CE QUE TU DOIS SAVOIR FAIRE — compter sans lister : multiplier les choix d'un tirage en \(k\) étapes (\(n^k\) avec répétition, \(n \times (n-1) \times \dots\) sans), dénombrer les permutations (\(n!\)) et les podiums, calculer \(\dbinom{n}{k}\) pour les groupes sans ordre, et manier le triangle de Pascal — relation, symétrie, somme \(2^n\).
≈ 60 min de travail · 15 exercices corrigés · mis à jour août 2026
SOMMAIRE ▾
1. Compter sans énumérer
Ce soir, tu changes le code de ton téléphone. Quatre chiffres, chacun de 0 à 9. Combien de codes possibles ? Personne — vraiment personne — ne s'assoit pour écrire la liste : 0000, 0001, 0002… Il y en a 10 000, et tu le sais sans en avoir énuméré un seul. Tout ce chapitre tient dans ce petit miracle : compter des possibilités sans les lister.
D'où sort ce 10 000 ? D'une multiplication. Et pour voir pourquoi on multiplie — au lieu d'additionner —, le plus simple est un exemple minuscule : le self du lycée, 2 entrées, 3 plats.
Chaque entrée ouvre les trois mêmes suites : 2 paquets de 3 chemins, donc 2 × 3 = 6 menus. Multiplier, c'est compter des paquets de même taille.
Ton code à 4 chiffres, c'est le même dessin en beaucoup plus grand : 4 étapes, 10 choix à chaque étape, et chaque chiffre choisi ouvre les 10 mêmes suites pour la case d'après. Plutôt que de dessiner un arbre à 10 000 branches, on dessine les cases :
Quatre cases, 10 choix chacune : le nombre de codes est le produit des choix. C'est exactement ce tableau de cases que tu vas régler toi-même à la section suivante.
Prends la machine en main. Règle le nombre de cases \(k\) et le nombre de choix \(n\) par case, et lis le produit qui se construit. Puis bascule en « sans répétition » : chaque objet utilisé disparaît du stock, et les facteurs se mettent à descendre — jusqu'à l'accident si tu demandes plus de cases qu'il n'y a d'objets.
INTERACTIFLa machine à cases
k
n
k = 4 casesn = 10 objetstotal : 10 000
10 × 10 × 10 × 10 = 10 000
Chaque case offre les n mêmes choix, quoi qu'on ait mis avant : le stock se recharge. Le produit vaut n × n × … × n, c'est-à-dire n puissance k.
Avec répétition, chaque case offre n choix : nᵏ possibilités. Sans répétition, le stock diminue : n × (n − 1) × (n − 2) × … — et le total tombe à 0 dès que k > n.
POURQUOI MULTIPLIER — ET PAS ADDITIONNER ?
Parce que chaque choix d'une case ouvre le même nombre de suites pour les cases d'après — l'arbre du self : 2 entrées, chacune ouvrant 3 plats, donc 2 paquets de 3. Des paquets de même taille se comptent par un produit. L'addition, elle, sert à recoller des cas incompatibles : « ou bien… ou bien… ». Retiens la traduction : « et… puis… » → ×, « ou » exclusif → +.
Ce que tu viens de faire avec la main, voilà comment on l'écrit.
DÉFINITION
Le produit cartésien \(A \times B\) de deux ensembles est l'ensemble des couples \((a\;;\,b)\) où \(a\) parcourt \(A\) et \(b\) parcourt \(B\) — une case pour \(A\), une case pour \(B\). Plus généralement, un \(k\)-uplet d'éléments de \(A\) est une liste ordonnée \((a_1\;;\,a_2\;;\,\dots\;;\,a_k)\) : le contenu de \(k\) cases. Ton code de téléphone est un 4-uplet de chiffres.
PRINCIPE MULTIPLICATIF
Si un choix se construit en étapes successives — \(n_1\) options à la première étape, \(n_2\) à la deuxième, etc. —, le nombre total de possibilités est le produit \(n_1 \times n_2 \times \dots\). En particulier, pour un ensemble \(A\) à \(n\) éléments :
1.Identifie les cases : les étapes du choix, dans l'ordre où on les remplit. Combien y en a-t-il ?
2.Compte les choix par case, en te demandant si la répétition est permise (le stock se recharge : toujours \(n\)) ou interdite (le stock diminue : \(n\), puis \(n-1\), puis \(n-2\)…).
3.Multiplie tous les facteurs. Un « et… puis… » se traduit par ×, jamais par +.
EXEMPLE RÉSOLU — LA PLAQUE D'IMMATRICULATION
Une plaque a la forme AB-123-CD : deux lettres, trois chiffres, deux lettres (on autorise ici toutes les lettres et tous les chiffres, répétitions permises). Combien de plaques possibles ?
Étape 2 — Répétitions permises : 26 choix pour chaque lettre, 10 pour chaque chiffre.
Étape 3 — \(26^2 \times 10^3 \times 26^2 = 456\,976\,000\) — presque un demi-milliard de plaques.
Conclusion : sept cases, sept facteurs, un produit. Aucune liste, aucun arbre — la machine à cases suffit.
TESTE-TOITrois questions, trente secondes
Q1Un code à 4 chiffres (0 à 9, répétitions permises) : combien de codes ?
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — 4 cases, 10 choix chacune : \(10^4\). Additionner (40) compte des cas incompatibles, pas des étapes successives ; et 5 040 interdirait de répéter un chiffre — « 7777 » est pourtant un code valide.
Q2Combien de mots de 3 lettres (avec ou sans sens, répétitions permises) ?
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — trois cases, 26 choix chacune, le stock se recharge : \(26^3\). Le 15 600 compte sans répétition — mais « AAA » est un mot autorisé.
Q3On tire 3 objets parmi 8, dans l'ordre, sans remise. Combien de tirages ?
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — le stock diminue : 8 choix, puis 7, puis 6 — produit 336. \(8^3\) remettrait l'objet en jeu à chaque tirage, et 21 additionne des étapes qu'il faut multiplier.
3. Quand l'ordre compte
Cinq chapitres à réviser, cinq chansons dans la playlist — une par chapitre. Dans quel ordre les écouter ? Construis ta playlist en touchant les titres dans l'ordre de ton choix, et regarde le compteur de choix fondre à chaque titre placé.
INTERACTIFLa playlist de révision
créneau 1créneau 2créneau 3créneau 4créneau 5
choix pour le créneau 1 : 5
touche un titre pour commencer
Playlist complète. N'importe quel ordre de choix donne le même produit : 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5! = 120. Recommence en choisissant autrement — le total ne bougera pas.
Cinq titres, cinq créneaux : 5 choix pour le premier créneau, puis 4, puis 3… Le nombre d'ordres d'écoute possibles est le produit de tous ces choix.
Ranger 5 titres, c'est remplir 5 cases sans répétition avec exactement 5 objets : la machine à cases, poussée à fond. Ce compte-là a un nom et un symbole.
DÉFINITION
Une permutation d'un ensemble à \(n\) éléments est une façon de les ranger tous, dans un ordre. Il y en a « factorielle \(n\) », notée \(n!\) :
Quand on ne classe que \(k\) éléments parmi \(n\) — un podium de 3 parmi 8 coureurs —, on compte les \(k\)-uplets d'éléments distincts : \(k\) cases, sans répétition, et l'ordre compte. Il y en a :
Huit joueurs disputent le tournoi d'échecs du lycée. Combien de podiums (1ᵉʳ, 2ᵉ, 3ᵉ) possibles ?
Étape 1 — Trois cases : la première place, la deuxième, la troisième. Échanger deux noms change le podium : l'ordre compte.
Étape 2 — Sans répétition (personne ne monte deux fois) : 8 choix, puis 7, puis 6.
Étape 3 — \(8 \times 7 \times 6 = 336\) — soit \(\dfrac{8!}{5!}\) : la factorielle de 8, arrêtée après trois facteurs.
Conclusion : podium = cases ordonnées sans répétition. La formule \(\dfrac{n!}{(n-k)!}\) n'est que la machine à cases écrite en factorielles.
LES PREMIÈRES FACTORIELLESÇA MONTE TRÈS VITE
\(n\)
1
2
3
4
5
6
7
\(n!\)
1
2
6
24
120
720
5 040
TESTE-TOIEncore trois sur l'ordre
Q1\(5!\) vaut…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — \(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\) — tu l'as construit sur la playlist. Le 15, c'est \(5 + 4 + 3 + 2 + 1\) : la somme au lieu du produit ; et 25, c'est \(5^2\).
Q2Course à 8 coureurs : combien de podiums (or, argent, bronze) ?
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — l'ordre compte et personne ne monte deux fois : \(8 \times 7 \times 6\). Le 56, c'est le nombre de trios sans podium — la nuance arrive à la section 4 ; et \(8^3\) ferait gagner le même coureur trois fois.
Q3\(\dfrac{n!}{(n-k)!}\) compte…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — \(\dfrac{n!}{(n-k)!} = n \times (n-1) \times \dots \times (n-k+1)\) : \(k\) cases, stock qui diminue, ordre qui compte. Avec répétition ce serait \(n^k\) ; et sans l'ordre, il faudra encore diviser par \(k!\) — c'est justement la suite.
4. Quand l'ordre ne compte pas
Le groupe d'exposé, maintenant. Tu dois choisir 2 camarades parmi 4. Choisir Lina puis Sam, ou Sam puis Lina ? C'est le même binôme. Jusqu'ici l'ordre fabriquait des résultats différents ; ici il ne fabrique que des doublons. Le graphique note les camarades A, B, C, D… — affiche tous les tirages ordonnés, puis appuie sur le bouton et regarde-les fusionner.
INTERACTIFDu tirage ordonné au groupe
tirages ordonnés : 12k! = 2! = 2et sans l'ordre, combien de groupes ?
Voilà les 12 tirages ordonnés de 2 parmi 4. Cherche les doublons : AB et BA désignent le même groupe. Chaque groupe apparaît 2 fois.
A, B, C… sont les camarades. Un tirage ordonné dit qui d'abord, qui ensuite ; un groupe dit seulement qui. Combinaisons = tirages ordonnés ÷ k!.
POURQUOI DIVISER PAR k! ?
Un groupe de \(k\) personnes peut se ranger de \(k!\) façons — tu viens de le voir : chaque paquet fusionné contenait exactement \(k!\) cartes. En ordonnant, on compte donc chaque groupe \(k!\) fois. Diviser par \(k!\), c'est effacer l'ordre : ni magie, ni convention — un simple recomptage de doublons.
DÉFINITION
Une combinaison de \(k\) éléments parmi \(n\), c'est une partie à \(k\) éléments d'un ensemble à \(n\) éléments — un groupe, sans ordre. Leur nombre est le coefficient binomial \(\dbinom{n}{k}\), qui se lit « \(k\) parmi \(n\) ».
MÉTHODE — ORDRE OU PAS ? LA QUESTION AVANT TOUTE FORMULE
1.Pose-toi LA question réflexe : « échanger deux choix change-t-il le résultat ? »
2.Oui — podium, code, mot de passe : l'ordre compte. Machine à cases : \(n^k\) avec répétition, \(\dfrac{n!}{(n-k)!}\) sans.
3.Non — groupe, main de cartes, équipe : combinaison, \(\dbinom{n}{k}\). En cas de doute, écris un mini-exemple à 3 ou 4 objets et regarde si AB et BA font un résultat ou deux.
EXEMPLES RÉSOLUS — LA MAIN DE CARTES, PUIS « AU MOINS UN »
a. On distribue une main de 5 cartes d'un jeu de 32. Combien de mains possibles ?
Ordre ? — Non : une main est un paquet, pas une file. C'est \(\dbinom{32}{5} = \dfrac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28}{5!} = \dfrac{24\,165\,120}{120} = 201\,376\).
b. Combien de ces mains contiennent au moins un as ?
Étape 1 — Compter directement « 1 as, ou 2, ou 3, ou 4 » serait long. On passe par le contraire : aucun as.
Étape 2 — Aucun as = 5 cartes parmi les 28 autres : \(\dbinom{28}{5} = 98\,280\).
Étape 3 — Au moins un as : \(201\,376 - 98\,280 = 103\,096\).
Conclusion : « au moins un » = tout, moins « aucun ». Un seul calcul au lieu de quatre — le réflexe du complémentaire.
À RETENIR
L'ordre compte → produit de cases. L'ordre ne compte pas → \(\dbinom{n}{k}\). Et « au moins un » se compte presque toujours par le complémentaire : tout, moins « aucun ».
TESTE-TOIQuatre questions sur les groupes
Q1Choisir 2 délégués (sans rôle distinct) parmi 4 candidats : combien de duos ?
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — \(\dbinom{4}{2} = \dfrac{4 \times 3}{2} = 6\). Le 12 compte les tirages ordonnés : Lina-Sam et Sam-Lina y font deux — tu les as vus fusionner carte par carte sur le graphique.
Q2Dans \(\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\), pourquoi divise-t-on par \(k!\) ?
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — un groupe de \(k\) personnes se range de \(k!\) façons : ordonné, il est compté \(k!\) fois. La division efface exactement ces doublons — rien d'une convention.
Q3Une main de 5 cartes parmi 32, c'est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — une main est un groupe sans ordre : \(\dbinom{32}{5}\). Le 24 165 120 ordonne les cartes (le ÷ 5! a été oublié), et \(32^5\) remettrait chaque carte dans le paquet avant de tirer la suivante.
Q4« Au moins un » se calcule le plus vite…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — « au moins un » est le contraire exact de « aucun » : un seul calcul. L'addition cas par cas aboutit aussi… mais elle est longue, et il est facile d'y oublier un cas.
5. Le triangle de Pascal
Range maintenant tous les \(\dbinom{n}{k}\) dans un tableau : la ligne \(n\) contient \(\dbinom{n}{0}, \dbinom{n}{1}, \dots, \dbinom{n}{n}\). Ce tableau a un secret : il se construit tout seul, sans calculer une seule factorielle. Touche n'importe quel coefficient — il avoue d'où il vient.
INTERACTIFLe triangle qui se construit tout seul
somme de la ligne 6 : 64 = 2⁶
C(6,2) = C(5,1) + C(5,2) : 15 = 5 + 10
Chaque case est la somme des deux cases juste au-dessus — le triangle entier sort de cette seule règle, ligne après ligne.
Lignes n = 0 à 7. La case k de la ligne n vaut C(n,k). Les deux cases vertes sont les « parents » ; la case miroir est C(n, n−k), de même valeur.
PROPRIÉTÉ — LA FORMULE DE PASCAL
Pour tous entiers \(n \geq 1\) et \(1 \leq k \leq n-1\) :
Fixe un élément — disons le dernier arrivé, Zoé. Les groupes de \(k\) parmi \(n\) se trient en deux paquets incompatibles : ceux avec Zoé (il reste \(k-1\) places pour \(n-1\) camarades : \(\dbinom{n-1}{k-1}\)) et ceux sans Zoé (\(k\) places pour \(n-1\) camarades : \(\dbinom{n-1}{k}\)). Deux paquets disjoints : on additionne. C'est tout le triangle.
PROPRIÉTÉ — LA SYMÉTRIE
\(\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}\) : choisir les \(k\) élus, c'est exactement désigner les \(n-k\) écartés. Sur le triangle, chaque ligne se lit pareil dans les deux sens.
PROPRIÉTÉ — LE NOMBRE DE PARTIES
Un ensemble à \(n\) éléments possède \(2^n\) parties (y compris l'ensemble vide et l'ensemble entier). C'est aussi la somme de la ligne \(n\) du triangle :
Pour fabriquer une partie, passe les \(n\) éléments en revue et décide pour chacun : dedans ou dehors. C'est un mot binaire de longueur \(n\) — la machine à cases revient, avec \(n\) cases à 2 choix : \(2 \times 2 \times \dots \times 2 = 2^n\).
EXEMPLE RÉSOLU — LA LIGNE 5, DE TÊTE
Sans calculer une seule factorielle, retrouve les \(\dbinom{5}{k}\).
Contrôle — La somme vaut \(1+5+10+10+5+1 = 32 = 2^5\), et la ligne est bien symétrique. ✓
Conclusion : au bac, redessiner trois lignes du triangle est souvent plus rapide — et plus sûr — que la formule avec les factorielles.
TESTE-TOITrois questions pour finir
Q1Dans le triangle, \(\dbinom{6}{2}\) s'obtient en additionnant…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — les deux cases juste au-dessus : \(5 + 10 = 15\). Décaler d'un cran (\(10 + 10 = 20\)) ou rester sur la même ligne, c'est viser les mauvais parents — vérifie sur le graphique.
Q2Sans calcul, \(\dbinom{10}{8}\) vaut…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — symétrie : choisir 8 élus, c'est écarter 2 personnes, donc \(\dbinom{10}{8} = \dbinom{10}{2} = \dfrac{10 \times 9}{2} = 45\). Le 90 oublie le ÷ 2!, et 80 n'est la formule de rien.
Q3Un ensemble à 10 éléments possède…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — chaque élément est dedans ou dehors : \(2^{10} = 1\,024\). Le \(10^2 = 100\) est LE piège classique (l'exposant et la base échangés), et \(10!\) compte des rangements, pas des parties.
LES PIÈGES CLASSIQUES
Confondre \(n^k\) et \(n \times (n-1) \times \dots\). Le code accepte « 7777 » (répétition : \(10^4\)) ; le tiercé ne fait pas courir deux fois le même cheval (sans répétition : le stock diminue). Avant de multiplier, demande-toi si le stock se recharge ou pas.
Confondre podium et équipe. Un podium de 3 parmi 8 : \(8 \times 7 \times 6 = 336\) ; une équipe de 3 parmi 8 : \(\dbinom{8}{3} = 56\). La question réflexe : « échanger deux choix change-t-il le résultat ? » Oui → cases ordonnées ; non → combinaison.
Additionner au lieu de multiplier. « Et… puis… » (des étapes successives) → produit ; « ou » entre cas incompatibles → somme. Deux entrées puis trois plats : 6 menus, pas 5.
Oublier de diviser par \(k!\). 2 parmi 4 en ordonnant : 12 tirages… mais 6 groupes seulement — chaque paire est comptée 2 fois. Dès que l'énoncé dit « main », « groupe », « équipe », le ÷ \(k!\) est obligatoire.
Confondre \(2^n\) et \(n^2\). Les parties d'un ensemble à 10 éléments : \(2^{10} = 1\,024\), pas 100. Chaque élément a 2 sorts (dedans ou dehors) : \(n\) cases à 2 choix — encore la machine à cases.
L'ESSENTIEL EN 5 LIGNES
CASES
Un choix en étapes successives = un produit : \(n_1 \times n_2 \times \dots\) « Et… puis… » → multiplier ; « ou » exclusif → additionner.
K-UPLETS
\(n^k\) listes de \(k\) éléments avec répétition — le code à 4 chiffres : \(10^4 = 10\,000\).
SANS RÉPÉTITION
Ordonné sans répétition : \(n \times (n-1) \times \dots \times (n-k+1) = \dfrac{n!}{(n-k)!}\) ; ranger tout le monde : \(n!\).
COMBINAISONS
\(\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\) groupes de \(k\) sans ordre — les tirages ordonnés, divisés par \(k!\).
PASCAL
\(\dbinom{n}{k} = \dbinom{n-1}{k-1} + \dbinom{n-1}{k}\) ; symétrie \(\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}\) ; somme de la ligne : \(2^n\) parties.
Exercices
15 corrigés
Commence par le niveau 1. Cherche vraiment avant d'ouvrir le corrigé — c'est là que ça rentre. Les exercices suivent l'ordre du cours : cases et k-uplets, ordres et podiums, combinaisons, triangle de Pascal et parties, et un problème pour finir.
EXERCICE 01 · les menus du selfniveau 1
Au self, un menu se compose d'une entrée, d'un plat et d'un dessert. Il y a 3 entrées, 4 plats et 2 desserts. a. Combien de menus différents ? b. On ajoute un choix indépendant « avec ou sans fromage » : combien de menus maintenant ?
CORRIGÉ
a. — Trois cases (entrée, plat, dessert) : \(3 \times 4 \times 2 = 24\) menus.
b. — Une case de plus, à 2 choix : \(24 \times 2 = 48\).
Conclusion : chaque étape indépendante ajoute un facteur, jamais un terme — « et… puis… » se traduit par ×.
EXERCICE 02 · codes et k-upletsniveau 1
a. Combien de codes à 4 chiffres ? b. Combien de codes à 6 chiffres ? c. Combien de codes à 4 chiffres tous différents ?
b. — \(10^6 = 1\,000\,000\) : deux cases de plus, cent fois plus de codes.
c. — Sans répétition, le stock diminue : \(10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5\,040\).
Conclusion : la seule question qui change la formule est « répétition ou pas ? » — \(n^k\) si le stock se recharge, facteurs décroissants sinon.
EXERCICE 03 · la grille de QCMniveau 2
Un QCM compte 8 questions ; chacune propose 4 réponses dont une seule juste, et on coche exactement une réponse par question. a. Combien de grilles complètes possibles ? b. Combien de grilles entièrement fausses ? c. Sans calcul : pourquoi la grille « tout juste » est-elle unique ?
b. — \(\dfrac{8!}{6!} = \dfrac{8 \times 7 \times 6!}{6!} = 8 \times 7 = 56\) : tout \(6!\) se simplifie d'un coup.
c. — MARDI a 5 lettres toutes distinctes : ranger 5 lettres, c'est \(5! = 120\) anagrammes.
Conclusion : ne développe jamais une factorielle avant d'avoir simplifié — et vérifie toujours que les lettres sont distinctes avant d'écrire \(n!\).
EXERCICE 05 · la photo de groupeniveau 2
Six amis s'alignent pour une photo. a. Combien d'alignements possibles ? b. Lina et Sam veulent être côte à côte : combien d'alignements alors ?
CORRIGÉ
a. — Une permutation de 6 personnes : \(6! = 720\).
b. — Colle Lina et Sam en un seul « bloc » : il reste 5 objets à aligner (\(5! = 120\)), et le bloc s'ordonne de 2 façons (Lina-Sam ou Sam-Lina) : \(2 \times 5! = 240\).
Conclusion : l'astuce du bloc transforme une contrainte « côte à côte » en une permutation ordinaire — puis un facteur pour l'intérieur du bloc.
EXERCICE 06 · podiums et relaisniveau 2
a. Douze joueuses disputent un tournoi : combien de podiums (1ᵉʳ, 2ᵉ, 3ᵉ) possibles ? b. Un relais 4 × 100 m se compose de 4 coureurs ordonnés, choisis parmi 8 : combien d'équipes de relais ? c. Écris le résultat de b. avec des factorielles.
CORRIGÉ
a. — \(12 \times 11 \times 10 = 1\,320\) podiums.
b. — 4 cases ordonnées sans répétition : \(8 \times 7 \times 6 \times 5 = 1\,680\).
c. — \(\dfrac{8!}{(8-4)!} = \dfrac{8!}{4!} = 1\,680\) : la factorielle de 8, arrêtée après 4 facteurs.
Conclusion : dès que les places sont nommées (médailles, positions de course), l'ordre compte — produit de facteurs décroissants.
EXERCICE 07 · premiers coefficients binomiauxniveau 1
Calcule sans calculatrice : a. \(\dbinom{5}{2}\) ; b. \(\dbinom{6}{3}\) ; c. \(\dbinom{9}{1}\) ; d. \(\dbinom{7}{0}\).
c. — \(\dbinom{9}{1} = 9\) : choisir 1 élément parmi 9, c'est juste le désigner.
d. — \(\dbinom{7}{0} = 1\) : une seule façon de ne rien choisir — le groupe vide.
Conclusion : la forme \(\dfrac{n \times (n-1) \times \dots}{k!}\) (k facteurs en haut, \(k!\) en bas) est la plus rapide de tête — et \(\dbinom{n}{0} = 1\), \(\dbinom{n}{1} = n\) se lisent sans calcul.
EXERCICE 08 · factorielles en équationniveau 2
a. Montre que pour \(n \geq 2\), \(\dfrac{n!}{(n-2)!} = n(n-1)\). b. Résous \(\dfrac{n!}{(n-2)!} = 90\). c. En déduire l'entier \(n\) tel que \(\dbinom{n}{2} = 45\).
CORRIGÉ
a. — \(n! = n \times (n-1) \times (n-2)!\) : le quotient laisse \(n(n-1)\).
b. — \(n(n-1) = 90\), soit \(n^2 - n - 90 = 0\) : \(\Delta = 1 + 360 = 361 = 19^2\), donc \(n = \dfrac{1 + 19}{2} = 10\) (l'autre racine, \(-9\), n'est pas un entier naturel). Vérification : \(10 \times 9 = 90\). ✓
Conclusion : une équation en factorielles se simplifie avant tout calcul — et \(\dbinom{n}{2} = \dfrac{n(n-1)}{2}\) vaut la peine d'être connue par cœur.
EXERCICE 09 · délégués : ordre ou pas ?niveau 2
La classe compte 28 élèves. a. On élit un délégué titulaire puis un suppléant : combien de résultats possibles ? b. On choisit simplement 2 délégués aux rôles identiques : combien de duos ? c. Compare les deux réponses et explique le lien.
CORRIGÉ
a. — Deux rôles distincts : l'ordre compte. \(28 \times 27 = 756\).
b. — Rôles identiques : un duo sans ordre. \(\dbinom{28}{2} = \dfrac{28 \times 27}{2} = 378\).
c. — \(756 = 2 \times 378\) : chaque duo correspond à \(2! = 2\) attributions des rôles (qui est titulaire, qui est suppléant).
Conclusion : la seule différence entre les deux comptes est le \(÷\,k!\) — les rôles nommés créent l'ordre, les rôles identiques l'effacent.
EXERCICE 10 · au moins unniveau 2
Un sac contient 12 jetons : 5 rouges et 7 noirs. On en prend 3 d'un coup (une poignée, sans ordre). a. Combien de poignées possibles ? b. Combien ne contiennent aucun jeton rouge ? c. Combien contiennent au moins un jeton rouge ?
b. — Aucun rouge = 3 jetons parmi les 7 noirs : \(\dbinom{7}{3} = 35\).
c. — Complémentaire : \(220 - 35 = 185\).
Conclusion : « au moins un » = tout moins « aucun ». Compter directement (1 rouge, ou 2, ou 3) donnerait le même 185 — en trois calculs au lieu d'un.
EXERCICE 11 · le groupe d'exposéniveau 2
La classe compte 24 élèves. a. Combien de groupes d'exposé de 4 élèves ? b. Combien de ces groupes contiennent Lina ? c. Quelle fraction des groupes contient Lina ? Compare-la à \(\dfrac{4}{24}\) et interprète.
b. — Lina étant prise, il reste 3 places pour 23 élèves : \(\dbinom{23}{3} = 1\,771\).
c. — \(\dfrac{1\,771}{10\,626} = \dfrac{1}{6}\), et \(\dfrac{4}{24} = \dfrac{1}{6}\) aussi : un groupe de 4 « occupe » 4 des 24 places — chaque élève apparaît dans la même fraction \(k/n\) des groupes.
Conclusion : « les groupes qui contiennent X » se comptent en retirant X de l'ensemble ET une place du groupe : \(\dbinom{n-1}{k-1}\).
EXERCICE 12 · la ligne suivanteniveau 2
La ligne 4 du triangle de Pascal est : 1, 4, 6, 4, 1. a. Construis la ligne 5 sans aucune factorielle. b. Vérifie sa somme avec la formule du cours. c. Que vaut \(\dbinom{5}{2}\) ?
c. — \(\dbinom{5}{2}\) est la case \(k = 2\) de la ligne 5 (la troisième, car on part de \(k = 0\)) : 10.
Conclusion : le triangle donne les coefficients ligne par ligne, et la somme \(2^n\) sert de vérification gratuite à chaque ligne.
EXERCICE 13 · symétrie et partiesniveau 3
a. Démontre par le calcul que \(\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}\). b. Déduis-en \(\dbinom{10}{8}\) sans calculatrice. c. Un club de 10 personnes veut créer une délégation, de taille libre (de 0 à 10 personnes) : combien de délégations possibles ?
CORRIGÉ
a. — \(\dbinom{n}{n-k} = \dfrac{n!}{(n-k)!\,\big(n-(n-k)\big)!} = \dfrac{n!}{(n-k)!\,k!} = \dbinom{n}{k}\) : les deux factorielles du dénominateur échangent leurs places, le quotient ne bouge pas.
c. — Une délégation = une partie de l'ensemble des 10 membres : \(2^{10} = 1\,024\) (vide et club entier compris).
Conclusion : choisir les élus ou désigner les écartés, c'est le même geste — et le compte de toutes les parties est \(2^n\), pas \(n^2\).
EXERCICE 14 · problème : la commissionniveau 3
Le club théâtre du lycée compte 7 filles et 5 garçons. a. Combien de commissions de 3 filles et 2 garçons peut-on former ? b. Combien de commissions de 5 membres sans contrainte ? c. Combien de commissions de 5 contiennent au moins une fille ? d. Au moins un garçon ?
CORRIGÉ
a. — Deux choix successifs et indépendants : les filles (\(\dbinom{7}{3} = 35\)) puis les garçons (\(\dbinom{5}{2} = 10\)). Total : \(35 \times 10 = 350\) — des combinaisons dans chaque case, un produit entre les cases.
b. — 5 membres parmi \(7 + 5 = 12\) : \(\dbinom{12}{5} = 792\).
c. — Complémentaire : aucune fille = 5 garçons parmi 5, soit \(\dbinom{5}{5} = 1\) seule commission. Au moins une fille : \(792 - 1 = 791\).
d. — Aucun garçon = 5 filles parmi 7 : \(\dbinom{7}{5} = \dbinom{7}{2} = 21\). Au moins un garçon : \(792 - 21 = 771\).
Conclusion : le problème mélange tout le chapitre — combinaisons pour chaque catégorie, principe multiplicatif entre catégories, complémentaire pour « au moins un », et même la symétrie pour calculer \(\dbinom{7}{5}\) de tête.
VERS LE BAC — EXERCICE 15≈ 45 MIN · CALCULATRICE UTILE
Le tournoi de badminton du lycée réunit 10 joueurs, dont 6 élèves de Terminale.
PARTIE A
Calcule \(\dbinom{6}{2}\) de deux façons : par la formule, puis par la formule de Pascal à partir de \(\dbinom{5}{1} = 5\) et \(\dbinom{5}{2} = 10\).
Montre que \(\dbinom{n}{2} = \dfrac{n(n-1)}{2}\), puis détermine l'entier \(n \geq 2\) tel que \(\dbinom{n}{2} = 66\).
Justifie sans calcul que \(\dbinom{n}{n-1} = n\).
PARTIE B
Au premier tour, chaque joueur affronte une fois chacun des 9 autres. Combien de matchs sont joués ?
À la fin du tournoi, on établit un podium (1ᵉʳ, 2ᵉ, 3ᵉ). Combien de podiums possibles ?
On forme ensuite une équipe de 4 joueurs (sans rôles distincts) pour le tournoi académique. Combien d'équipes possibles ?
Combien de ces équipes contiennent au moins un élève de Terminale ?
CORRIGÉ — LES GRANDES ÉTAPES
A.1 — \(\dbinom{6}{2} = \dfrac{6 \times 5}{2} = 15\) ; et par Pascal, \(\dbinom{6}{2} = \dbinom{5}{1} + \dbinom{5}{2} = 5 + 10 = 15\) — les deux chemins concordent.
A.2 — \(\dbinom{n}{2} = \dfrac{n(n-1)}{2}\) (2 facteurs en haut, \(2!\) en bas). Alors \(n(n-1) = 132\), soit \(n^2 - n - 132 = 0\) : \(\Delta = 529 = 23^2\), \(n = \dfrac{1+23}{2} = 12\) (l'autre racine est négative). Vérification : \(12 \times 11 = 132\). ✓
A.3 — Choisir \(n-1\) élus, c'est écarter exactement 1 personne : il y a \(n\) choix pour l'écartée, donc \(\dbinom{n}{n-1} = n\) — c'est la symétrie \(\dbinom{n}{n-1} = \dbinom{n}{1}\).
B.1 — Un match = une paire de joueurs (sans ordre) : \(\dbinom{10}{2} = 45\) matchs.
B.2 — Trois places nommées, sans répétition : \(10 \times 9 \times 8 = 720\) podiums.
B.3 — Une équipe est un groupe sans ordre : \(\dbinom{10}{4} = 210\).
B.4 — Complémentaire : aucune Terminale = 4 joueurs parmi les \(10 - 6 = 4\) autres, soit \(\dbinom{4}{4} = 1\) équipe. Au moins un : \(210 - 1 = 209\).