CE QUE TU DOIS SAVOIR FAIRE — justifier la position relative de deux droites, d'une droite et d'un plan ou de deux plans dans un cube, montrer que trois vecteurs sont coplanaires (\(\vec w = a\vec u + b\vec v\)), et calculer dans un repère de l'espace : coordonnées, vecteur \(\overrightarrow{AB}\), milieu, alignement.
≈ 60 min de travail · 15 exercices corrigés · mis à jour août 2026
SOMMAIRE ▾
1. La troisième dimension
Une mouche entre dans ta chambre et se pose sur le mur, au-dessus du bureau. Pour dire où elle est, deux nombres suffisent : à 1 m du coin, à 1,50 m du sol. Le mur est un plan — et sur un plan, tu sais tout faire : repères, vecteurs, équations de droites, toute la géométrie de Première.
Puis la mouche décolle. La voilà en vol, quelque part au milieu de la pièce. Tes deux nombres ne la retrouvent plus : il en faut un troisième, la hauteur. Bienvenue dans l'espace — trois dimensions, trois nombres. Tout ce chapitre tient dans ce saut-là.
POURQUOI UNE MOUCHE ?
La légende raconte que Descartes, cloué au lit, suivait des yeux une mouche au plafond et se demanda comment décrire sa position à chaque instant. Sa réponse — des nombres mesurés le long d'axes — a donné les coordonnées : celles de Seconde comme celles de ce chapitre. La mouche reviendra à la section 5, pour être épinglée par trois nombres.
Avant les coordonnées, un avertissement. Dans l'espace, tout se dessine sur une feuille… plate. Le dessin écrase la profondeur : deux traits qui se croisent sur le papier ne se touchent pas forcément en vrai — l'un passe peut-être loin derrière l'autre. Regarde le cube ABCDEFGH ci-dessous, l'avatar mathématique de ta chambre, et les droites (AB) et (CG) : elles ont l'air de se couper.
Sur la feuille, les droites (AB) et (CG), prolongées, se croisent bel et bien. Mais se coupent-elles vraiment ? Réponse à la section 2 — et c'est toi qui trancheras.
2. Tourne autour du cube
Sur un dessin figé, impossible de trancher. Dans la vraie vie, tu ferais quoi ? Tu bougerais la tête pour voir la scène sous un autre angle. Fais exactement ça : attrape la figure et fais-la tourner (ou joue du curseur). Surveille le « croisement » de (AB) et (CG)… puis teste les deux autres paires de droites.
INTERACTIFDeux droites, trois verdicts
tourner
couple : (AB) et (CG)elles se croisent à l'écran… mais jamais dans l'espacevue : 38°
Les arêtes en pointillés sont à l'arrière du cube. Les droites sont prolongées au-delà des sommets — une droite ne s'arrête jamais. Balaye franchement la vue : le verdict s'affiche quand tu as assez tourné.
Ce que tes yeux viennent de comprendre, le vocabulaire le fixe. Il y a trois situations possibles pour deux droites de l'espace — dont une qui n'existait pas dans le plan.
DÉFINITION
Deux droites de l'espace sont coplanaires s'il existe un plan qui les contient toutes les deux — c'est le cas exactement quand elles sont sécantes ou parallèles. Sinon, elles sont non coplanaires : ni point commun, ni même direction. C'est le cas de (AB) et (CG).
DEUX DROITES DE L'ESPACEla dernière ligne est la nouveauté
position
points communs
directions
coplanaires ?
sécantes
un seul
différentes
oui
strictement parallèles
aucun
la même
oui
confondues
tous
la même
oui
non coplanaires
aucun
différentes
non
À RETENIR
Dans l'espace, on ne conclut jamais sur un dessin. Ce qui se croise sur la feuille ne se coupe pas forcément — seul un raisonnement (point commun ? même direction ?) fait preuve.
TESTE-TOITrois questions, trente secondes
Q1Dans l'espace, deux droites sans aucun point commun sont…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — dans le plan, « aucun point commun » signifiait « parallèles ». Dans l'espace, une troisième possibilité apparaît : ni point commun, ni même direction — non coplanaires, comme (AB) et (CG). Le piège n° 1 du chapitre.
Q2Sur la feuille, deux droites se croisent. Dans l'espace…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — le dessin écrase la profondeur : le « croisement » de (AB) et (CG) n'était qu'une superposition. Mais il ne ment pas toujours — (AC) et (BD) se coupent vraiment. Seul un raisonnement tranche, dans un sens comme dans l'autre.
Q3Deux droites sécantes sont-elles coplanaires ?
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — le point d'intersection plus une direction de chaque droite : un plan les contient toutes les deux. Sécantes ou parallèles = coplanaires ; la nouveauté de l'espace, c'est uniquement le troisième cas.
3. Les plans de l'espace
Pourquoi un appareil photo tient-il parfaitement sur un trépied — et jamais sur une table bancale à quatre pieds ? Parce que trois points non alignés définissent un plan, un seul : les trois pieds y posent leurs pointes. Un quatrième pied n'a aucune raison d'être dans ce plan-là. Le plan est le deuxième personnage de l'espace — une feuille infinie et plate qu'on fait passer par trois points.
Ci-dessous, le sol du cube — le plan (ABC) — est matérialisé par un quadrillage. Trois droites du cube à tester : combien de points communs chacune partage-t-elle avec le sol ? Fais ton pronostic, puis tourne la vue pour vérifier.
INTERACTIFUne droite face à un plan
tourner
droite : (FH)aucun point commun
Le quadrillage matérialise le plan (ABC), le « sol ». Un plan est infini : le bord dessiné n'est qu'un cadre.
DÉFINITION
Un plan de l'espace est déterminé par trois points non alignés — ou, ce qui revient au même, par un point et deux vecteurs non colinéaires \(\vec u\) et \(\vec v\), qui donnent ses deux directions. On note (ABC) le plan passant par A, B et C. À l'intérieur de chaque plan, toute ta géométrie plane (Thalès, Pythagore, vecteurs…) s'applique telle quelle.
UNE DROITE ET UN PLAN3 positions
position
points communs
sécants
un seul
strictement parallèles
aucun
droite incluse dans le plan
toute la droite
DEUX PLANS3 positions aussi
position
points communs
sécants
une droite entière
strictement parallèles
aucun
confondus
tout le plan
PROPRIÉTÉ — LE THÉORÈME DU TOIT
Si deux droites \(d\) et \(d'\) sont parallèles, si un plan \(P\) contient \(d\), un plan \(P'\) contient \(d'\), et si \(P\) et \(P'\) sont sécants selon une droite \(\Delta\), alors \(\Delta\) est parallèle à \(d\) et à \(d'\). Image à garder : le faîte d'un toit est parallèle aux deux gouttières.
MÉTHODE — MONTRER QU'UNE DROITE EST PARALLÈLE À UN PLAN
1.Cherche un témoin : une droite contenue dans le plan qui a la même direction que \(d\) (souvent via un parallélogramme de la figure).
2.Vérifie que \(d\) n'est pas incluse dans le plan : un seul point de \(d\) hors du plan suffit.
3.Conclus : \(d\) est parallèle à une droite du plan sans y être incluse, donc \(d\) est strictement parallèle au plan.
EXEMPLE RÉSOLU — (EG) ET LE PLAN (ABC)
Dans le cube ABCDEFGH, montre que la droite (EG) est parallèle au plan (ABC).
Étape 1 — le témoin. Les arêtes [AE] et [CG] sont parallèles et de même longueur, donc ACGE est un parallélogramme : (EG) est parallèle à (AC).
Étape 2 — (AC) est contenue dans le plan (ABC) ; et E n'appartient pas à ce plan (E est au plafond, pas au sol) : (EG) n'y est pas incluse.
Étape 3 — (EG) est parallèle à une droite du plan (ABC) sans y être incluse.
Conclusion : (EG) est strictement parallèle au plan (ABC). Le témoin d'abord, toujours — c'est le geste que le graphique répétait avec (FH) et son témoin (BD).
TESTE-TOIEncore trois sur les plans
Q1Trois points de l'espace définissent-ils toujours un plan ?
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — trois points alignés laissent le plan libre de tourner autour de leur droite : une infinité de plans les contient. Non alignés, ils en fixent un seul — les trois pieds du trépied.
Q2Dans le cube, la droite (FH) et le plan (ABC) — le sol — sont…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — (FH) garde la direction de (BD), couchée dans le sol, mais vole un étage au-dessus : aucun point commun, même très loin. Prolonger ne sert à rien — les deux restent à distance constante.
Q3Pour prouver qu'une droite \(d\) est parallèle à un plan \(P\), il suffit de trouver…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — le témoin parallèle est la seule preuve solide. Une droite de \(P\) qui ne coupe pas \(d\) peut très bien être non coplanaire avec elle — ça ne prouve rien. Et le dessin, tu le sais depuis la section 2, ne prouve jamais rien.
4. Vecteurs et coplanarité
Bonne nouvelle : tes vecteurs de Première montent dans l'espace sans une seule retouche. La relation de Chasles \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\), la colinéarité, le parallélogramme, le milieu… tout fonctionne à l'identique. La vraie nouveauté est ailleurs. Dans le plan, deux vecteurs non colinéaires engendraient tout. Dans l'espace, deux vecteurs n'engendrent… qu'un plan.
La preuve en jeu. Ci-dessous, \(\vec u\) et \(\vec v\) engendrent le plan quadrillé, et les deux curseurs fabriquent \(\vec w = a\,\vec u + b\,\vec v\). Trois cibles à atteindre avec la pointe de \(\vec w\) — l'une des trois va te résister, et c'est elle qui contient toute la leçon.
INTERACTIFAtteindre la cible
a
b
w = 1·u + 1·v = (1 ; 1 ; 0,5)
cible T₁ (2 ; 1,5 ; 0,75)la pointe reste dans le plan (O ; u, v)
Le quadrillage est l'ensemble des points a·u + b·v : le plan engendré par u et v. Les curseurs avancent par pas de 0,5 — les cibles du plan tombent toujours pile sur un nœud.
Ce que le jeu vient de te faire vivre porte un nom.
DÉFINITION
Trois vecteurs sont coplanaires si, tracés depuis un même point, ils tiennent dans un même plan. Lorsque \(\vec u\) et \(\vec v\) ne sont pas colinéaires, cela se traduit par : \(\vec w\) est coplanaire à \(\vec u\) et \(\vec v\) si et seulement s'il existe deux réels \(a\) et \(b\) tels que :
$$\vec w = a\,\vec u + b\,\vec v$$
PROPRIÉTÉ — LA DÉCOMPOSITION
Si \(\vec u\), \(\vec v\), \(\vec w\) ne sont pas coplanaires, alors tout vecteur \(\vec t\) de l'espace s'écrit d'une seule façon \(\vec t = x\,\vec u + y\,\vec v + z\,\vec w\). Trois vecteurs bien choisis suffisent à écrire tout l'espace — c'est le billet d'entrée de la section 5.
En pratique, les vecteurs sont donnés par leurs trois coordonnées — leur définition officielle arrive à la section 5, mais tu peux déjà calculer avec : elles fonctionnent comme dans le plan, avec une ligne de plus.
MÉTHODE — MONTRER QUE TROIS VECTEURS SONT COPLANAIRES
1.Écris \(\vec w = a\,\vec u + b\,\vec v\) et traduis coordonnée par coordonnée : trois équations, deux inconnues \(a\) et \(b\).
2.Résous le système formé par deux des équations — choisis les plus simples.
3.Vérifie la troisième équation avec les valeurs trouvées. Elle est vraie ? Coplanaires. Elle échoue ? Non coplanaires — c'est une réponse tout aussi valable.
EXEMPLE RÉSOLU — LE SYSTÈME ET L'ÉQUATION DE TROP
Les vecteurs \(\vec u\,(1\;;\, 1\;;\, 0)\), \(\vec v\,(1\;;\, -1\;;\, 1)\) et \(\vec w\,(5\;;\, 1\;;\, 2)\) sont-ils coplanaires ?
Étape 1 — on cherche \(a\) et \(b\) tels que \(\vec w = a\,\vec u + b\,\vec v\), c'est-à-dire : \(a + b = 5\) (sur \(x\)), \(a - b = 1\) (sur \(y\)), \(b = 2\) (sur \(z\)).
Étape 2 — les deux premières équations donnent, par somme et différence : \(2a = 6\) puis \(2b = 4\), soit \(a = 3\) et \(b = 2\).
Étape 3 — vérification sur \(z\) : \(b = 2\) ✓.
Conclusion : \(\vec w = 3\,\vec u + 2\,\vec v\) : les trois vecteurs sont coplanaires. L'équation de trop est le juge de paix — si elle avait échoué, la réponse aurait été « non coplanaires », et c'est tout aussi conclusif.
TESTE-TOITrois sur la coplanarité
Q1\(\vec u\) et \(\vec v\) ne sont pas colinéaires. Le vecteur \(\vec w\) leur est coplanaire quand…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — coplanaire = combinaison linéaire. La colinéarité deux à deux, c'est le réflexe de Première : il teste l'alignement, pas la coplanarité — le piège n° 4 du chapitre.
Q2Dans le graphique, la cible T₂ (1 ; 1 ; 1,5) était inatteignable parce que…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — aucun couple \((a\;;\, b)\) ne fabrique \((1\;;\, 1\;;\, 1{,}5)\) : la deuxième coordonnée impose \(b = 1\), donc la troisième vaudrait \(0{,}5\). Des curseurs infinis n'y changeraient rien — T₂ n'est pas dans le plan \((O\;;\, \vec u,\, \vec v)\).
Q3A, B, C ne sont pas alignés. Les quatre points A, B, C, D sont coplanaires quand…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — il suffit que \(\overrightarrow{AD} = a\,\overrightarrow{AB} + b\,\overrightarrow{AC}\) pour certains réels \(a\) et \(b\) — la somme exacte, c'est le cas particulier du parallélogramme. Et non, quatre points ne sont pas toujours coplanaires : pense au pied de table bancal.
5. Le repère de l'espace
La mouche est revenue — et cette fois, tu as tout pour l'épingler. Choisis un coin O de la chambre et trois directions le long des murs : \(\vec i\), \(\vec j\) et \(\vec k\), trois vecteurs non coplanaires. Puis compte : 3 mètres le long d'une plinthe, 2 mètres le long de l'autre, 2 mètres de hauteur. Trois nombres, un point, zéro ambiguïté.
Pilote le point M avec les trois curseurs et regarde l'escalier qui le construit : d'abord \(x\) le long de \(\vec i\), puis \(y\) le long de \(\vec j\), puis \(z\) vers le haut. Le préréglage retrouve la mouche.
INTERACTIFTrois nombres, un point
x
y
z
OM = 1·i + 1·j + 1·k
M = (1 ; 1 ; 1)
La chambre : 4 m × 3 m × 2,50 m. L'escalier O → (x ; 0 ; 0) → (x ; y ; 0) → M matérialise les trois coordonnées.
DÉFINITION
Trois vecteurs non coplanaires \(\vec i\), \(\vec j\), \(\vec k\) forment une base de l'espace. Avec un point d'origine O, ils forment un repère \((O\;;\, \vec i,\, \vec j,\, \vec k)\). Grâce à la propriété de décomposition de la section 4, tout point M s'écrit alors d'une seule façon :
$$\overrightarrow{OM} = x\,\vec i + y\,\vec j + z\,\vec k$$
Le triplet \((x\;;\, y\;;\, z)\) — les coordonnées de M — est unique : l'abscisse, l'ordonnée, et la nouvelle venue, la cote. Un vecteur a de même trois coordonnées, celles de sa décomposition sur la base.
PROPRIÉTÉ — LE CALCUL EN COORDONNÉES
Tout se calcule coordonnée par coordonnée, comme dans le plan — avec une ligne de plus. Pour \(A(x_A\;;\, y_A\;;\, z_A)\) et \(B(x_B\;;\, y_B\;;\, z_B)\), le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) et le milieu \(I\) de \([AB]\) sont :
Somme de vecteurs et produit par un réel se font aussi coordonnée par coordonnée. Et l'alignement se teste comme en Première : A, B, C sont alignés si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
MÉTHODE — LIRE DES COORDONNÉES DANS LE CUBE
1.Choisis le repère. Dans le cube ABCDEFGH, le plus commode est \((A\;;\, \overrightarrow{AB},\, \overrightarrow{AD},\, \overrightarrow{AE})\) : trois arêtes issues de A.
2.Va de A au point cherché en suivant les arêtes, et compte les pas : tant selon \(\overrightarrow{AB}\), tant selon \(\overrightarrow{AD}\), tant selon \(\overrightarrow{AE}\).
3.Ces trois nombres de pas — entiers ou fractions — sont les coordonnées. Pour un milieu, la formule de la moyenne évite même le trajet.
EXEMPLES RÉSOLUS — LE CUBE EN COORDONNÉES
a. Dans le repère \((A\;;\, \overrightarrow{AB},\, \overrightarrow{AD},\, \overrightarrow{AE})\), quelles sont les coordonnées de G ?
Lecture — de A, un pas selon \(\overrightarrow{AB}\) (arrivée en B), un pas selon \(\overrightarrow{AD}\) (arrivée en C), un pas selon \(\overrightarrow{AE}\) (arrivée en G) : \(G(1\;;\, 1\;;\, 1)\), le coin opposé.
b. Et le centre du cube ?
Calcul — c'est le milieu de la grande diagonale \([AG]\) : \(\left(\dfrac{0+1}{2}\;;\, \dfrac{0+1}{2}\;;\, \dfrac{0+1}{2}\right) = \left(\dfrac{1}{2}\;;\, \dfrac{1}{2}\;;\, \dfrac{1}{2}\right)\).
c. Et le milieu de l'arête \([FG]\) ?
Calcul — \(F(1\;;\, 0\;;\, 1)\) et \(G(1\;;\, 1\;;\, 1)\) : milieu \(\left(1\;;\, \dfrac{1}{2}\;;\, 1\right)\).
Conclusion : un chemin d'arêtes, un comptage de pas — et pour les longueurs, il faudra le produit scalaire : c'est le chapitre suivant.
TESTE-TOIQuatre questions pour finir
Q1Une base de l'espace, c'est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — « deux à deux non colinéaires » ne suffit pas : \(\vec u\), \(\vec v\) et \(\vec u + \vec v\) le sont… et restent coplanaires. Il faut que le troisième vecteur sorte du plan des deux premiers. Deux vecteurs et un point, c'est un repère de plan.
Q2\(A(1\;;\, 2\;;\, 0)\) et \(B(3\;;\, 1\;;\, 2)\). Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) a pour coordonnées…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — arrivée moins départ, coordonnée par coordonnée : \(B - A\). À l'envers, tu obtiens \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\) ; en additionnant, tu n'obtiens rien du tout — le piège n° 5.
Q3Toujours avec \(A(1\;;\, 2\;;\, 0)\) et \(B(3\;;\, 1\;;\, 2)\), le milieu de \([AB]\) est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — la moyenne des coordonnées, tranquillement. \((4\;;\, 3\;;\, 2)\), c'est la somme sans la division ; \((1\;;\, -0{,}5\;;\, 1)\), c'est \(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\) — un vecteur, pas un point.
Q4Dans le repère \((A\;;\, \overrightarrow{AB},\, \overrightarrow{AD},\, \overrightarrow{AE})\) du cube, le sommet G a pour coordonnées…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — un pas selon chaque direction : G est le coin opposé à A. \((1\;;\, 1\;;\, 0)\), c'est C — il manque la montée ; \((0\;;\, 1\;;\, 1)\), c'est H. Le chemin d'arêtes évite la confusion.
LES PIÈGES CLASSIQUES
« Elles ne se coupent pas, donc elles sont parallèles. » Réflexe de géométrie plane. Dans l'espace, (AB) et (CG) ne se coupent pas ET ne sont pas parallèles : elles sont non coplanaires. Toujours vérifier la direction avant de conclure.
Se fier au dessin. Deux droites qui se croisent sur la feuille ne se coupent pas forcément dans l'espace — et un carré s'y dessine en parallélogramme : la perspective écrase la profondeur, déforme longueurs et angles. Le dessin illustre ; le raisonnement prouve.
« Trois points définissent toujours un plan. » Seulement s'ils ne sont pas alignés : alignés, ils laissent le plan tourner librement autour de leur droite. Et quatre points n'ont aucune raison d'être coplanaires — c'est le pied de table bancal.
Tester la coplanarité de trois vecteurs par la colinéarité deux à deux. La colinéarité ne teste que des paires. Ce qu'il faut chercher, c'est \(\vec w = a\,\vec u + b\,\vec v\) : un système sur deux coordonnées, une équation de vérification sur la troisième.
Confondre les coordonnées d'un point et celles d'un vecteur. \(\overrightarrow{AB}\) se calcule par différence : \((x_B - x_A\;;\, y_B - y_A\;;\, z_B - z_A)\) — arrivée moins départ, et le sens compte. Additionner A et B ne fabrique rien du tout.
L'ESSENTIEL EN 5 LIGNES
DEUX DROITES
Sécantes, parallèles… ou non coplanaires : dans l'espace, « aucun point commun » ne signifie pas « parallèles ».
UN PLAN
Trois points non alignés — ou un point et deux vecteurs non colinéaires. Dedans, la géométrie plane s'applique telle quelle.
DROITE ∥ PLAN
Un témoin : \(d\) parallèle à une droite contenue dans le plan, et non incluse. (En renfort : le théorème du toit.)
COPLANAIRES
\(\vec w = a\,\vec u + b\,\vec v\) : système sur deux coordonnées, vérification sur la troisième — l'équation de trop est le juge de paix.
REPÈRE
\((O\;;\, \vec i,\, \vec j,\, \vec k)\) : \(\overrightarrow{AB}\) par différence, milieu par moyenne, alignement par colinéarité — coordonnée par coordonnée.
Exercices
15 corrigés
Commence par le niveau 1. Cherche vraiment avant d'ouvrir le corrigé — c'est là que ça rentre. Les exercices suivent l'ordre du cours : positions relatives de deux droites, droites et plans, vecteurs coplanaires, repère et coordonnées, et un problème pour finir. Sauf mention contraire, le cube est ABCDEFGH.
EXERCICE 01 · deux droites du cubeniveau 1
Donne la position relative de chaque paire de droites, en justifiant : a. (EF) et (FG) ; b. (AD) et (FG) ; c. (AB) et (DH).
CORRIGÉ
a. — Elles passent toutes les deux par F, et E, F, G ne sont pas alignés : sécantes en F.
b. — Dans le carré EFGH, (FG) ∥ (EH) ; dans le carré ADHE, (EH) ∥ (AD). Par transitivité, (AD) ∥ (FG) : strictement parallèles.
c. — Si (AB) et (DH) étaient coplanaires, le plan qui les contiendrait passerait par A, B et D : ce serait le plan (ABD), c'est-à-dire le sol. Or H n'est pas dans le sol : contradiction. Donc (AB) et (DH) sont non coplanaires.
Conclusion : trois paires, trois verdicts — sécantes, parallèles, non coplanaires. Les trois lignes du tableau de la section 2 vivent toutes dans le cube.
EXERCICE 02 · les diagonalesniveau 1
Même consigne avec des diagonales de faces : a. (AC) et (BD) ; b. (AC) et (EG) ; c. (AC) et (BF).
CORRIGÉ
a. — Les deux diagonales du carré ABCD : sécantes en son centre — le point que le graphique de la section 2 montrait tenir bon.
b. — Les arêtes [AE] et [CG] sont parallèles et de même longueur, donc ACGE est un parallélogramme : (AC) ∥ (EG).
c. — Si (AC) et (BF) étaient coplanaires, leur plan contiendrait A, C et B, donc ce serait le sol (ABC) ; or F n'y est pas. Non coplanaires.
Conclusion : pour prouver « non coplanaires », le raisonnement par l'absurde « leur plan serait (ABC), impossible » est un passe-partout à retenir.
EXERCICE 03 · ni sécantes, ni parallèlesniveau 2
On s'intéresse aux droites (BD) et (EG). a. Montre qu'elles ne sont pas parallèles. b. Montre qu'elles n'ont aucun point commun. c. Conclus.
CORRIGÉ
a. — (EG) ∥ (AC) (exercice 02). Si on avait (BD) ∥ (EG), on aurait (BD) ∥ (AC) — impossible : ces deux diagonales du carré ABCD sont sécantes. Donc (BD) et (EG) ne sont pas parallèles.
b. — (BD) est contenue dans le plan (ABC) — le sol — et (EG) dans le plan (EFG) — le plafond. Ces deux plans sont strictement parallèles : aucun point de l'une n'est un point de l'autre.
c. — Ni parallèles, ni sécantes : (BD) et (EG) sont non coplanaires.
Conclusion : c'est le schéma type au bac — on élimine « parallèles », on élimine « sécantes », il ne reste qu'une case du tableau.
EXERCICE 04 · droite et planniveau 1
Donne la position relative de la droite et du plan, en justifiant : a. (HG) et (ABC) ; b. (AE) et (ABC) ; c. (AB) et (ABC).
CORRIGÉ
a. — (HG) ∥ (AB) : dans le graphique de la section 2, c'était le couple « parallèles » (ABGH est un parallélogramme, car [AH] et [BG] sont deux diagonales de faces parallèles et de même longueur — ou plus simplement : (HG) ∥ (EF) ∥ (AB) par les carrés EFGH et ABFE). (AB) est dans le sol, H n'y est pas : (HG) est strictement parallèle au plan (ABC).
b. — (AE) traverse le sol en A, sans y être couchée (E n'est pas au sol) : sécante au plan (ABC), en A.
c. — A et B sont deux points du plan (ABC) : la droite (AB) y est incluse.
Conclusion : un seul point commun, aucun, ou tous — les trois positions d'une droite et d'un plan, exactement celles du graphique de la section 3.
EXERCICE 05 · le témoin dans le planniveau 2
a. Justifie que (FH) ∥ (BD). b. Déduis-en que (FH) est strictement parallèle au plan (ABC).
CORRIGÉ
a. — [BF] et [DH] sont deux arêtes verticales : parallèles et de même longueur. BDHF est donc un parallélogramme, et (FH) ∥ (BD).
b. — (BD) est contenue dans le plan (ABC), et F n'appartient pas à ce plan : (FH) est parallèle à une droite du sol sans y être incluse. Par la méthode du témoin, (FH) est strictement parallèle au plan (ABC).
Conclusion : tu viens de rédiger ce que le graphique de la section 3 montrait — le témoin (BD) en pointillés sous la droite (FH).
EXERCICE 06 · théorème du toitniveau 2
On considère les plans (ABG) et (DCF). On admet qu'ils sont sécants selon une droite \(\Delta\). a. Justifie que (AB) ∥ (DC). b. Déduis-en, grâce au théorème du toit, que \(\Delta\) est parallèle à (AB). c. Que peux-tu dire de \(\Delta\) et (EF) ?
CORRIGÉ
a. — ABCD est un carré : (AB) ∥ (DC).
b. — (AB) est contenue dans (ABG), (DC) est contenue dans (DCF), les deux droites sont parallèles, et les deux plans sont sécants selon \(\Delta\) : le théorème du toit s'applique, \(\Delta\) ∥ (AB) — et \(\Delta\) ∥ (DC) aussi.
c. — (EF) ∥ (AB) (carré ABFE), donc \(\Delta\) ∥ (EF) par transitivité.
Conclusion : le toit en image — \(\Delta\) est le faîte, (AB) et (DC) les deux gouttières. (Sur une figure, \(\Delta\) passe par les milieux de [DE] et de [CF] : vérifie des yeux.)
EXERCICE 07 · vecteurs coplanairesniveau 2
Dans un repère de l'espace, on donne \(\vec u\,(1\;;\, 2\;;\, 1)\), \(\vec v\,(2\;;\, -1\;;\, 0)\) et \(\vec w\,(4\;;\, 3\;;\, 2)\). Montre que \(\vec u\), \(\vec v\), \(\vec w\) sont coplanaires, et écris \(\vec w\) en fonction de \(\vec u\) et \(\vec v\).
CORRIGÉ
Étape 1 — on cherche \(a\) et \(b\) tels que \(\vec w = a\,\vec u + b\,\vec v\) : \(a + 2b = 4\) (sur \(x\)), \(2a - b = 3\) (sur \(y\)), \(a = 2\) (sur \(z\)).
Étape 2 — la troisième équation donne directement \(a = 2\) ; la première devient \(2 + 2b = 4\), soit \(b = 1\).
Conclusion : \(\vec w = 2\,\vec u + \vec v\) : coplanaires. Commence toujours par l'équation la plus simple — ici, le \(z\) donnait \(a\) tout seul.
EXERCICE 08 · l'équation de tropniveau 2
On donne \(\vec u\,(1\;;\, 0\;;\, 1)\) et \(\vec v\,(0\;;\, 1\;;\, 1)\). Les vecteurs suivants sont-ils coplanaires à \(\vec u\) et \(\vec v\) ? a. \(\vec w_1\,(1\;;\, 1\;;\, 1)\) ; b. \(\vec w_2\,(2\;;\, 3\;;\, 5)\).
CORRIGÉ
a. — \(\vec w_1 = a\,\vec u + b\,\vec v\) impose \(a = 1\) (sur \(x\)) et \(b = 1\) (sur \(y\)) ; mais alors \(z = a + b = 2 \neq 1\). Système sans solution : \(\vec w_1\) n'est pas coplanaire à \(\vec u\) et \(\vec v\).
b. — même départ : \(a = 2\), \(b = 3\) ; et cette fois \(z = a + b = 5\) ✓. Donc \(\vec w_2 = 2\,\vec u + 3\,\vec v\) : coplanaires.
Conclusion : mêmes calculs, deux verdicts opposés — tout se joue sur l'équation de vérification. Rédige-la toujours, même quand elle marche.
EXERCICE 09 · Chasles dans le cubeniveau 2
Dans le cube, exprime chaque vecteur en fonction de \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{AE}\) : a. \(\overrightarrow{AG}\) ; b. \(\overrightarrow{BH}\) ; c. \(\overrightarrow{AI}\), où I est le milieu de [FG].
CORRIGÉ
a. — Chasles le long des arêtes : \(\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}\) (car \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{CG} = \overrightarrow{AE}\)).
c. — \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{FI}\) ; or \(\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AE}\) et \(\overrightarrow{FI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{FG} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}\). Donc \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}\).
Conclusion : trois vecteurs d'arêtes suffisent à écrire n'importe quel trajet du cube. Tu viens d'utiliser une base — sans le mot : il arrive à la section 5.
EXERCICE 10 · lecture de coordonnéesniveau 1
Dans le repère \((A\;;\, \overrightarrow{AB},\, \overrightarrow{AD},\, \overrightarrow{AE})\), donne les coordonnées de : a. C ; b. H ; c. le milieu de [EF].
CORRIGÉ
a. — De A : un pas selon \(\overrightarrow{AB}\), un pas selon \(\overrightarrow{AD}\), pas de montée : \(C(1\;;\, 1\;;\, 0)\).
b. — Un pas selon \(\overrightarrow{AD}\), un pas selon \(\overrightarrow{AE}\) : \(H(0\;;\, 1\;;\, 1)\).
c. — \(E(0\;;\, 0\;;\, 1)\) et \(F(1\;;\, 0\;;\, 1)\) : le milieu est \(\left(\dfrac{1}{2}\;;\, 0\;;\, 1\right)\) — à mi-arête, au plafond.
Conclusion : lire des coordonnées dans le cube, c'est compter des pas le long des arêtes. Aucun calcul — un trajet.
EXERCICE 11 · vecteur, milieu, symétriqueniveau 2
Dans un repère, \(P(1\;;\, -2\;;\, 3)\) et \(Q(3\;;\, 0\;;\, -1)\). a. Calcule les coordonnées de \(\overrightarrow{PQ}\). b. Calcule celles du milieu de [PQ]. c. Calcule celles du point R, symétrique de P par rapport à Q.
CORRIGÉ
a. — Arrivée moins départ : \(\overrightarrow{PQ}\,(3 - 1\;;\, 0 - (-2)\;;\, -1 - 3) = (2\;;\, 2\;;\, -4)\).
b. — Moyenne coordonnée par coordonnée : \(\left(2\;;\, -1\;;\, 1\right)\).
c. — R vérifie \(\overrightarrow{QR} = \overrightarrow{PQ}\) : \(R(3 + 2\;;\, 0 + 2\;;\, -1 - 4) = (5\;;\, 2\;;\, -5)\). Contrôle : le milieu de [PR] est \(\left(\dfrac{1+5}{2}\;;\, \dfrac{-2+2}{2}\;;\, \dfrac{3-5}{2}\right) = (3\;;\, 0\;;\, -1) = Q\) ✓.
Conclusion : différence pour un vecteur, moyenne pour un milieu — et un contrôle gratuit à la fin, prends l'habitude.
EXERCICE 12 · trois points alignés ?niveau 2
Dans un repère, \(P(1\;;\, 2\;;\, 0)\), \(Q(3\;;\, 3\;;\, 2)\), \(R(7\;;\, 5\;;\, 6)\) et \(S(5\;;\, 4\;;\, 3)\). a. Montre que P, Q et R sont alignés. b. Le point S est-il sur la droite (PQ) ?
CORRIGÉ
a. — \(\overrightarrow{PQ}\,(2\;;\, 1\;;\, 2)\) et \(\overrightarrow{PR}\,(6\;;\, 3\;;\, 6) = 3\,\overrightarrow{PQ}\) : vecteurs colinéaires, donc P, Q, R alignés.
b. — \(\overrightarrow{PS}\,(4\;;\, 2\;;\, 3)\). Si \(\overrightarrow{PS} = k\,\overrightarrow{PQ}\), alors \(4 = 2k\) donne \(k = 2\), et \(2 = k \times 1\) colle aussi… mais \(3 \neq 2 \times 2\). Pas colinéaires : S n'est pas sur (PQ).
Conclusion : deux coordonnées qui collent ne suffisent pas — la colinéarité exige les trois. C'est l'équation de trop, encore elle.
EXERCICE 13 · appartenir à un planniveau 3
Dans un repère, \(A(1\;;\, 0\;;\, 2)\), \(B(2\;;\, 1\;;\, 3)\) et \(C(0\;;\, 1\;;\, 1)\). a. Vérifie que A, B, C définissent bien un plan. b. Montre que \(M(3\;;\, 4\;;\, 4)\) appartient au plan (ABC). c. Le point \(N(2\;;\, 2\;;\, 4)\) y appartient-il ?
CORRIGÉ
a. — \(\overrightarrow{AB}\,(1\;;\, 1\;;\, 1)\) et \(\overrightarrow{AC}\,(-1\;;\, 1\;;\, -1)\) ne sont pas colinéaires (les signes de \(x\) s'opposent, pas ceux de \(y\)) : A, B, C ne sont pas alignés et définissent un plan.
b. — M ∈ (ABC) si et seulement si \(\overrightarrow{AM} = a\,\overrightarrow{AB} + b\,\overrightarrow{AC}\). Avec \(\overrightarrow{AM}\,(2\;;\, 4\;;\, 2)\) : \(a - b = 2\) et \(a + b = 4\) donnent \(a = 3\), \(b = 1\) ; vérification sur \(z\) : \(3 - 1 = 2\) ✓. Donc \(\overrightarrow{AM} = 3\,\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\), et M appartient à (ABC).
c. — \(\overrightarrow{AN}\,(1\;;\, 2\;;\, 2)\) : \(a - b = 1\) et \(a + b = 2\) donnent \(a = \dfrac{3}{2}\), \(b = \dfrac{1}{2}\) ; mais sur \(z\), \(a - b = 1 \neq 2\). Pas de solution : N n'appartient pas au plan (ABC).
Conclusion : « M est dans le plan (ABC) » se traduit mot pour mot en « \(\overrightarrow{AM}\) est coplanaire à \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) » : la section 4 devient un test d'appartenance.
EXERCICE 14 · problème : le vol de la moucheniveau 3
Ta chambre mesure 4 m sur 3 m, sous 2,50 m de plafond. On la munit du repère \((O\;;\, \vec i,\, \vec j,\, \vec k)\) du cours, en mètres. La mouche décolle du coin \(O(0\;;\, 0\;;\, 0)\) et file en ligne droite vers le coin opposé \(S(4\;;\, 3\;;\, 2{,}5)\). a. Donne les coordonnées du milieu M de son vol. b. Une araignée guette en \(A(2{,}4\;;\, 1{,}8\;;\, 1{,}5)\) : montre qu'elle est exactement sur la trajectoire. c. Le lustre pend en \(L(2\;;\, 1{,}5\;;\, 1{,}3)\) : la mouche passe-t-elle par L ? d. Peux-tu déjà calculer la longueur du vol ?
CORRIGÉ
a. — Milieu de [OS] : \(M\left(2\;;\, 1{,}5\;;\, 1{,}25\right)\).
b. — \(\overrightarrow{OA}\,(2{,}4\;;\, 1{,}8\;;\, 1{,}5)\) et \(\overrightarrow{OS}\,(4\;;\, 3\;;\, 2{,}5)\) : comme \(2{,}4 = 0{,}6 \times 4\), \(1{,}8 = 0{,}6 \times 3\) et \(1{,}5 = 0{,}6 \times 2{,}5\), on a \(\overrightarrow{OA} = 0{,}6\,\overrightarrow{OS}\). Colinéaires : A est sur le segment [OS], aux six dixièmes du vol. Gare à la toile.
c. — Si L était sur (OS), il existerait \(k\) avec \(\overrightarrow{OL} = k\,\overrightarrow{OS}\) : sur \(x\), \(2 = 4k\) donne \(k = 0{,}5\) ; sur \(y\), \(0{,}5 \times 3 = 1{,}5\) ✓ ; mais sur \(z\), \(0{,}5 \times 2{,}5 = 1{,}25 \neq 1{,}3\). Non : la mouche passe 5 cm sous le lustre — au milieu du vol, exactement (compare avec le a.).
d. — Pas encore. Compter des pas le long des axes ne mesure pas une diagonale : il faut la norme d'un vecteur, donc le produit scalaire de l'espace — c'est l'objet du chapitre suivant.
Conclusion : alignement, milieu, colinéarité — tout le chapitre tient dans un vol de mouche. La longueur attendra une page : la suite au chapitre suivant.
VERS LE BAC — EXERCICE 15≈ 45 MIN · SANS CALCULATRICE
Dans le cube ABCDEFGH, I est le milieu de [EF] et J est le milieu de [HG]. Les parties A et B sont indépendantes.
PARTIE A
Justifie que les droites (EF) et (CG) sont non coplanaires.
Montre que EIJH est un parallélogramme, puis que (IJ) ∥ (AD).
Déduis-en que la droite (IJ) est strictement parallèle au plan (ABC).
PARTIE B
On se place dans le repère \((A\;;\, \overrightarrow{AB},\, \overrightarrow{AD},\, \overrightarrow{AE})\).
Donne les coordonnées de E, G, I et J.
Montre que les points A, I, J et D sont coplanaires.
Décompose \(\overrightarrow{BJ}\) dans la base \((\overrightarrow{AB},\, \overrightarrow{AD},\, \overrightarrow{AE})\).
Le point E appartient-il au plan (AIJ) ?
CORRIGÉ — LES GRANDES ÉTAPES
A.1 — Si (EF) et (CG) étaient coplanaires, leur plan contiendrait E, F et G : ce serait le plan (EFG), le plafond. Or C n'est pas au plafond : contradiction — non coplanaires.
A.2 — [EF] et [HG] sont deux côtés opposés du carré EFGH : parallèles et de même longueur, donc leurs moitiés aussi : \(\overrightarrow{EI} = \overrightarrow{HJ}\), et EIJH est un parallélogramme. D'où (IJ) ∥ (EH) ; et (EH) ∥ (AD) (carré ADHE) : (IJ) ∥ (AD).
A.3 — (AD) est contenue dans (ABC), et I (au plafond) n'est pas dans ce plan : par la méthode du témoin, (IJ) est strictement parallèle au plan (ABC).
B.2 — \(\overrightarrow{AI}\left(\dfrac{1}{2}\;;\, 0\;;\, 1\right)\), \(\overrightarrow{AD}\,(0\;;\, 1\;;\, 0)\), \(\overrightarrow{AJ}\left(\dfrac{1}{2}\;;\, 1\;;\, 1\right)\) : on lit \(\overrightarrow{AJ} = \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{AD}\). Trois vecteurs coplanaires : les points A, I, J, D sont coplanaires.
B.4 — \(\overrightarrow{AE}\,(0\;;\, 0\;;\, 1) = a\,\overrightarrow{AI} + b\,\overrightarrow{AJ}\) imposerait \(b = 0\) (sur \(y\)) puis \(a = 0\) (sur \(x\))… et \(a + b = 1\) sur \(z\) : contradiction. E n'appartient pas au plan (AIJ).