CE QUE TU DOIS SAVOIR FAIRE — reconnaître et vérifier une primitive, primitiver les fonctions usuelles et les formes \(u'e^u\), résoudre \(y' = ay\) puis \(y' = ay + b\) — et utiliser une condition initiale pour attraper LA solution d'un problème concret.
≈ 60 min de travail · 15 exercices corrigés · mis à jour août 2026
SOMMAIRE ▾
1. L'équation dont l'inconnue est une fonction
Ton café sort de la machine à 80 °C, la pièce est à 20 °C. Dans combien de temps sera-t-il buvable ? La physique ne te donne pas la réponse — elle te donne mieux : une loi. À chaque instant, la vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'écart avec la pièce : brûlant, le café perd vite ses degrés ; presque tiède, il traîne. En symboles : \(T' = a\,(T - 20)\).
Regarde bien cette équation. L'inconnue n'est pas un nombre \(x\) — c'est la fonction \(T\) tout entière, et l'équation relie \(T\) à sa propre dérivée. On appelle ça une équation différentielle. C'est le langage naturel des sciences : on sait rarement où en sera un système, on sait presque toujours à quelle vitesse il évolue.
La loi ne donne que les pentes : raide quand l'écart est grand, presque nulle à l'approche des 20 °C. La courbe entière, elle, reste à trouver — c'est le travail de ce chapitre.
Résoudre une telle équation, c'est retrouver une fonction à partir d'informations sur sa dérivée — exactement le chemin inverse de tout ce que tu fais depuis la Première. Ce chapitre construit d'abord l'outil de la marche arrière (les primitives), puis résout les deux équations différentielles du programme, \(y' = ay\) et \(y' = ay + b\). À la fin, le café aura son heure exacte.
2. Remonter la dérivation : les primitives
Commence par le geste de base : on te donne \(f\) (en bas), et tu cherches une fonction \(F\) (en haut) dont la dérivée est \(f\). En voici une. Mais fais glisser le curseur \(C\), et surveille la pente au point A.
INTERACTIFLa famille des primitives
C
C = 1F′(a) = f(a) = 1,25 — pour tout C
Fais glisser C : la courbe de F monte ou descend en bloc, mais la tangente en A garde exactement la pente f(a), lue en bas. Dériver efface les constantes — les primitives se suivent à constante près.
En haut, F(x) = x³/3 − x + C ; en bas, sa dérivée f(x) = x² − 1. Déplace aussi le point A : la pente du haut suit toujours la hauteur du bas.
Ce que le curseur vient de te montrer, voilà comment on le dit.
DÉFINITION
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\). Une primitive de \(f\) sur \(I\) est une fonction \(F\), dérivable sur \(I\), telle que :
$$F' = f$$
PROPRIÉTÉ — UNE INFINITÉ, À CONSTANTE PRÈS
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives (admis). Et si \(F\) est l'une d'elles, les primitives de \(f\) sont exactement les fonctions \(x \mapsto F(x) + C\), où \(C\) est une constante réelle.
Deux primitives diffèrent d'une constante — leurs courbes sont les translatées verticales les unes des autres, comme sur le graphique. Pour en isoler une seule, il faut une condition supplémentaire, du type \(F(x_0) = y_0\).
MÉTHODE — VÉRIFIER UNE PRIMITIVE (LE RÉFLEXE ROI)
1.On te propose \(F\) et \(f\) ? Dérive \(F\) — jamais l'inverse : dériver est mécanique, primitiver demande de l'intuition.
2.Compare \(F'\) à \(f\), terme à terme, jusqu'à l'égalité parfaite.
3.S'il y a une condition (\(F(x_0) = y_0\)), vérifie-la aussi — c'est elle qui choisit la bonne constante.
EXEMPLE RÉSOLU — TROUVER LA PRIMITIVE QUI PASSE PAR UN POINT
Détermine la primitive de \(f(x) = 2x\) qui vaut 3 en \(x = 1\).
Étape 1 — Une primitive de \(2x\) est \(x^2\) (vérification : \((x^2)' = 2x\) ✓). Toutes les primitives : \(F(x) = x^2 + C\).
Étape 2 — La condition \(F(1) = 3\) donne \(1 + C = 3\), donc \(C = 2\).
Conclusion : la famille d'abord, la condition ensuite. Une équation à une inconnue — mais l'inconnue est \(C\), pas \(x\).
TESTE-TOITrois questions, trente secondes
Q1Une primitive de \(f\), c'est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — le sens de la flèche est crucial : on remonte la dérivation. \(F\) est une primitive de \(f\) quand c'est \(F'\) qui vaut \(f\) — pas l'inverse, et pas un simple \(+\,C\) collé à \(f\).
Q2Combien \(f(x) = 2x\) admet-elle de primitives sur \(\mathbb{R}\) ?
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — \(x^2 + 1\), \(x^2 - 7\), \(x^2 + 1\,000\)… toutes dérivent en \(2x\). Une par valeur de \(C\) — c'est la famille que le curseur fait défiler.
Q3\(F\) et \(G\) sont deux primitives de la même fonction \(f\) sur un intervalle. Alors \(F - G\) est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — \((F - G)' = f - f = 0\) : la différence a une dérivée nulle, elle est constante — mais pas forcément nulle : les deux courbes peuvent être décalées. C'est exactement « à constante près ».
3. Le tableau des dérivées, lu à l'envers
Comment trouver des primitives ? En recyclant ce que tu sais déjà : chaque ligne du tableau des dérivées, lue de droite à gauche, devient une ligne du tableau des primitives. Et à chaque fois, le même garde-fou : vérifie en dérivant.
PRIMITIVES USUELLESF à constante près
fonction f
une primitive F
sur
\(x^n\) (\(n\) entier \(\geq 0\))
\(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\)
\(\mathbb{R}\)
\(\dfrac{1}{x^2}\)
\(-\dfrac{1}{x}\)
\(\left]0\;;\,+\infty\right[\)
\(\dfrac{1}{x}\)
\(\ln x\)
\(\left]0\;;\,+\infty\right[\)
\(e^{x}\)
\(e^{x}\)
\(\mathbb{R}\)
\(\cos x\)
\(\sin x\)
\(\mathbb{R}\)
\(\sin x\)
\(-\cos x\)
\(\mathbb{R}\)
PROPRIÉTÉ — LES FORMES COMPOSÉES À RECONNAÎTRE
Pour \(u\) dérivable (et \(u > 0\) quand nécessaire), en lisant la dérivée de composée à l'envers :
\(u'e^{u}\) a pour primitive \(e^{u}\) ; \(\quad u'u^{n}\) a pour primitive \(\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) ; \(\quad \dfrac{u'}{u}\) a pour primitive \(\ln u\) ; \(\quad \dfrac{u'}{\sqrt{u}}\) a pour primitive \(2\sqrt{u}\).
Cas affine à connaître par cœur : si \(u = ax + b\), on divise par \(a\). Par exemple \(e^{3x}\) a pour primitive \(\dfrac{e^{3x}}{3}\), et \(\cos(2x)\) a pour primitive \(\dfrac{\sin(2x)}{2}\).
À toi de jouer — quatre fonctions, trois candidates à chaque fois, et une seule façon fiable de trancher : dérive chaque candidate de tête.
INTERACTIFVérifie en dérivant
PRIMITIVE 1/4
Une primitive de \(f(x) = 3x^2\) est…
Une primitive de \(f(x) = e^{2x}\) est…
Une primitive de \(f(x) = \cos x\) est…
Une primitive de \(f(x) = \dfrac{1}{x^2}\) (sur \(\left]0\;;\,+\infty\right[\)) est…
PAS ENCORE — dérive chaque candidate de tête : laquelle redonne exactement \(f\) ?
EXACT — \((x^3 - 5)' = 3x^2\) : la constante meurt en dérivant. \(6x\), c'est la dérivée de \(3x^2\) — le mauvais sens de la flèche — et \(3x^3\) dérive en \(9x^2\), trois fois trop.
EXACT — \(\left(\frac{1}{2}e^{2x}\right)' = \frac{1}{2} \times 2\,e^{2x} = e^{2x}\) : \(u = 2x\) est affine, on divise par \(u' = 2\). \(e^{2x}\) tout seul dérive en \(2e^{2x}\) — deux fois trop.
EXACT — \((\sin x)' = \cos x\). Les deux autres se trompent de case dans le cycle : \(-\cos x\) est la primitive de \(\sin x\), et \(-\sin x\) dérive en \(-\cos x\).
EXACT — \(\left(-\frac{1}{x}\right)' = \frac{1}{x^2}\). \(\frac{1}{x}\) dérive en \(-\frac{1}{x^2}\) — le signe cloche — et le \(\ln\), c'est la primitive de \(\frac{1}{x}\), pas de \(\frac{1}{x^2}\).
EXEMPLE RÉSOLU — RECONNAÎTRE UNE FORME u′eᵘ
Détermine une primitive de \(f(x) = 2x\,e^{x^2}\).
Étape 1 — Pose \(u = x^2\) : alors \(u' = 2x\), et \(f = u'e^{u}\) — la forme est exactement là, \(u'\) compris.
Étape 2 — Une primitive est donc \(F(x) = e^{u} = e^{x^2}\).
Conclusion : repère \(u\), cherche son \(u'\) en facteur — s'il n'y est pas (à un coefficient près), la forme n'est pas là, et il faut une autre idée.
TESTE-TOIEncore trois sur le tableau
Q1Une primitive de \(x^3\) est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — on monte la puissance ET on divise par la nouvelle : \(\left(\frac{x^4}{4}\right)' = x^3\). \(3x^2\), c'est la dérivée — le mauvais sens — et \(x^4\) seul dérive en \(4x^3\).
Q2Une primitive de \(e^{5x}\) est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — \(u = 5x\) est affine : on divise par \(u' = 5\). En dérivant \(\frac{e^{5x}}{5}\), le 5 de la composée compense la division — c'est le test qui tranche à chaque fois.
Q3Une primitive de \(2x\,e^{x^2}\) est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — c'est \(u'e^{u}\) avec \(u = x^2\) : primitive \(e^{u}\), tel quel. Le \(2x\) n'apparaît pas dans la primitive — il est déjà le \(u'\) que la dérivation recrachera.
4. L'équation \(y' = ay\)
Retour aux équations différentielles, avec la plus simple d'entre elles : \(y' = ay\) — la vitesse proportionnelle à la valeur. C'est la loi des populations qui croissent, des noyaux radioactifs qui se désintègrent, des capitaux placés. Une équation impose une pente en chaque point du plan : le graphique les dessine toutes, et tu vas voir qu'une seule courbe par point de départ sait toutes les suivre.
INTERACTIFLe champ de pentes
y₀
y′ = 0,5 y et y(0) = 2 → y = 2 e^(0,5x)
Chaque petit segment est la pente a·y que l'équation impose à cet endroit. En partant de y₀, la courbe y₀ e^(0,5x) est la seule qui suit toutes les flèches — plus elle monte, plus la pente imposée est raide : la croissance s'auto-alimente.
Essaie y₀ = 0, puis les valeurs négatives : la famille complète des solutions est C e^(ax), pour TOUT réel C — y compris nul ou négatif.
PROPRIÉTÉ — LES SOLUTIONS DE y′ = ay
Soit \(a\) un réel non nul. Les solutions sur \(\mathbb{R}\) de l'équation différentielle \(y' = ay\) sont exactement les fonctions :
$$x \mapsto C\,e^{ax}, \quad C \in \mathbb{R}$$
Et pour toute condition initiale \(y(0) = y_0\), il existe une unique solution : celle où \(C = y_0\).
POURQUOI ?
Le sens direct est un simple calcul : si \(y = Ce^{ax}\), alors \(y' = C \times a\,e^{ax} = a\,y\) — ça marche. Le sens réciproque (aucune autre solution n'existe) se démontre en posant \(g(x) = y(x)\,e^{-ax}\) et en vérifiant que \(g' = 0\) : \(g\) est constante, donc \(y = Ce^{ax}\). C'est la définition même de l'exponentielle de Première — « la fonction égale à sa dérivée » — qui devient un théorème de résolution.
EXEMPLE RÉSOLU — AVEC CONDITION INITIALE
Résous \(y' = 2y\) avec \(y(0) = 3\).
Étape 1 — Les solutions de \(y' = 2y\) sont les \(y = Ce^{2x}\), \(C \in \mathbb{R}\).
Étape 2 — \(y(0) = 3\) donne \(Ce^{0} = C = 3\).
Conclusion : \(y = 3e^{2x}\), unique. La famille vient de l'équation, l'individu vient de la condition initiale — toujours ces deux temps.
TESTE-TOITrois sur y′ = ay
Q1Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — on cherche une fonction \(y\) tout entière, reliée à sa dérivée par l'équation. Résoudre, c'est trouver toutes les fonctions qui obéissent à la loi.
Q2Les solutions de \(y' = 3y\) sont…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — toute la famille \(Ce^{3x}\) — le \(a\) vit dans l'exposant, le \(C\) devant. Et attention : la constante est en facteur, pas ajoutée comme pour les primitives.
Q3La solution de \(y' = -y\) avec \(y(0) = 5\) est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — \(a = -1\) va dans l'exposant, \(y(0) = 5\) donne \(C = 5\) : \(y = 5e^{-x}\). Les deux nombres ont chacun leur place — les échanger est l'erreur classique.
5. \(y' = ay + b\) : le café refroidit
Le café de l'ouverture obéit à \(T' = a(T - 20)\), c'est-à-dire \(T' = aT - 20a\) : la forme \(y' = ay + b\). Un cran plus riche que \(y' = ay\) — et un cran plus réaliste, parce qu'il y a maintenant un équilibre. Manipule : change la température de départ, change le coefficient, et regarde vers quoi tout converge.
INTERACTIFLe café refroidit
T₀
T′ = −0,1(T − 20) → T(t) = 20 + 60 e^(−0,1t)
T(10) ≈ 42,1 °Cbuvable (40 °C) vers t ≈ 11,0 min
La vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'écart avec la pièce : brûlant, le café perd vite ses degrés ; tiède, il traîne. La courbe s'écrase sur les 20 °C sans jamais les atteindre — l'équilibre est une asymptote.
Essaie T₀ = 20 (l'équilibre exact), puis T₀ = 0 : un verre glacé obéit à la même équation — il remonte vers les 20 °C.
PROPRIÉTÉ — LES SOLUTIONS DE y′ = ay + b
Soient \(a \neq 0\) et \(b\) deux réels. L'équation \(y' = ay + b\) admet une unique solution constante : \(y = -\dfrac{b}{a}\) (celle qui annule le second membre — l'équilibre). Et toutes les solutions sont :
$$x \mapsto C\,e^{ax} - \dfrac{b}{a}, \quad C \in \mathbb{R}$$
Autrement dit : les solutions de \(y' = ay\), translatées à hauteur de l'équilibre. Une condition initiale fixe \(C\), et donc une solution unique.
MÉTHODE — RÉSOUDRE \(y' = ay + b\) AVEC CONDITION INITIALE
1.Trouve la solution constante \(y_{\text{éq}} = -\dfrac{b}{a}\) (résous \(ay + b = 0\) — attention aux signes).
2.Écris la famille complète : \(y = C\,e^{ax} + y_{\text{éq}}\).
3.Injecte la condition initiale pour calculer \(C\), puis vérifie : l'équation ET la condition.
EXEMPLE RÉSOLU — LE CAFÉ, ENFIN CHRONOMÉTRÉ
La température du café vérifie \(T' = -0{,}1\,(T - 20)\) avec \(T(0) = 80\). Quand passe-t-il sous 40 °C ?
Étape 3 — \(T(t) = 40 \iff 60\,e^{-0{,}1t} = 20 \iff e^{-0{,}1t} = \dfrac{1}{3} \iff t = 10\ln 3 \approx 11\) minutes — le logarithme du chapitre 4 au travail.
Conclusion : onze minutes de patience. Et la question de l'ouverture est réglée — par une équation dont l'inconnue était une fonction.
À RETENIR
\(y' = ay + b\) : équilibre \(-\dfrac{b}{a}\), solutions \(C\,e^{ax} - \dfrac{b}{a}\), et la condition initiale fixe \(C\). Trois temps, toujours dans cet ordre.
TESTE-TOIQuatre questions pour finir
Q1La solution constante de \(y' = 2y - 8\) est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — on résout \(2y - 8 = 0\) : \(y = 4\). Avec la formule \(-b/a = -(-8)/2\), les signes s'emmêlent vite — résoudre « second membre nul » est plus sûr.
Q2Les solutions de \(y' = ay + b\) (\(a \neq 0\)) s'écrivent…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — la famille de \(y' = ay\), décalée à hauteur de l'équilibre \(-b/a\). Le \(b\) ne s'ajoute ni tel quel, ni dans l'exposant — il passe par l'équilibre.
Q3Dans un problème, la condition initiale sert à…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — l'équation donne la famille (une courbe par valeur de \(C\)), la condition initiale choisit l'individu. Le \(a\), lui, appartient à la loi physique — il est donné avec l'équation.
Q4Quand \(t\) devient grand, la température du café tend vers…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — \(e^{-0{,}1t} \to 0\), il reste l'équilibre : 20 °C, la solution constante. C'est le rôle physique de \(-b/a\) — et la raison pour laquelle ton café finit toujours à température ambiante, jamais glacé.
LES PIÈGES CLASSIQUES
Confondre les deux sens de la flèche. La dérivée de \(x^3\) est \(3x^2\) ; sa primitive est \(\dfrac{x^4}{4}\). Devant un tableau, demande-toi toujours dans quel sens tu le lis — et vérifie en dérivant, c'est gratuit.
Oublier la constante \(C\). « La » primitive n'existe pas : il y en a une infinité. Sans le \(+\,C\), impossible d'ajuster la condition initiale — et la moitié des questions du bac tombe à l'eau.
Diviser par \(u'\) quand \(u\) n'est pas affine. \(e^{3x}\) a pour primitive \(\dfrac{e^{3x}}{3}\) parce que \(u' = 3\) est constant. Pour \(e^{x^2}\), diviser par \(2x\) est faux — il faut que le \(u'\) soit déjà en facteur (\(2x\,e^{x^2}\)), sinon la forme n'y est pas.
Écrire les solutions de \(y' = ay + b\) comme \(Ce^{ax} + b\). Le décalage n'est pas \(b\) mais l'équilibre \(-\dfrac{b}{a}\). Réflexe fiable : résous d'abord \(ay + b = 0\), et lis l'équilibre — c'est lui qui apparaît dans la solution.
Rendre une réponse sans la vérifier. Une solution d'équation différentielle se teste en trente secondes : dérive-la, injecte dans l'équation, contrôle la condition initiale. Deux vérifications, zéro excuse.
L'ESSENTIEL EN 5 LIGNES
PRIMITIVE
\(F\) primitive de \(f\) sur \(I\) : \(F' = f\). Il y en a une infinité, toutes égales à constante près ; une condition \(F(x_0) = y_0\) en isole une.
Commence par le niveau 1. Cherche vraiment avant d'ouvrir le corrigé — c'est là que ça rentre. Les exercices suivent l'ordre du cours : vérifier une primitive, le tableau et les formes composées, y′ = ay, y′ = ay + b avec condition initiale, et un problème pour finir.
EXERCICE 01 · vérifier une primitiveniveau 1
Vérifie, en dérivant, que : a. \(F(x) = x^3 - 3x + 7\) est une primitive de \(f(x) = 3x^2 - 3\) ; b. \(G(x) = x\,e^{x}\) est une primitive de \(g(x) = (1 + x)\,e^{x}\).
CORRIGÉ
a. — \(F'(x) = 3x^2 - 3 = f(x)\) : le \(+\,7\) disparaît en dérivant — c'est bien une primitive (une parmi l'infinité).
b. — produit : \(G'(x) = e^{x} + x\,e^{x} = (1 + x)\,e^{x} = g(x)\) ✓.
Conclusion : vérifier une primitive ne demande jamais de primitiver — on dérive, on compare, c'est tout.
EXERCICE 02 · le tableauniveau 1
Donne une primitive de chaque fonction : a. \(x^2\) ; b. \(x^5\) ; c. \(\cos x\) ; d. \(e^{x}\) ; e. \(\dfrac{1}{x^2}\) sur \(\left]0\;;\,+\infty\right[\).
CORRIGÉ
a. — \(\dfrac{x^3}{3}\).
b. — \(\dfrac{x^6}{6}\).
c. — \(\sin x\).
d. — \(e^{x}\) — la seule qui ne bouge pas.
e. — \(-\dfrac{1}{x}\) : vérifie, \(\left(-\dfrac{1}{x}\right)' = \dfrac{1}{x^2}\) ✓.
Conclusion : monter la puissance, diviser par la nouvelle — et pour les autres lignes, le tableau des dérivées lu à l'envers.
EXERCICE 03 · toutes les primitivesniveau 1
Détermine toutes les primitives de \(f(x) = 2x + 3\) sur \(\mathbb{R}\), puis celle qui s'annule en \(x = 1\).
CORRIGÉ
Étape 1 — Terme à terme : \(F(x) = x^2 + 3x + C\), \(C \in \mathbb{R}\) — sans oublier le \(C\).
Étape 2 — \(F(1) = 0\) donne \(1 + 3 + C = 0\), donc \(C = -4\).
Conclusion : \(F(x) = x^2 + 3x - 4\). « Toutes les primitives » = la famille avec \(C\) ; « celle qui… » = une équation en \(C\).
EXERCICE 04 · primitives et conditionniveau 2
Soit \(f(x) = 3x^2 - 4x + 1\). a. Détermine la primitive \(F\) de \(f\) telle que \(F(2) = 5\). b. Vérifie complètement ta réponse.
CORRIGÉ
a. — Famille : \(F(x) = x^3 - 2x^2 + x + C\). Condition : \(F(2) = 8 - 8 + 2 + C = 2 + C = 5\), donc \(C = 3\) : \(F(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3\).
b. — \(F'(x) = 3x^2 - 4x + 1 = f(x)\) ✓ et \(F(2) = 5\) ✓.
Conclusion : deux vérifications, pas une — la dérivée et la condition. C'est la rédaction complète attendue au bac.
EXERCICE 05 · formes u′eᵘniveau 2
Donne une primitive de : a. \(e^{3x}\) ; b. \(2x\,e^{x^2}\) ; c. \(x\,e^{x^2}\).
CORRIGÉ
a. — \(u = 3x\) affine : \(\dfrac{e^{3x}}{3}\).
b. — \(u = x^2\), \(u' = 2x\) déjà en facteur : \(e^{x^2}\).
c. — Il manque un facteur 2 : \(x\,e^{x^2} = \dfrac{1}{2} \times 2x\,e^{x^2}\), donc une primitive est \(\dfrac{1}{2}\,e^{x^2}\). Vérifie : \(\left(\frac{1}{2}e^{x^2}\right)' = \frac{1}{2} \times 2x\,e^{x^2} = x\,e^{x^2}\) ✓.
Conclusion : on peut ajuster une constante multiplicative — jamais un facteur en \(x\). C'est toute la différence entre les cas b et c d'un côté, et l'impossible \(e^{x^2}\) seul de l'autre.
EXERCICE 06 · formes u′uⁿniveau 2
Donne une primitive de : a. \(2x\left(x^2+1\right)^3\) ; b. \(\cos x \, \sin^3 x\) ; c. \((2x+1)^3\).
CORRIGÉ
a. — \(u = x^2 + 1\), \(u' = 2x\) : forme \(u'u^3\), primitive \(\dfrac{\left(x^2+1\right)^4}{4}\).
c. — \(u = 2x + 1\) affine (\(u' = 2\)) : \((2x+1)^3 = \dfrac{1}{2}\,u'u^3\), primitive \(\dfrac{(2x+1)^4}{8}\) — le 4 de la puissance et le 2 du \(u'\).
Conclusion : même moteur que \(u'e^u\) — repérer \(u\), retrouver son \(u'\) en facteur, monter la puissance.
EXERCICE 07 · sinus et cosinusniveau 2
Donne une primitive de : a. \(\cos(2x)\) ; b. \(\sin(3x)\) ; c. \(\sin x + \cos x\). Vérifie chaque réponse en dérivant.
CORRIGÉ
a. — \(\dfrac{\sin(2x)}{2}\) : en dérivant, le 2 de la composée compense la division ✓.
b. — \(-\dfrac{\cos(3x)}{3}\) : deux pièges d'un coup — le signe (primitive de \(\sin\) = \(-\cos\)) et la division par 3. Vérifie : \(\left(-\frac{\cos(3x)}{3}\right)' = -\frac{-3\sin(3x)}{3} = \sin(3x)\) ✓.
c. — \(-\cos x + \sin x\) : terme à terme.
Conclusion : chez \(\sin\) et \(\cos\), les signes tournent — la vérification par dérivation n'est pas une option, c'est le filet.
EXERCICE 08 · y′ = ayniveau 2
Résous : a. \(y' = 2y\) avec \(y(0) = 3\) ; b. \(y' = -0{,}5\,y\) avec \(y(0) = 4\). c. Pour la solution du b., que devient \(y(t)\) quand \(t\) devient grand ?
CORRIGÉ
a. — Famille \(C\,e^{2x}\) ; \(y(0) = C = 3\) : \(y = 3\,e^{2x}\).
b. — Famille \(C\,e^{-0{,}5x}\) ; \(C = 4\) : \(y = 4\,e^{-0{,}5x}\).
c. — \(e^{-0{,}5t} \to 0\) : la solution fond vers 0 — la décroissance exponentielle du champ de pentes, version calcul.
Conclusion : le signe de \(a\) décide de tout — explosion si \(a > 0\), extinction si \(a < 0\).
EXERCICE 09 · vérifier une solutionniveau 2
La fonction \(g(x) = 5\,e^{-2x} + 1\) est-elle solution de l'équation \(y' = -2y + 2\) ? Justifie par le calcul.
Étape 3 — Les deux membres coïncident pour tout \(x\) : oui, \(g\) est solution. (Cohérent : équilibre \(-b/a = 1\), et \(g = C\,e^{-2x} + 1\) avec \(C = 5\).)
Conclusion : « est-elle solution ? » = calculer les deux membres séparément et comparer. Aucune résolution nécessaire.
EXERCICE 10 · y′ = ay + bniveau 2
Résous \(y' = 2y - 6\) avec \(y(0) = 5\) : donne la solution constante, la famille complète, puis LA solution.
Conclusion : équilibre, famille, condition — les trois temps de la méthode, dans l'ordre, à chaque fois.
EXERCICE 11 · vers l'équilibreniveau 2
Soit l'équation \(y' = -y + 4\) avec \(y(0) = 1\). a. Résous-la. b. Détermine la limite de la solution en \(+\infty\) et interprète-la.
CORRIGÉ
a. — Équilibre : \(-y + 4 = 0\), soit \(y = 4\). Famille \(C\,e^{-x} + 4\) ; \(y(0) = C + 4 = 1\) donne \(C = -3\) : \(y = 4 - 3\,e^{-x}\).
b. — \(e^{-x} \to 0\), donc \(y \to 4\) : la solution monte de 1 vers l'équilibre 4 sans jamais l'atteindre. Un \(C\) négatif, c'est simplement une solution qui aborde l'équilibre par en dessous.
Conclusion : l'équilibre attire tout quand \(a < 0\) — par au-dessus ou par en dessous, selon le point de départ. Le café et le verre glacé, en une seule formule.
EXERCICE 12 · étude d'une solutionniveau 3
Soit \(f\) la solution de \(y' = -2y + 4\) vérifiant \(f(0) = 0\). a. Montre que \(f(x) = 2 - 2\,e^{-2x}\). b. Étudie les variations de \(f\) sur \(\left[0\;;\,+\infty\right[\). c. Détermine la limite de \(f\) en \(+\infty\) et montre que la courbe reste sous la droite \(y = 2\).
CORRIGÉ
a. — Équilibre 2, famille \(C\,e^{-2x} + 2\) ; \(f(0) = C + 2 = 0\) donne \(C = -2\) : \(f(x) = 2 - 2\,e^{-2x}\).
b. — \(f'(x) = 4\,e^{-2x} > 0\) : \(f\) est strictement croissante — de \(f(0) = 0\) vers sa limite.
c. — \(e^{-2x} \to 0\) : \(f(x) \to 2\). Et \(f(x) - 2 = -2\,e^{-2x} < 0\) pour tout \(x\) : la courbe reste strictement sous son asymptote \(y = 2\).
Conclusion : résolution, variations, limite — une solution d'équation différentielle s'étudie ensuite comme n'importe quelle fonction. C'est le format bac par excellence.
EXERCICE 13 · LA primitiveniveau 3
Soit \(F(x) = (x - 1)\,e^{x}\). a. Montre que \(F\) est une primitive de \(f(x) = x\,e^{x}\) sur \(\mathbb{R}\). b. Justifie que \(F\) est LA primitive de \(f\) qui s'annule en \(x = 1\).
CORRIGÉ
a. — Produit : \(F'(x) = e^{x} + (x - 1)\,e^{x} = x\,e^{x} = f(x)\) ✓.
b. — Toute primitive de \(f\) s'écrit \(F + C\). La condition « s'annule en 1 » donne \(F(1) + C = 0 + C = 0\), donc \(C = 0\) : c'est \(F\) elle-même, et elle seule.
Conclusion : on ne sait pas primitiver \(x\,e^{x}\) de tête — mais on sait vérifier une primitive proposée, et l'unicité vient de la condition. Le bac procède presque toujours ainsi.
EXERCICE 14 · problèmeniveau 3
Refais à la main l'étude du café du graphique : sa température vérifie \(T' = -0{,}1\,(T - 20)\) avec \(T(0) = 80\). a. Montre que \(T(t) = 20 + 60\,e^{-0{,}1t}\). b. Calcule \(T(10)\) (arrondi au dixième). c. À partir de quand le café passe-t-il sous 30 °C ? d. Pourquoi la température n'atteint-elle jamais exactement 20 °C ?
CORRIGÉ
a. — L'équation s'écrit \(T' = -0{,}1\,T + 2\) : équilibre 20, famille \(C\,e^{-0{,}1t} + 20\) ; \(T(0) = C + 20 = 80\) donne \(C = 60\).
b. — \(T(10) = 20 + 60\,e^{-1} \approx 20 + 22{,}1 = 42{,}1\) °C — la valeur du chip du graphique.
d. — \(e^{-0{,}1t}\) est strictement positif pour tout \(t\) : \(T(t) = 20 + 60\,e^{-0{,}1t} > 20\) toujours. La limite vaut 20, mais elle n'est jamais atteinte — l'équilibre est une asymptote.
Conclusion : équilibre, famille, condition, puis le logarithme pour répondre en minutes — tout le chapitre dans une tasse.
VERS LE BAC — EXERCICE 15≈ 45 MIN · CALCULATRICE UTILE
Un patient reçoit un médicament par perfusion continue. La quantité \(Q(t)\) de médicament dans le sang (en mg), \(t\) heures après le début, vérifie l'équation différentielle \((E) : Q' = -0{,}5\,Q + 4\), avec \(Q(0) = 0\).
PARTIE A
Donne les solutions de l'équation \(y' = -0{,}5\,y\).
Détermine la solution constante de \((E)\).
Déduis-en toutes les solutions de \((E)\), puis montre que \(Q(t) = 8\left(1 - e^{-0{,}5t}\right)\).
PARTIE B
Étudie les variations de \(Q\) sur \(\left[0\;;\,+\infty\right[\).
Détermine la limite de \(Q\) en \(+\infty\). Comment interpréter ce « plateau » pour le patient ?
Le traitement est efficace à partir de 6 mg dans le sang. Détermine le temps exact à partir duquel c'est le cas, puis une valeur approchée en heures et minutes.
CORRIGÉ — LES GRANDES ÉTAPES
A.1 — Les \(y = C\,e^{-0{,}5t}\), \(C \in \mathbb{R}\).
A.2 — \(-0{,}5\,y + 4 = 0\) donne \(y = 8\) : la solution constante — l'équilibre entre l'apport (4 mg/h) et l'élimination.
B.1 — \(Q'(t) = 4\,e^{-0{,}5t} > 0\) : \(Q\) est strictement croissante — le médicament s'accumule, de plus en plus lentement.
B.2 — \(e^{-0{,}5t} \to 0\) : \(Q(t) \to 8\) mg. Le taux se stabilise au plateau de 8 mg — la perfusion n'« empile » pas le médicament indéfiniment, l'élimination finit par compenser l'apport.
B.3 — \(8\left(1 - e^{-0{,}5t}\right) \geq 6 \iff e^{-0{,}5t} \leq \dfrac{1}{4} \iff t \geq 2\ln 4 = 4\ln 2 \approx 2{,}77\) h, soit environ 2 h 46 min après le début de la perfusion.