
5. L'activité et la datation au carbone 14
Reste à raccorder la loi au compteur Geiger du début. Ce que le compteur entend, ce n'est pas \(N\) — les noyaux présents sont silencieux — mais les désintégrations, clic par clic. Ce débit de clics porte un nom, et une unité en l'honneur d'Henri Becquerel.
DÉFINITION
L'activité \(A\) d'un échantillon est le nombre de désintégrations par seconde. Elle se mesure en becquerels (1 Bq = 1 désintégration par seconde) et elle est proportionnelle au nombre de noyaux présents : \(A = \lambda N\). Conséquence : l'activité décroît comme \(N\) — \(A(t) = A_0\,e^{-\lambda t}\), avec la même demi-vie.
Et c'est cette activité qui fait de la radioactivité une machine à remonter le temps. Tout organisme vivant échange du carbone avec l'atmosphère : son taux de carbone 14 reste constant tant qu'il vit. À sa mort, les échanges cessent — et le stock de carbone 14, isolé, se met à fondre par moitiés. Mesure ce qu'il en reste, et tu sais depuis combien de temps l'horloge tourne. Essaie : trois objets t'attendent.
INTERACTIFRemonte le temps
carbone 14 restant : 100 %
âge : tout juste mortrègle la fraction mesurée, ou choisis un objet
Sous 5 % environ, l'activité devient trop faible pour être mesurée proprement : au-delà de 40 000 à 50 000 ans, le carbone 14 rend l'antenne. Pour dater des dinosaures, il faut d'autres noyaux, aux demi-vies bien plus longues.
Carbone 14 : t1/2 = 5 730 ans. La méthode date la mort d'un organisme (bois, os, tissu, charbon) — jamais une pierre taillée : la pierre n'a jamais vécu.
POURQUOI ?
Pourquoi le taux est-il constant chez les vivants ? Le carbone 14 se désintègre aussi en toi — mais tu le renouvelles en permanence : alimentation, respiration, tout ton carbone s'échange avec l'atmosphère, où le carbone 14 est régénéré par les rayons cosmiques. Vivre, c'est maintenir le niveau de la jauge. Mourir, c'est couper le robinet — et laisser l'horloge des moitiés tourner seule.
MÉTHODE — DATER UN ÉCHANTILLON
1.Mesure l'activité \(A\) de l'échantillon, et compare-la à l'activité \(A_0\) d'un organisme vivant de même nature (une donnée de l'énoncé).
2.Si \(A/A_0\) est une puissance de \(\tfrac{1}{2}\) (50 %, 25 %, 12,5 %…), compte les demi-vies — sans calculatrice.
3.Sinon, inverse la loi : \(t = \dfrac{\ln(A_0/A)}{\lambda} = t_{1/2} \times \dfrac{\ln(A_0/A)}{\ln 2}\). Contrôle-réflexe : encadre l'âge entre deux multiples de la demi-vie.
EXEMPLE RÉSOLU — LE CHARBON DU FOYER
Un charbon de bois découvert dans un foyer préhistorique a une activité égale à 25 % de celle d'un bois vivant. Date le foyer (\(t_{1/2} = 5\,730\) ans).
Étape 2 — \(t = 2 \times 5\,730 = 11\,460\) ans. Le feu a brûlé il y a environ 11 500 ans.
Conclusion : l'arbre est mort quand on l'a coupé pour le feu — c'est cette mort que le carbone 14 date. Les archéologues ne datent pas des objets : ils datent des arrêts d'horloge biologiques.
TESTE-TOIQuatre questions pour finir
Q1L'activité d'un échantillon radioactif, c'est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — un débit de clics, en becquerels. Elle est proportionnelle au nombre de noyaux (\(A = \lambda N\)) — c'est le lien, pas la définition.
Q2Un becquerel, c'est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — l'unité la plus concrète du chapitre : un clic de compteur par seconde. Une banane, c'est une quinzaine de becquerels — zéro danger, mais un joli ordre de grandeur à retenir.
Q3Pour dater un échantillon au carbone 14, on compare son activité…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — \(A_0\) est le niveau du vivant — le point de départ de l'horloge. Une roche n'a pas de carbone 14 à offrir : elle n'a jamais respiré.
Q4Le carbone 14 permet de dater…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — du vivant mort, et pas trop ancien — au-delà, l'activité est trop faible pour être mesurée. Pour les roches et les millions d'années, on change de noyau (potassium-argon, uranium-plomb) : même loi, autre demi-vie.
LES PIÈGES CLASSIQUES
« Après deux demi-vies, tout a disparu. » Non : moitié de moitié = quart. La décroissance divise, elle ne soustrait pas — après \(n\) demi-vies il reste \(1/2^n\), et une exponentielle ne s'annule jamais.
Prédire le destin d'un noyau précis. Impossible, par nature : la désintégration est aléatoire, et la loi \(N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}\) ne parle que de populations. « Ce noyau va craquer dans 30 ans » est une phrase qui n'a pas de sens physique.
Bâcler une loi de conservation. Somme des \(A\) et somme des \(Z\), les deux, à chaque équation — et c'est \(Z\) qui nomme l'élément : un noyau qui change de \(Z\) change de nom. Écrire « \(^{14}_{6}\mathrm{N}\) », c'est inventer un élément.
Croire que la demi-vie s'use ou se règle. Les survivants ne sont pas « plus fragiles » (ni plus solides) : chaque noyau garde la même probabilité de craquer, toujours. Et aucun facteur — température, pression, chimie — ne change \(t_{1/2}\) : rien à voir avec la cinétique chimique du chapitre précédent.
Dater n'importe quoi au carbone 14. Il date la mort d'un organisme (bois, os, fibre, charbon), jamais une pierre ou un métal — et plus rien de fiable au-delà de ≈ 50 000 ans, quand l'activité devient indétectable. La pirogue, oui ; le silex qui l'a creusée, non.
L'ESSENTIEL EN 5 LIGNES
NOYAU
Instable → désintégration aléatoire, spontanée, inéluctable ; seul l'ensemble suit une loi.
ÉQUATION
Conservation des \(A\) et des \(Z\) ; α = \(^{4}_{2}\mathrm{He}\), β⁻ = \(^{\;\;0}_{-1}e\) (Z + 1), β⁺ = \(^{0}_{1}e\) (Z − 1), γ = photon.
LOI
\(N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}\), solution de \(N' = -\lambda N\) ; \(\lambda\) caractérise le noyau.
DEMI-VIE
\(t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}\) : chaque période divise \(N\) par 2 — un quart après deux, un huitième après trois.
ACTIVITÉ
\(A = \lambda N\) en becquerels, décroît comme \(N\) ; dater = comparer \(A\) à l'\(A_0\) du vivant.
Exercices
15 corrigés
Commence par le niveau 1. Cherche vraiment avant d'ouvrir le corrigé — c'est là que ça rentre. Les exercices suivent l'ordre du cours : notation et équations, demi-vie et loi de décroissance, activité, datation, et un problème pour finir.
EXERCICE 01 · isotopes et notationniveau 1
Le carbone existe notamment sous les formes \(^{12}_{6}\mathrm{C}\) (stable) et \(^{14}_{6}\mathrm{C}\) (radioactif). a. Donne le nombre de protons et de neutrons de chacun. b. Pourquoi dit-on que ce sont des isotopes ? c. Lequel des deux nombres, \(A\) ou \(Z\), fait qu'un noyau est « du carbone » ?
CORRIGÉ
a. — tous deux ont \(Z = 6\) protons ; les neutrons : \(12 - 6 = 6\) pour le premier, \(14 - 6 = 8\) pour le second.
b. — même \(Z\), \(A\) différents : même élément, nombres de neutrons différents — la définition des isotopes.
c. — \(Z\) : c'est le nombre de protons qui fait l'identité chimique. \(A\) ne fait que compter les nucléons.
Conclusion : \(Z\) nomme, \(A\) pèse. Deux neutrons de trop suffisent à rendre un noyau bavard — le carbone 14 crépite, le 12 se tait.
EXERCICE 02 · une désintégration αniveau 1
Le radon 222 (\(^{222}_{86}\mathrm{Rn}\)), gaz radioactif naturel des sous-sols granitiques, est un émetteur α. Écris l'équation de sa désintégration et vérifie les deux lois de conservation (l'élément \(Z = 84\) est le polonium Po).
CORRIGÉ
Étape 1 — α = \(^{4}_{2}\mathrm{He}\) : le fils a \(A = 222 - 4 = 218\) et \(Z = 86 - 2 = 84\), c'est du polonium.
Conclusion : deux soustractions, deux vérifications — et note que le fils est lui-même radioactif : les chaînes de désintégration s'enchaînent ainsi jusqu'à un noyau stable.
EXERCICE 03 · une désintégration β⁻niveau 1
Le césium 137 (\(^{137}_{55}\mathrm{Cs}\)) est un émetteur β⁻. Écris l'équation de sa désintégration (l'élément \(Z = 56\) est le baryum Ba) et vérifie les conservations.
Conclusion : en β⁻, un neutron devient proton — \(Z\) monte d'un cran, l'élément change de nom, et l'électron éjecté emporte la différence de charge.
EXERCICE 04 · le β⁺ de l'hôpitalniveau 2
Dans un scanner TEP, on injecte au patient du fluor 18 (\(^{18}_{9}\mathrm{F}\)), émetteur β⁺, fixé sur un sucre : les tissus les plus gourmands en sucre (les tumeurs) s'illuminent. a. Écris l'équation de la désintégration (l'élément \(Z = 8\) est l'oxygène). b. En quoi le β⁺ diffère-t-il du β⁻ ? c. La demi-vie du fluor 18 est de 110 minutes : pourquoi est-ce un atout pour le patient ?
b. — la particule est un positon (charge +1) : un proton devient neutron et \(Z\) descend de 1 — le miroir du β⁻.
c. — en 110 minutes, la moitié disparaît ; au bout d'une journée (≈ 13 demi-vies), il ne reste presque rien : l'examen fait, la radioactivité s'éteint d'elle-même dans le corps.
Conclusion : la médecine choisit ses noyaux comme on choisit un minuteur — assez actifs pour l'image, assez éphémères pour le patient.
EXERCICE 05 · identifier la particuleniveau 2
Le cobalt 60, utilisé en radiothérapie, se désintègre selon \(^{60}_{27}\mathrm{Co} \longrightarrow {}^{60}_{28}\mathrm{Ni} + \;?\) (suivi d'une émission γ). a. Identifie la particule manquante par les lois de conservation. b. De quel type de radioactivité s'agit-il ? c. Que transporte l'émission γ qui l'accompagne ?
CORRIGÉ
a. — il manque \(A = 60 - 60 = 0\) et \(Z = 27 - 28 = -1\) : la particule est \(^{\;\;0}_{-1}e\), un électron.
b. — une désintégration β⁻.
c. — de l'énergie pure : le noyau fils, né excité, se « détend » en émettant un photon γ — sans changer ni \(A\) ni \(Z\). C'est ce rayonnement, très pénétrant, que la radiothérapie exploite.
Conclusion : les lois de conservation fonctionnent aussi en sens inverse — donne-moi le père et le fils, je te nomme la particule.
EXERCICE 06 · lire une courbe de décroissanceniveau 2
L'iode 131 (utilisé pour traiter la thyroïde) a été suivi dans un flacon : la courbe part de \(N_0 = 8{,}0 \times 10^{20}\) noyaux et passe par \(4{,}0 \times 10^{20}\) à \(t = 8\) jours. a. Donne la demi-vie de l'iode 131. b. Combien de noyaux restera-t-il à \(t = 24\) jours ? c. Au bout de combien de temps en restera-t-il moins de 1 % ? (Encadre par des demi-vies avant tout calcul.)
CORRIGÉ
a. — la moitié en 8 jours : \(t_{1/2} = 8\) jours.
b. — 24 jours = 3 demi-vies : \(8{,}0 \to 4{,}0 \to 2{,}0 \to 1{,}0\), soit \(1{,}0 \times 10^{20}\) noyaux.
c. — 1 % est entre \(1/2^6\) (1,6 %) et \(1/2^7\) (0,8 %), donc entre 48 et 56 jours. Le calcul précis : \(t = \dfrac{\ln 100}{\ln 2 / 8} = 53\) jours — dans la fourchette. ✔
Conclusion : c'est pour ça que les déchets d'iode 131 des hôpitaux se gèrent en semaines — deux mois de décroissance et il n'en reste plus rien de mesurable.
EXERCICE 07 · l'escalier des moitiésniveau 1
Sans calculatrice : a. Quelle fraction d'un échantillon radioactif reste-t-il après 5 demi-vies ? b. Exprime-la en pourcentage. c. Combien de demi-vies faut-il pour passer (juste) sous 1 % de l'échantillon initial ?
CORRIGÉ
a. — \(\left(\tfrac{1}{2}\right)^5 = \dfrac{1}{32}\).
b. — \(1/32 \approx 3{,}1\,\%\).
c. — \(1/2^6 = 1{,}6\,\%\) puis \(1/2^7 = 0{,}8\,\%\) : il faut 7 demi-vies.
Conclusion : la table des puissances de 2 est l'outil de tête du chapitre — 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, et tu sais tout encadrer.
EXERCICE 08 · de t₁/₂ à λniveau 2
Pour l'iode 131 (\(t_{1/2} = 8{,}0\) jours) : a. Calcule la constante radioactive λ en j⁻¹. b. Convertis-la en s⁻¹ (1 jour = 86 400 s). c. Vérifie avec la loi que \(N(16\ \text{j})/N_0 = 25\,\%\).
c. — \(e^{-\lambda \times 16} = e^{-2\ln 2} = \left(\tfrac{1}{2}\right)^2 = 0{,}25\). ✔ Deux demi-vies, un quart — la loi et l'escalier disent la même chose.
Conclusion : λ et \(t_{1/2}\) sont deux habits du même noyau — l'un pour les formules, l'autre pour compter de tête.
EXERCICE 09 · l'activité en becquerelsniveau 2
Un flacon d'iode 131 contient \(N = 2{,}0 \times 10^{15}\) noyaux (\(\lambda = 1{,}0 \times 10^{-6}\) s⁻¹, exercice précédent). a. Calcule son activité. b. Que devient cette activité après 8 jours ? c. Pourquoi activité et nombre de noyaux décroissent-ils « ensemble » ?
CORRIGÉ
a. — \(A = \lambda N = 1{,}0 \times 10^{-6} \times 2{,}0 \times 10^{15} = 2{,}0 \times 10^{9}\) Bq — deux milliards de clics par seconde.
b. — 8 jours = une demi-vie : \(N\) est divisé par 2, donc \(A\) aussi : \(1{,}0 \times 10^{9}\) Bq.
c. — \(A = \lambda N\) avec λ constante : l'activité est proportionnelle au nombre de noyaux — même exponentielle, même demi-vie.
Conclusion : c'est cette proportionnalité qui rend la datation possible — mesurer des clics, c'est compter des noyaux sans les voir.
EXERCICE 10 · le radon de la caveniveau 2
Le radon 222 (\(t_{1/2} = 3{,}8\) jours) s'échappe des sols granitiques et peut s'accumuler dans les caves mal ventilées — c'est la première source d'exposition naturelle à la radioactivité en France. a. Pourquoi ce gaz s'accumule-t-il dans une cave fermée alors que sa demi-vie est courte ? b. On ferme hermétiquement une cave dont l'air contient du radon, sans nouvel apport : quelle fraction du radon initial reste-t-il au bout de 19 jours ? c. Que recommande-t-on aux habitants des zones à radon, et pourquoi est-ce efficace ?
CORRIGÉ
a. — parce que le sol en produit en continu (chaîne de l'uranium, exercice 2) : la production compense la décroissance, et l'équilibre s'établit d'autant plus haut que l'air est confiné.
b. — 19 jours = 5 demi-vies : \(1/32 \approx 3\,\%\).
c. — aérer : la ventilation évacue le radon plus vite qu'il n'arrive — on ne peut pas accélérer sa désintégration (spontanée !), mais on peut le diluer dehors.
Conclusion : face à la radioactivité, on ne négocie pas avec le noyau — on joue sur ce qu'on maîtrise : la distance, l'écran, ou ici le courant d'air.
EXERCICE 11 · le technétium du matinniveau 2
Le technétium 99m (\(t_{1/2} = 6{,}0\) heures) est le noyau le plus utilisé en scintigraphie. On injecte une dose à 8 h du matin. a. Quelle fraction reste-t-il à 20 h ? b. Et le lendemain à 8 h ? c. Explique en une phrase pourquoi cette demi-vie de 6 heures est idéale pour l'imagerie médicale.
c. — assez longue pour faire les images du jour, assez courte pour que la radioactivité ait pratiquement disparu du patient dès le lendemain.
Conclusion : même logique que le fluor 18 de l'exercice 4 — en médecine nucléaire, la demi-vie est un critère de prescription à part entière.
EXERCICE 12 · première datationniveau 2
Un fragment de poutre en chêne d'un site archéologique a une activité en carbone 14 égale à 25 % de celle d'un chêne vivant (\(t_{1/2} = 5\,730\) ans). a. Date l'abattage de l'arbre. b. Qu'est-ce que cette date nous apprend — et ne nous apprend pas — sur la construction du bâtiment ?
CORRIGÉ
a. — \(25\,\% = (1/2)^2\) : deux demi-vies, soit \(2 \times 5\,730 = 11\,460\) ans. L'arbre a été abattu il y a environ 11 500 ans.
b. — elle date la mort de l'arbre : le bâtiment est au plus vieux de cet âge — mais la poutre a pu être réutilisée bien plus tard. Le carbone 14 borne, il ne certifie pas.
Conclusion : une datation est une mesure physique plus un raisonnement d'historien — l'horloge dit quand l'arbre est mort, pas qui a bâti la maison.
EXERCICE 13 · Ötzi, l'homme des glacesniveau 3
La momie découverte dans un glacier des Alpes en 1991 avait une activité en carbone 14 égale à 53 % de celle d'un organisme vivant. a. Explique pourquoi cette fois, on ne peut pas se contenter de compter des demi-vies. b. Date la mort d'Ötzi (\(t_{1/2} = 5\,730\) ans, \(t = t_{1/2} \times \ln(A_0/A)/\ln 2\)). c. Encadre ton résultat par des multiples de la demi-vie pour le contrôler.
CORRIGÉ
a. — 53 % n'est pas une puissance de 1/2 : il faut inverser la loi exponentielle, à la calculatrice.
b. — \(t = 5\,730 \times \dfrac{\ln(100/53)}{\ln 2} = 5\,250\) ans (à la dizaine près). Ötzi est mort il y a environ 5 250 ans.
c. — 53 % est entre 100 % (0 demi-vie) et 50 % (1 demi-vie) : l'âge doit être un peu inférieur à 5 730 ans. ✔
Conclusion : 53 %, si proche de la moitié — Ötzi est mort à un souffle d'une demi-vie de nous. C'est ce genre de calcul qui a réécrit la préhistoire alpine.
EXERCICE 14 · problème · les terres de Tchernobylniveau 3
L'accident de 1986 a contaminé les sols autour de la centrale au césium 137 (\(t_{1/2} = 30\) ans). On considère une parcelle dont l'activité initiale en césium valait 100 fois le seuil jugé acceptable. a. Calcule la constante radioactive λ du césium 137. b. Quelle fraction du césium initial restait-il en 2016 ? c. Montre que la parcelle ne repassera sous le seuil qu'au bout d'environ 200 ans, et situe l'année. d. Pourquoi ni la pluie ni les labours ne changent-ils ce délai — et qu'est-ce qui peut malgré tout l'écourter localement ?
b. — 2016 − 1986 = 30 ans = une demi-vie : il en restait la moitié.
c. — il faut diviser par 100 : \(t = \dfrac{\ln 100}{\lambda} = \dfrac{4{,}61}{2{,}31 \times 10^{-2}} \approx 200\) ans (entre \(6\,t_{1/2}\) = 1/64 et \(7\,t_{1/2}\) = 1/128 ✔), soit vers 2186.
d. — la désintégration est spontanée : aucun traitement ne l'accélère. Mais l'eau et les travaux peuvent déplacer le césium (lessivage, décapage des sols) : on n'éteint pas l'horloge, on peut seulement emporter les noyaux ailleurs.
Conclusion : une demi-vie de 30 ans, c'est deux siècles pour un facteur 100. Les ordres de grandeur de ce chapitre sont ceux des politiques publiques — et ils se calculent en trois lignes.
VERS LE BAC — EXERCICE 15≈ 45 MIN · SANS CALCULATRICE
En 1955, une pirogue monoxyle — creusée dans un seul tronc — est extraite d'une tourbière. Le laboratoire mesure l'activité en carbone 14 du bois : \(A = 6{,}8\) désintégrations par minute et par gramme de carbone, contre \(A_0 = 13{,}6\) pour un bois vivant. Données : \(^{14}_{6}\mathrm{C}\) est un émetteur β⁻ ; \(t_{1/2} = 5\,730\) ans ; l'élément \(Z = 7\) est l'azote N.
PARTIE A — L'HORLOGE AU CARBONE 14
Écris l'équation de la désintégration du carbone 14 et vérifie les deux lois de conservation.
Explique pourquoi le taux de carbone 14 d'un arbre reste constant de son vivant, et pourquoi il décroît après l'abattage.
Rappelle les trois adjectifs qui caractérisent la désintégration d'un noyau, et ce qu'ils interdisent de prédire.
PARTIE B — L'ÂGE DE LA PIROGUE
Compare \(A\) et \(A_0\) : que vaut le rapport \(A/A_0\) ?
Déduis-en l'âge de la pirogue, sans calculatrice.
Un second échantillon, prélevé sur un os du même site, donne \(A = 3{,}4\) désintégrations par minute et par gramme : date-le. Les deux objets sont-ils contemporains ?
Pourrait-on dater par cette méthode une hache de pierre trouvée à côté ? Un fossile vieux de 300 000 ans ? Justifie.
A.2 — vivant, l'arbre échange son carbone avec l'atmosphère (où le carbone 14 est régénéré en permanence) : le niveau se maintient. Abattu, les échanges cessent — le stock isolé décroît par moitiés.
A.3 — aléatoire, spontanée, inéluctable : on ne peut prédire ni quand un noyau donné craquera, ni le provoquer, ni l'empêcher — seule la population obéit à une loi.
B.2 — une demi-vie : la pirogue a environ \(5\,730\) ans — creusée au Néolithique.
B.3 — \(3{,}4/13{,}6 = 1/4\) : deux demi-vies, soit \(11\,460\) ans. Non : l'os est plus vieux que la pirogue d'environ 5 700 ans — le site a servi longtemps.
B.4 — la hache : non — la pierre n'a jamais vécu, elle n'a pas de carbone 14 à perdre. Le fossile : non plus — 300 000 ans ≈ 52 demi-vies, il resterait \(1/2^{52}\) du carbone 14 : rien de mesurable. Il faut des noyaux à demi-vie plus longue (potassium-argon, par exemple).