CE QUE TU DOIS SAVOIR FAIRE — lire une intégrale comme une aire signée, la calculer avec une primitive (\(\int_a^b f = F(b) - F(a)\)), manier linéarité, Chasles et positivité, calculer une valeur moyenne — et intégrer par parties quand un produit résiste.
≈ 60 min de travail · 15 exercices corrigés · mis à jour août 2026
SOMMAIRE ▾
1. Reconstituer le trajet du compteur
Retour dans la voiture de Première — celle dont le compteur t'a appris la dérivée. Cette fois, le problème est inversé : tu n'as PAS le trajet, seulement l'enregistrement du compteur de vitesse pendant 4 heures. Peux-tu retrouver la distance parcourue ?
Cas facile d'abord : 50 km/h constants pendant 2 heures, ça fait 100 km — vitesse × durée. Graphiquement, ce produit est l'aire d'un rectangle sous la ligne de vitesse. Mais sur un vrai trajet, la vitesse bouge sans arrêt. Alors on triche intelligemment : on découpe le temps en tranches, et sur chaque tranche on fait comme si la vitesse était constante. Une tranche = un rectangle, et la distance ≈ la somme des rectangles.
Quatre tranches d'une heure, quatre rectangles « vitesse du début × durée » : 0 + 67,5 + 90 + 67,5 = 225 km. Pas exact — mais l'idée est là, et elle va devenir exacte.
La distance exacte, c'est ce que devient cette somme quand les tranches deviennent infiniment fines : l'aire sous la courbe de vitesse. Ce chapitre donne un nom à cette aire — l'intégrale — et surtout un moyen de la calculer sans découper quoi que ce soit : les primitives du chapitre précédent. Les deux moitiés de l'analyse vont se rejoindre.
2. La méthode des rectangles
Reprends le trajet en main. Le graphique découpe les 4 heures en \(n\) tranches égales ; sur chacune, un rectangle « vitesse du début × durée ». Augmente \(n\) et regarde la somme — et l'écart avec la vraie distance.
INTERACTIFLa méthode des rectangles
n
n = 4somme des rectangles ≈ 225,0 kmécart : 15,0 km
Chaque rectangle fait comme si la vitesse restait constante pendant toute la tranche : la hauteur est la vitesse au début de la tranche, la largeur est sa durée. Grossier — mais déjà une estimation de la distance.
La distance exacte du trajet vaut 240 km — c'est l'aire sous la courbe, et la limite de la somme quand n grandit sans fin.
Ce nombre-limite — l'aire exacte sous la courbe — voilà l'objet du chapitre. Définition et notation :
DÉFINITION
Soit \(f\) une fonction continue et positive sur \(\left[a\;;\,b\right]\). L'intégrale de \(a\) à \(b\) de \(f\), notée \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\), est l'aire du domaine délimité par la courbe de \(f\), l'axe des abscisses et les droites verticales \(x = a\) et \(x = b\) — mesurée en unités d'aire (u.a.), l'aire du rectangle unité du repère.
POURQUOI CETTE NOTATION ?
Le symbole \(\int\) est un S étiré — celui de « somme ». Et \(f(x)\,\mathrm{d}x\) se lit comme un rectangle infinitésimal : hauteur \(f(x)\), largeur minuscule \(\mathrm{d}x\). L'écriture \(\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) raconte exactement ce que tu viens de faire au curseur : sommer des rectangles de plus en plus fins, de \(a\) jusqu'à \(b\). Le \(x\) est muet : \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) désigne le même nombre.
EXACT — une aire, délimitée par quatre frontières : la courbe, l'axe, et les deux bornes verticales. C'est la limite de la somme des rectangles — d'où le S étiré du symbole \(\int\).
Q2Une intégrale se mesure…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — l'unité d'aire, c'est le rectangle unité du repère — et si les axes portent des unités physiques, elle en hérite : des km/h × des heures = des km, comme sur le trajet.
Q3Quand le nombre de rectangles augmente, leur somme…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — plus les tranches sont fines, moins on triche en supposant la vitesse constante : l'écart fond, et la limite est l'intégrale. Tu l'as vu au curseur — de 15 km d'écart à presque rien.
3. Le pont vers les primitives
Sommer des rectangles pour chaque calcul serait une torture. Le miracle du chapitre, c'est qu'on n'en aura jamais besoin — et le graphique suivant montre pourquoi. Regarde l'aire s'accumuler quand tu étends son bord droit, et surveille l'étage du bas.
INTERACTIFL'aire qui s'accumule
A(x) = x³/3 = 0,33pente de A : f(x) = 1,00
Étends l'aire et compare les deux étages : la mini-tangente du bas a pour pente exactement f(x), la hauteur du haut. Autrement dit A′ = f — l'aire accumulée est LA primitive de f qui s'annule en 0.
En haut, f(x) = x² et l'aire de 0 à x ; en bas, la fonction A(x) = aire accumulée. La vitesse à laquelle l'aire grandit, c'est la hauteur de la courbe.
L'aire accumulée est une primitive de \(f\). Conséquence immédiate et énorme : pour calculer une aire entre \(a\) et \(b\), il suffit de prendre n'importe quelle primitive \(F\) et de faire la différence de ses valeurs aux bornes — l'aire de 0 à \(b\), moins l'aire de 0 à \(a\).
THÉORÈME — LE LIEN PRIMITIVE-INTÉGRALE (admis)
Soit \(f\) continue sur \(\left[a\;;\,b\right]\) et \(F\) une primitive quelconque de \(f\). Alors :
1.Trouve une primitive \(F\) de \(f\) (tableau du chapitre précédent, formes \(u'e^u\)…). Le \(+\,C\) est inutile ici : il s'annule dans la différence.
2.Écris le crochet \(\left[F(x)\right]_a^b\), puis calcule \(F(b) - F(a)\) — dans cet ordre : borne du haut d'abord.
3.Donne la valeur exacte, et une valeur approchée seulement si l'énoncé la demande.
EXEMPLES RÉSOLUS — LE THÉORÈME AU TRAVAIL
a. Calcule \(\displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x\).
Calcul — \(F(x) = \dfrac{x^3}{3}\) : \(\displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac{1}{3} - 0 = \dfrac{1}{3}\). Le tiers exact que les rectangles ne faisaient qu'approcher.
b. Calcule \(\displaystyle\int_1^2 \left(3x^2 - 2x\right)\mathrm{d}x\).
EXACT — borne du haut d'abord : l'aire jusqu'à \(b\), moins l'aire jusqu'à \(a\). L'ordre inversé change le signe du résultat — l'erreur de calcul n° 1 du chapitre.
EXACT — \(\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3}\) : la parabole ne remplit qu'un tiers du carré unité. Ni 1 (le carré entier), ni la dérivée \(2x\) évaluée quelque part.
Q3On pose \(A(x) = \displaystyle\int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t\). Alors \(A'(x)\) vaut…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — l'aire grandit à la vitesse de la hauteur de la courbe : \(A' = f\). C'est le cœur du graphique des deux étages — et la raison profonde du théorème.
4. L'intégrale est une aire signée
La définition supposait \(f\) positive. Et si la courbe passe sous l'axe ? Le théorème \(F(b) - F(a)\) continue de calculer quelque chose — mais quoi ? Fais glisser la borne \(b\) le long de la sinusoïde, et regarde ce qui arrive à l'intégrale quand la zone rouge apparaît.
INTERACTIFL'aire signée
au-dessus : 1,50en dessous : 0,00∫ = 1,50
Tout le domaine est au-dessus de l'axe : l'intégrale et l'aire, c'est pareil. En b = π, elles valent 2 — retiens ce nombre, il va servir de témoin.
Le calcul, lui, ne change jamais : ∫ de 0 à b de sin x dx = [−cos x] = 1 − cos b, que la courbe soit dessus ou dessous.
PROPRIÉTÉ — SIGNE ET EXTENSION DE LA DÉFINITION
Pour \(f\) continue de signe quelconque, on définit \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)\). Les zones au-dessus de l'axe comptent positivement, celles en dessous négativement : l'intégrale est une aire signée.
En particulier, si \(f \leq 0\) sur \(\left[a\;;\,b\right]\), alors \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \leq 0\), et l'aire du domaine vaut \(-\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\).
PROPRIÉTÉ — LA BOÎTE À OUTILS DES INTÉGRALES
Linéarité : \(\displaystyle\int_a^b \left(f + g\right) = \int_a^b f + \int_a^b g\) \(\quad\) et \(\quad\) \(\displaystyle\int_a^b k f = k \int_a^b f\) pour tout réel \(k\).
Relation de Chasles : \(\displaystyle\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f\) — les aires se recollent bout à bout.
Positivité et ordre : si \(f \geq 0\) sur \(\left[a\;;\,b\right]\) (avec \(a \leq b\)), alors \(\displaystyle\int_a^b f \geq 0\) ; et si \(f \leq g\), alors \(\displaystyle\int_a^b f \leq \int_a^b g\).
EXEMPLE RÉSOLU — AIRE D'UN DOMAINE SOUS L'AXE
Calcule l'aire du domaine délimité par la courbe de \(f(x) = x^2 - 4\), l'axe des abscisses, et les droites \(x = 0\) et \(x = 2\).
Étape 1 — Signe : sur \(\left[0\;;\,2\right]\), \(x^2 \leq 4\) donc \(f(x) \leq 0\) — le domaine est entièrement sous l'axe.
Étape 3 — L'aire est la valeur absolue : \(\dfrac{16}{3}\) u.a.
Conclusion : le signe d'abord, le calcul ensuite, la valeur absolue à la fin — une aire est toujours positive, une intégrale pas forcément.
TESTE-TOITrois sur les aires signées
Q1Si \(f\) est négative sur \(\left[a\;;\,b\right]\) (avec \(a < b\)), alors \(\displaystyle\int_a^b f\) est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — l'intégrale compte cette zone en négatif — c'est l'aire du domaine qui est positive, et elle vaut \(-\int_a^b f\). Deux notions voisines, deux mots différents, un piège de bac.
EXACT — la bosse (+2) et le creux (−2) se compensent exactement : intégrale nulle, alors que l'aire du domaine vaut 4. Tu l'as vu au graphique — et \([-\cos x]_0^{2\pi} = -1 + 1 = 0\) le confirme.
Q3\(\displaystyle\int_a^b f + \int_b^c f\) vaut…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — la relation de Chasles : les deux morceaux se recollent, quel que soit \(b\) — même en dehors de \(\left[a\;;\,c\right]\), grâce aux signes. Le nom te rappelle celui des vecteurs : même mécanique de recollement.
5. La valeur moyenne et l'intégration par parties
Sur le trajet des 240 km en 4 heures, ta vitesse a varié de 0 à 90 km/h. Mais si tu avais roulé à vitesse constante, il aurait fallu combien ? Cherche-la toi-même : monte la ligne de flottaison jusqu'à ce que son rectangle contienne exactement la même aire que la courbe.
Le rectangle ne contient pas encore toute la distance du trajet : la ligne est trop basse. Monte-la jusqu'à ce que l'aire du rectangle égale l'aire sous la courbe — les 240 km.
DÉFINITION
La valeur moyenne d'une fonction continue \(f\) sur \(\left[a\;;\,b\right]\) est le réel :
C'est la hauteur du rectangle de base \(\left[a\;;\,b\right]\) qui a la même aire (signée) que la courbe — la constante qui « ferait le même total ». Sur le trajet : \(\mu = \dfrac{240}{4} = 60\) km/h.
Dernier outil, pour les intégrales qui résistent. Comment calculer \(\displaystyle\int_0^1 x\,e^x\,\mathrm{d}x\) ? Aucune primitive du tableau ne colle : c'est un produit, et les produits se dérivent bien mais se primitivent mal. L'intégration par parties retourne la dérivée d'un produit en machine à simplifier.
PROPRIÉTÉ — L'INTÉGRATION PAR PARTIES
Soient \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables sur \(\left[a\;;\,b\right]\), de dérivées continues. Alors :
Étape 3 — \(I = 1\). Exactement 1 — vérifie l'ordre de grandeur sur un graphique : plausible pour une courbe qui monte de 0 à \(e\).
Conclusion : le facteur \(x\) a été « dérivé jusqu'à disparaître », l'exponentielle a suivi le mouvement. C'est le scénario type de toutes les IPP du bac.
À RETENIR
Valeur moyenne : \(\mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f\) — sans oublier la division. IPP : \(u\) = ce qui se simplifie en dérivant, et le signe moins devant la nouvelle intégrale.
TESTE-TOIQuatre questions pour finir
Q1La valeur moyenne de \(f\) sur \(\left[a\;;\,b\right]\), c'est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — le total, divisé par la longueur — comme une moyenne de notes. Sans la division, tu as l'intégrale ; et \(f\) au milieu de l'intervalle n'a aucune raison d'être la moyenne.
Q2La valeur moyenne de \(f(x) = x\) sur \(\left[0\;;\,2\right]\) vaut…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — \(\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^2 x\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{2} \times 2 = 1\) — cohérent : une droite qui monte régulièrement de 0 à 2 vaut 1 « en moyenne ». Le 2, c'est l'intégrale sans la division.
Q3La formule de l'intégration par parties est \(\displaystyle\int_a^b u\,v' = \)…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — crochet moins la nouvelle intégrale. Le signe vient du réarrangement de \((uv)' = u'v + uv'\) : on fait passer \(\int u'v\) de l'autre côté.
Q4Pour calculer \(\displaystyle\int_0^1 x\,e^x\,\mathrm{d}x\) par parties, on pose…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — \(u = x\) se dérive en 1 et disparaît : la nouvelle intégrale devient \(\int e^x\), triviale. Dans l'autre sens, on tombe sur \(\int \frac{x^2}{2}e^x\) — pire qu'au départ. Le choix de \(u\) fait tout.
LES PIÈGES CLASSIQUES
Confondre intégrale et aire. L'intégrale est signée : \(\int_0^{2\pi}\sin x\,\mathrm{d}x = 0\) alors que le domaine a une aire de 4. Pour une aire de domaine sous l'axe, prends \(-\int\) — et pour un domaine qui traverse l'axe, découpe d'abord aux points où \(f\) s'annule.
Écrire \(F(a) - F(b)\). C'est borne du haut d'abord : \(F(b) - F(a)\). L'inversion change le signe du résultat — et une aire négative doit toujours te mettre la puce à l'oreille.
Évaluer \(f\) au lieu de primitiver. \(\int_1^2 f \neq f(2) - f(1)\) : c'est la primitive qu'on évalue aux bornes. Le crochet \(\left[F(x)\right]_a^b\) écrit noir sur blanc protège de ce réflexe.
Oublier le \(\frac{1}{b-a}\) de la valeur moyenne. Sans lui, tu rends le total au lieu de la moyenne — 240 km au lieu de 60 km/h. L'unité du résultat te trahit : une moyenne de vitesses doit être une vitesse.
Mal choisir \(u\) dans l'IPP. Règle : \(u\) = le facteur qui se simplifie en dérivant (\(x\), \(\ln x\))… et n'oublie pas le signe moins devant la nouvelle intégrale. Si elle est plus compliquée qu'avant, échange les rôles.
L'ESSENTIEL EN 5 LIGNES
DÉFINITION
\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) : l'aire (en u.a.) entre courbe, axe et bornes — comptée avec son signe quand \(f\) change de signe.
CALCUL
\(\displaystyle\int_a^b f = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)\), pour n'importe quelle primitive \(F\) — borne du haut d'abord.
OUTILS
Linéarité ; Chasles \(\int_a^c = \int_a^b + \int_b^c\) ; positivité et ordre : \(f \leq g \Rightarrow \int f \leq \int g\).
MOYENNE
\(\mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f\) : la hauteur du rectangle qui fait la même aire — la constante « équivalente ».
IPP
\(\displaystyle\int_a^b u\,v' = \Big[u\,v\Big]_a^b - \int_a^b u'\,v\) ; choisir pour \(u\) le facteur qui se simplifie en dérivant.
Exercices
15 corrigés
Commence par le niveau 1. Cherche vraiment avant d'ouvrir le corrigé — c'est là que ça rentre. Les exercices suivent l'ordre du cours : aires géométriques, calculs par primitive, propriétés et aires signées, valeur moyenne, intégration par parties, et un problème pour finir.
EXERCICE 01 · sans primitiveniveau 1
Calcule chaque intégrale par un argument d'aire (rectangle, triangle, trapèze — sans primitive) : a. \(\displaystyle\int_1^4 3\,\mathrm{d}x\) ; b. \(\displaystyle\int_0^2 x\,\mathrm{d}x\) ; c. \(\displaystyle\int_0^2 (x + 1)\,\mathrm{d}x\).
CORRIGÉ
a. — Un rectangle de base 3 et de hauteur 3 : \(9\).
b. — Un triangle rectangle de base 2 et de hauteur 2 : \(\dfrac{2 \times 2}{2} = 2\).
c. — Un trapèze de bases 1 et 3, de hauteur 2 : \(\dfrac{(1 + 3) \times 2}{2} = 4\).
Conclusion : quand la courbe est une droite, la géométrie de collège suffit — et elle sert de vérification aux calculs par primitive.
EXERCICE 02 · F(b) − F(a)niveau 1
Calcule : a. \(\displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x\) ; b. \(\displaystyle\int_1^2 (2x + 1)\,\mathrm{d}x\) ; c. \(\displaystyle\int_0^1 e^x\,\mathrm{d}x\).
CORRIGÉ
a. — \(\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac{1}{3}\).
b. — \(\left[x^2 + x\right]_1^2 = 6 - 2 = 4\).
c. — \(\left[e^x\right]_0^1 = e - 1\) (\(\approx 1{,}72\)) — la valeur exacte suffit.
Conclusion : primitive, crochet, différence — borne du haut d'abord. Trois lignes par intégrale, pas plus.
EXERCICE 03 · avec sin, cos et 1/xniveau 1
Calcule : a. \(\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,\mathrm{d}x\) ; b. \(\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos x\,\mathrm{d}x\) ; c. \(\displaystyle\int_1^{e} \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x\).
CORRIGÉ
a. — \(\left[-\cos x\right]_0^{\pi} = -(-1) - (-1) = 2\) : la bosse du sinus contient exactement 2 unités d'aire — le témoin du graphique de l'aire signée.
b. — \(\left[\sin x\right]_0^{\pi/2} = 1 - 0 = 1\).
c. — \(\left[\ln x\right]_1^{e} = 1 - 0 = 1\) : l'aire sous l'hyperbole entre 1 et \(e\) vaut exactement 1 — c'est même une façon de définir \(e\).
Conclusion : les primitives des chapitres précédents nourrissent directement les intégrales — attention aux signes de \(-\cos\).
EXERCICE 04 · formes composéesniveau 2
Calcule : a. \(\displaystyle\int_0^1 e^{2x}\,\mathrm{d}x\) ; b. \(\displaystyle\int_0^{\pi/4} \cos(2x)\,\mathrm{d}x\) ; c. \(\displaystyle\int_0^2 (2x+1)^3\,\mathrm{d}x\).
CORRIGÉ
a. — \(\left[\dfrac{e^{2x}}{2}\right]_0^1 = \dfrac{e^2 - 1}{2}\).
b. — \(\left[\dfrac{\sin(2x)}{2}\right]_0^{\pi/4} = \dfrac{\sin(\pi/2)}{2} = \dfrac{1}{2}\).
c. — \(\left[\dfrac{(2x+1)^4}{8}\right]_0^2 = \dfrac{625 - 1}{8} = 78\).
Conclusion : le « diviser par \(a\) » des primitives affines fait tout le travail — vérifie chaque primitive en la dérivant avant d'évaluer.
EXERCICE 05 · linéariténiveau 2
On sait que \(\displaystyle\int_0^3 f = 5\) et \(\displaystyle\int_0^3 g = -2\). Calcule : a. \(\displaystyle\int_0^3 (f + g)\) ; b. \(\displaystyle\int_0^3 2f\) ; c. \(\displaystyle\int_0^3 (2f - 3g)\).
Conclusion : l'intégrale respecte sommes et coefficients — on calcule sur les valeurs des intégrales sans jamais connaître \(f\) ni \(g\).
EXERCICE 06 · Chaslesniveau 2
On sait que \(\displaystyle\int_0^2 f = 3\) et \(\displaystyle\int_2^5 f = -1\). Calcule : a. \(\displaystyle\int_0^5 f\) ; b. \(\displaystyle\int_2^0 f\) ; c. \(\displaystyle\int_5^0 f\).
CORRIGÉ
a. — Chasles : \(\displaystyle\int_0^5 f = \int_0^2 f + \int_2^5 f = 3 + (-1) = 2\).
b. — Échanger les bornes change le signe : \(\displaystyle\int_2^0 f = -3\).
c. — \(\displaystyle\int_5^0 f = -\int_0^5 f = -2\).
Conclusion : les intégrales se recollent (Chasles) et se retournent (échange des bornes = signe opposé) — deux réflexes qui évitent bien des recalculs.
EXERCICE 07 · aire signéeniveau 2
a. Calcule \(\displaystyle\int_{-1}^{1} x^3\,\mathrm{d}x\) et explique le résultat sans calcul, par un argument de symétrie. b. Quelle est l'aire réelle du domaine entre la courbe et l'axe sur \(\left[-1\;;\,1\right]\) ?
CORRIGÉ
a. — \(\left[\dfrac{x^4}{4}\right]_{-1}^{1} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} = 0\). Normal : \(x^3\) est impaire — le creux sur \(\left[-1\;;\,0\right]\) compense exactement la bosse sur \(\left[0\;;\,1\right]\).
b. — Chaque moitié a une aire de \(\displaystyle\int_0^1 x^3 = \dfrac{1}{4}\) : aire totale \(2 \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}\) u.a.
Conclusion : intégrale nulle, aire non nulle — le duo à connaître. Pour l'aire, on découpe là où \(f\) change de signe.
EXERCICE 08 · domaine sous l'axeniveau 2
Soit \(f(x) = x^2 - 4\). a. Justifie que \(f \leq 0\) sur \(\left[0\;;\,2\right]\). b. Calcule \(\displaystyle\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x\). c. Donne l'aire du domaine délimité par la courbe, l'axe et les droites \(x = 0\), \(x = 2\).
CORRIGÉ
a. — Sur \(\left[0\;;\,2\right]\), \(0 \leq x^2 \leq 4\), donc \(x^2 - 4 \leq 0\).
Étape 3 — Le rectangle de base \(\left[0\;;\,3\right]\) et de hauteur 3 a la même aire (9 u.a.) que le domaine sous la parabole — c'est la ligne de flottaison du cours.
Conclusion : intégrale d'abord, division ensuite. Et un contrôle de bon sens : la moyenne (3) est bien entre le minimum (0) et le maximum (9) de \(f\).
EXERCICE 10 · moyenne de sinniveau 2
Calcule la valeur moyenne de \(\sin\) sur \(\left[0\;;\,\pi\right]\), puis explique pourquoi le résultat est strictement compris entre 0 et 1.
Étape 3 — Sur \(\left]0\;;\,\pi\right[\), \(0 < \sin x \leq 1\) : la moyenne d'une fonction coincée entre 0 et 1 l'est aussi. Elle est plus proche de 1 que de 0 — la bosse passe la majorité de son temps « en altitude ».
Conclusion : \(\dfrac{2}{\pi}\), un nombre exact et surprenant — la moyenne d'une arche de sinusoïde. Les électriciens le connaissent par cœur.
EXERCICE 11 · IPP guidéeniveau 2
On veut calculer \(\displaystyle I = \int_0^1 x\,e^x\,\mathrm{d}x\). a. Pose \(u = x\) et \(v' = e^x\), et donne \(u'\) et \(v\). b. Applique la formule d'intégration par parties. c. Conclus.
CORRIGÉ
a. — \(u' = 1\) et \(v = e^x\).
b. — \(I = \Big[x\,e^x\Big]_0^1 - \displaystyle\int_0^1 1 \times e^x\,\mathrm{d}x = e - \left[e^x\right]_0^1 = e - (e - 1)\).
c. — \(I = 1\).
Conclusion : le \(x\) disparaît en dérivant, l'intégrale restante est triviale — le scénario IPP dans sa forme la plus pure.
EXERCICE 12 · l'intégrale de lnniveau 3
Calcule \(\displaystyle\int_1^{e} \ln x\,\mathrm{d}x\) par parties, en posant \(u = \ln x\) et \(v' = 1\).
CORRIGÉ
Étape 1 — \(u = \ln x\), \(u' = \dfrac{1}{x}\), \(v' = 1\), \(v = x\). L'astuce : écrire \(\ln x = \ln x \times 1\) pour faire apparaître un produit.
Étape 2 — \(\displaystyle\int_1^e \ln x\,\mathrm{d}x = \Big[x\ln x\Big]_1^e - \int_1^e \dfrac{1}{x} \times x\,\mathrm{d}x = e - \int_1^e 1\,\mathrm{d}x = e - (e - 1)\).
Étape 3 — Le résultat vaut \(1\) : l'aire sous le logarithme entre 1 et \(e\) est exactement une unité d'aire.
Conclusion : l'IPP sait primitiver \(\ln\) — que le tableau ne savait pas. Le \(\times\,1\) invisible est une astuce à ranger précieusement.
EXERCICE 13 · aire entre deux courbesniveau 3
a. Justifie que \(x^2 \leq x\) sur \(\left[0\;;\,1\right]\). b. Déduis-en l'aire du domaine compris entre les courbes de \(x \mapsto x\) et \(x \mapsto x^2\) sur \(\left[0\;;\,1\right]\).
CORRIGÉ
a. — Sur \(\left[0\;;\,1\right]\), \(x^2 - x = x(x - 1) \leq 0\) (produit d'un positif et d'un négatif) : \(x^2 \leq x\).
b. — L'aire entre les deux courbes est l'intégrale de la différence « haut moins bas » : \(\displaystyle\int_0^1 \left(x - x^2\right)\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}\) u.a.
Conclusion : entre deux courbes, on intègre « celle du dessus moins celle du dessous » — après avoir justifié qui est dessus. Un classique absolu du bac.
EXERCICE 14 · problèmeniveau 3
Refais à la main le trajet des graphiques : la vitesse est \(v(t) = 22{,}5\,t\,(4 - t)\) km/h, pour \(t \in \left[0\;;\,4\right]\) heures. a. Montre que la distance totale parcourue vaut 240 km. b. Déduis-en la vitesse moyenne du trajet. c. Quelle distance est parcourue pendant la première heure ? d. Montre qu'à mi-temps (\(t = 2\) h), on a parcouru exactement la moitié de la distance — et explique pourquoi ce n'est pas un hasard.
CORRIGÉ
a. — \(v(t) = 90t - 22{,}5t^2\), primitive \(V(t) = 45t^2 - 7{,}5t^3\). Distance : \(\displaystyle\int_0^4 v = V(4) - V(0) = 720 - 480 = 240\) km.
b. — \(\mu = \dfrac{240}{4} = 60\) km/h — la ligne de flottaison du graphique.
c. — \(\displaystyle\int_0^1 v = V(1) = 45 - 7{,}5 = 37{,}5\) km : à peine plus d'un sixième du trajet — on démarre lentement.
d. — \(V(2) = 180 - 60 = 120\) km, la moitié exacte de 240. Pas un hasard : la courbe de vitesse est symétrique par rapport à \(t = 2\) (\(v(2+u) = v(2-u)\)) : la deuxième moitié du trajet rejoue la première en miroir.
Conclusion : intégrale = distance, moyenne = 60 km/h, et une symétrie qui se lit sur l'aire — le compteur de vitesse n'a plus de secret.
VERS LE BAC — EXERCICE 15≈ 45 MIN · SANS CALCULATRICE
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x\,e^{-x}\), et \(\mathcal{C}\) sa courbe. On donne \(2{,}71 < e < 2{,}72\).
PARTIE A
Montre que \(F(x) = -(x + 1)\,e^{-x}\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
Déduis-en la valeur exacte de \(\displaystyle I = \int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x\).
Justifie que \(f(x) \geq 0\) sur \(\left[0\;;\,1\right]\), et interprète \(I\) graphiquement.
PARTIE B
Donne la valeur moyenne de \(f\) sur \(\left[0\;;\,1\right]\).
Retrouve la valeur de \(I\) par une intégration par parties.
A.3 — Sur \(\left[0\;;\,1\right]\), \(x \geq 0\) et \(e^{-x} > 0\) : \(f \geq 0\). Donc \(I\) est l'aire (en u.a.) du domaine entre \(\mathcal{C}\), l'axe des abscisses, \(x = 0\) et \(x = 1\).
B.1 — \(b - a = 1\) : la valeur moyenne vaut \(I = 1 - \dfrac{2}{e}\) elle-même.
B.2 — \(u = x\), \(v' = e^{-x}\), \(u' = 1\), \(v = -e^{-x}\) : \(I = \Big[-x\,e^{-x}\Big]_0^1 + \displaystyle\int_0^1 e^{-x}\,\mathrm{d}x = -\dfrac{1}{e} + \left(1 - \dfrac{1}{e}\right) = 1 - \dfrac{2}{e}\) — le même résultat par un autre chemin.
B.3 — \(2{,}71 < e < 2{,}72\) donne \(\dfrac{2}{2{,}72} < \dfrac{2}{e} < \dfrac{2}{2{,}71}\), soit \(0{,}735… < \dfrac{2}{e} < 0{,}739\). Donc \(0{,}26 < 1 - \dfrac{2}{e} < 0{,}265 \leq 0{,}27\) — l'encadrement demandé.