Les probabilités conditionnelles — Première Spé Maths

SOMMAIRE

1. Une information change les chances

Une place de concert à faire gagner, 40 élèves dans le groupe de Première : on tire au sort. Toi, tu te demandes si le gagnant sera musicien — 12 élèves du groupe jouent d'un instrument. Douze chances sur quarante : probabilité $12/40 = 0{,}30$. Là, quelqu'un qui a vu le tirage te souffle : « c'est un élève de l'atelier théâtre. » Tu ne sais toujours pas qui a gagné. Mais tes chances, elles, viennent de bouger : l'atelier théâtre compte 10 élèves, dont 6 musiciens. Six sur dix : la probabilité a doublé, $0{,}60$.

Relis la scène, parce que tout le chapitre est dedans. Le monde n'a pas changé — personne ne s'est mis à la guitare entre les deux phrases. Ce qui a changé, c'est l'ensemble des possibles : avant l'indice, le gagnant pouvait être n'importe lequel des 40 ; après, ce ne peut être qu'un des 10 du théâtre. Une information ne modifie pas la réalité : elle rétrécit l'univers dans lequel tu comptes.

Le groupe, élève par élève. « Quelle est la probabilité que le gagnant soit musicien ? » se lit en comptant les points pleins partout : 12 sur 40. « … sachant qu'il fait du théâtre ? » se lit en ne comptant que dans le cadre : 6 sur 10.

Le mot « sachant » — ou « parmi », c'est le même geste — dit simplement dans quel univers on compte. Rien que tu ne saches déjà faire : en Seconde, tu appelais ça une fréquence conditionnelle, et tu la lisais dans un tableau croisé. Le voici pour notre groupe, avec une notation à connaître : $T \cap M$ (lis « T inter M ») désigne les élèves qui font les deux — théâtre et musique.

LE GROUPE EN TABLEAU CROISÉ EFFECTIFS

	musicien (M)	non musicien	total
théâtre (T)	6 (c'est T ∩ M)	4	10
pas théâtre	6	24	30
total	12	28	40

La question du tirage se calcule alors en une ligne : parmi les élèves du théâtre, quelle proportion joue d'un instrument ? On lit la ligne « théâtre », et on divise la case commune par le total de la ligne.

$$\text{proportion de M parmi T} \;=\; \frac{\text{effectif de } T \cap M}{\text{effectif de } T} \;=\; \frac{6}{10} \;=\; 0{,}60$$

2. « Sachant que » : l'univers rétrécit

Refais le geste toi-même. Le graphique ci-dessous reprend la classe ; les trois boutons changent l'information dont tu disposes. Regarde ce qui bouge à chaque fois : jamais les élèves — seulement l'univers dans lequel on compte, et donc le dénominateur.

P(M) = 12 / 40 = 0,30

univers : les 40 élèves favorables : les 12 musiciens

POURQUOI ?

Le calcul « 6 sur 10 », tu peux l'écrire autrement. Divise le haut et le bas par 40, la taille de la classe : $\dfrac{6}{10} = \dfrac{6/40}{10/40} = \dfrac{P(T \cap M)}{P(T)}$. La proportion « parmi T » est donc un quotient de deux probabilités de départ — celles qu'on connaissait avant l'indice. C'est exactement la définition qui arrive : rien de neuf, juste le comptage de la section 1 réécrit avec des $P$.

Au passage, tu vois pourquoi on exige $P(A) \neq 0$ : on divise par $P(A)$. Et c'est de toute façon du bon sens — se placer dans un univers qui n'a aucune chance de se produire, ça ne veut rien dire.

DÉFINITION

Soit A et B deux événements, avec $P(A) \neq 0$. La probabilité de B sachant A, notée $P_A(B)$, est la probabilité que B se réalise dans l'univers restreint aux issues où A se réalise :

$$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$

MÉTHODE — CALCULER UNE PROBABILITÉ CONDITIONNELLE

1.Repère l'univers restreint : c'est l'événement qui suit « sachant que » ou « parmi » dans l'énoncé.

2.Repère l'intersection : les issues qui réalisent les deux événements à la fois.

3.Divise — en effectifs (favorables dans le nouvel univers, sur la taille du nouvel univers) ou en probabilités $P(A \cap B)/P(A)$ : c'est le même calcul.

EXEMPLE RÉSOLU — LA MÉTHODE EN ACTION

On lance un dé équilibré. Soit A : « le résultat est au moins 4 » et B : « le résultat est pair ». Calcule $P_A(B)$ et compare-le à $P(B)$.

Étape 1 — l'univers restreint : $A = \{4\;;\, 5\;;\, 6\}$, trois issues au lieu de six.

Étape 2 — l'intersection : $A \cap B = \{4\;;\, 6\}$, deux issues.

Étape 3 — $P_A(B) = \dfrac{2}{3}$. Par la formule, même résultat : $\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{2/6}{3/6} = \dfrac{2}{3}$.

Conclusion : $P(B) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$, mais sachant A, la probabilité monte à $\dfrac{2}{3}$. L'information « au moins 4 » favorise les pairs : dans $\{4, 5, 6\}$, deux nombres sur trois le sont.

À RETENIR

$P_A(B)$, c'est la part de B à l'intérieur de A. Le « sachant » ne change pas le monde : il change l'univers dans lequel tu comptes.

Q1$P_A(B)$, c'est…

Q2$P(A) = 0{,}5$ et $P(A \cap B) = 0{,}2$. Alors $P_A(B) =$…

Q3$P_A(B)$ et $P_B(A)$…

3. L'arbre pondéré : l'expérience racontée pas à pas

Le tableau croisé photographie une situation figée. Mais beaucoup d'expériences se déroulent en étapes : d'abord il pleut, ou pas ; ensuite tu arrives en retard, ou pas. Pour raconter ça, l'outil roi du chapitre est l'arbre pondéré : chaque embranchement est une étape de l'histoire, chaque branche porte la probabilité d'emprunter ce chemin-là.

Voici l'histoire qu'on va suivre. Dans ta ville, il pleut 30 % des matins — c'est l'événement A. Les matins de pluie, tu arrives en retard 40 % du temps (bus bondés, vélo au garage) ; les matins secs, 10 % seulement — R est l'événement « tu es en retard ». Regarde bien ces deux derniers nombres : « 40 % du temps quand il pleut », c'est une probabilité sachant. En notation : $P_A(R) = 0{,}4$. Les probabilités conditionnelles ne sont pas un chapitre à part : elles vivent sur les branches du deuxième niveau de tous les arbres.

$P(A)$ — il pleut : 0,30

$P_A(R)$ — retard sachant pluie : 0,40

$P_{\overline{A}}(R)$ — retard sachant pas de pluie : 0,10

somme des 4 feuilles : 1,00

PROPRIÉTÉ — LES TROIS RÈGLES DE L'ARBRE

1. Les probabilités des branches issues d'un même nœud somment à 1.

2. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches :

$$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$$

3. La somme des probabilités de toutes les feuilles vaut 1.

POURQUOI ?

Pourquoi multiplier ? Regarde la barre sous l'arbre. Les matins de pluie occupent 30 % de la barre. Parmi ce morceau, les matins de retard en occupent 40 %. « 40 % de 30 % », c'est $0{,}4 \times 0{,}3 = 0{,}12$ : douze matins sur cent sont « pluie et retard ». Multiplier le long d'un chemin, c'est prendre une part d'une part.

Et si tu préfères l'algèbre, tout est déjà dans la section 2. La définition dit $P_A(B) = P(A \cap B)/P(A)$ ; multiplie les deux côtés par $P(A)$ : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$. La règle de l'arbre, c'est la définition lue à l'envers. Une seule idée, deux costumes.

MÉTHODE — CONSTRUIRE ET UTILISER UN ARBRE

1.Premier niveau : la première étape de l'expérience (A et $\overline{A}$), avec leurs probabilités.

2.Deuxième niveau : la deuxième étape, avec des probabilités conditionnelles — sachant la branche d'où l'on vient.

3.Contrôle-réflexe : à chaque nœud, vérifie que les branches somment à 1.

4.La probabilité d'une feuille : multiplie le long de son chemin.

EXEMPLE RÉSOLU — LE « SANS REMISE », ROYAUME DU CONDITIONNEL

Un sac contient 5 billes rouges et 3 vertes. On en tire une au hasard, on ne la remet pas, puis on en tire une seconde. Quelle est la probabilité de tirer deux rouges ?

Étape 1 — premier niveau : $R_1$, « rouge au premier tirage », $P(R_1) = \dfrac{5}{8}$.

Étape 2 — deuxième niveau : sachant $R_1$, il reste 7 billes dont 4 rouges : $P_{R_1}(R_2) = \dfrac{4}{7}$. Le « sans remise » se loge exactement là — la deuxième probabilité dépend de ce qui vient de se passer.

Étape 3 — multiplie le long du chemin : $P(R_1 \cap R_2) = \dfrac{5}{8} \times \dfrac{4}{7} = \dfrac{20}{56} = \dfrac{5}{14}$.

Conclusion : $P(\text{deux rouges}) = \dfrac{5}{14} \approx 0{,}36$. Un peu plus d'une chance sur trois.

Q1Sur les branches du deuxième niveau d'un arbre, on écrit…

Q2$P(A) = 0{,}2$ et $P_A(B) = 0{,}5$. Alors $P(A \cap B) =$…

Q3Les probabilités des branches issues d'un même nœud…

4. Recoller les morceaux : les probabilités totales

L'arbre de la section 3 sait répondre à « pluie et retard ». Mais la question que tu te poses vraiment le matin, c'est : quelle est la probabilité que je sois en retard, tout court ? Regarde les feuilles de l'arbre : être en retard, ça arrive de deux façons — avec pluie ($A \cap R$, probabilité 0,12) ou sans ($\overline{A} \cap R$, probabilité 0,07). Deux chemins qui ne peuvent pas se produire en même temps ; le retard, c'est l'un ou l'autre. Donc on additionne : $P(R) = 0{,}12 + 0{,}07 = 0{,}19$.

Remonte au graphique de la section 3 et regarde la barre : $P(R)$, ce sont les deux segments pleins, mis bout à bout. C'est toute la formule qui suit — elle a un grand nom, mais tu viens de la faire à la main.

PROPRIÉTÉ — FORMULE DES PROBABILITÉS TOTALES

A et $\overline{A}$ découpent l'univers en deux : chaque issue est dans exactement l'un des deux. Alors, pour tout événement B :

$$P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B) = P(A)\,P_A(B) + P(\overline{A})\,P_{\overline{A}}(B)$$

POURQUOI ?

B se coupe en deux morceaux : les cas de B où A se produit aussi ($A \cap B$), et ceux où A ne se produit pas ($\overline{A} \cap B$). Ces deux morceaux ne se recouvrent jamais, et à eux deux ils reconstituent B en entier — donc leurs probabilités s'ajoutent. « Totales », parce qu'on retrouve la probabilité totale de B en recollant ses morceaux. Chaque morceau se calcule ensuite en multipliant le long de son chemin : c'est la règle de la section 3.

MÉTHODE — CALCULER P(B) AVEC UN ARBRE

1.Repère toutes les feuilles où B apparaît (il y en a une par branche de départ).

2.Calcule la probabilité de chacune : produit le long du chemin.

3.Additionne-les.

EXEMPLE RÉSOLU — PROBABILITÉS TOTALES, PUIS SACHANT RENVERSÉ

Jade va au lycée à vélo 70 % des jours, en bus les autres jours. À vélo, elle est en retard 5 % du temps ; en bus, 15 %. a. Quelle est la probabilité qu'elle soit en retard un jour donné ? b. Jade est en retard ce matin : quelle est la probabilité qu'elle soit venue en bus ?

Étape 1 — note V « à vélo » et R « en retard », et traduis : $P(V) = 0{,}7$, $P_V(R) = 0{,}05$, $P_{\overline{V}}(R) = 0{,}15$.

Étape 2 — les deux chemins vers R : $P(V \cap R) = 0{,}7 \times 0{,}05 = 0{,}035$ et $P(\overline{V} \cap R) = 0{,}3 \times 0{,}15 = 0{,}045$.

Étape 3 — probabilités totales : $P(R) = 0{,}035 + 0{,}045 = 0{,}08$. Jade est en retard 8 % des jours.

Étape 4 — la question b demande $P_R(\overline{V})$ — le « sachant » est renversé par rapport à l'arbre. Pas de panique : la définition marche dans les deux sens. $P_R(\overline{V}) = \dfrac{P(\overline{V} \cap R)}{P(R)} = \dfrac{0{,}045}{0{,}08} \approx 0{,}56$.

Conclusion : 8 % de retards, et sachant retard, plus d'une chance sur deux que ce soit un jour de bus. Relis ce résultat : le bus ne fait que 30 % des trajets, mais fournit plus de la moitié des retards. Renverser le « sachant » change vraiment la réponse.

MÉTHODE — RENVERSER LE « SACHANT » (LE CLASSIQUE DU BAC)

1.L'arbre te donne $P_A(B)$, on te demande $P_B(A)$ : reviens à la définition, $P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$.

2.Le numérateur est une feuille de l'arbre : produit le long du chemin.

3.Le dénominateur, c'est $P(B)$ : probabilités totales. Puis divise.

Ce renversement n'est pas qu'un exercice d'examen. C'est lui qui explique un paradoxe célèbre — sur lequel se trompent, littéralement, des médecins. Un test de dépistage fiable à 90 % vient de te déclarer positif. Quelle est la probabilité que tu sois vraiment malade ? Presque tout le monde répond « 90 % ». Manipule, et regarde.

La morale tient en une ligne : la fiabilité du test, c'est $P_{\text{malade}}(\text{positif}) = 0{,}9$ ; la question qui t'intéresse, c'est $P_{\text{positif}}(\text{malade})$ — le « sachant » renversé. Quand la maladie est rare, les deux nombres n'ont rien à voir : les personnes saines sont si nombreuses que leurs 10 % d'erreurs noient les vrais malades. C'est le piège n° 2 du chapitre, avec de vraies conséquences.

Q1$P(A) = 0{,}3$, $P_A(B) = 0{,}6$, $P_{\overline{A}}(B) = 0{,}2$. Alors $P(B) =$…

Q2L'arbre commence par A / $\overline{A}$. Pour obtenir $P_B(A)$, on…

Q3Une maladie est très rare. Un test fiable à 90 % te déclare positif. La probabilité que tu sois vraiment malade est…

5. L'indépendance : quand l'information ne change rien

Retour à la classe du début. Savoir « il fait du théâtre » faisait passer la probabilité d'être musicien de 0,30 à 0,60 : l'information déplaçait les chances. Question naturelle : aurait-elle pu ne rien déplacer ? Bien sûr — il aurait suffi que les musiciens soient répartis au prorata : 30 % de musiciens chez les théâtreux, comme partout ailleurs. Essaie de fabriquer cette situation toi-même.

À $k = 3$ musiciens dans le cadre, tout s'aligne : 30 % de musiciens chez les théâtreux, 30 % chez les autres, 30 % partout. Apprendre que l'élève tiré fait du théâtre ne t'apprend plus rien sur la musique. C'est ça, l'indépendance. Et remarque le nombre du bas dans le graphique : à ce réglage précis, $P(T \cap M) = 0{,}075$ — exactement $P(T) \times P(M)$. Ce n'est pas un hasard, c'est la définition.

DÉFINITION

Deux événements A et B sont indépendants si : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

PROPRIÉTÉ

Si $P(A) \neq 0$, l'indépendance équivaut à : $P_A(B) = P(B)$ — savoir que A s'est produit ne change pas la probabilité de B.

POURQUOI ?

Les deux formes disent la même chose. Pars de $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ : si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$, le $P(A)$ se simplifie et il reste $P_A(B) = P(B)$. Et en remontant le calcul, l'inverse marche aussi. La version « produit » a deux avantages : elle est symétrique (A et B y jouent le même rôle) et elle ne demande pas $P(A) \neq 0$. La version « sachant » a l'avantage du sens : l'information ne change rien.

MÉTHODE — PROUVER (OU RÉFUTER) L'INDÉPENDANCE

1.Calcule séparément $P(A)$, $P(B)$ et $P(A \cap B)$.

2.Compare $P(A \cap B)$ et $P(A) \times P(B)$.

3.Égalité : indépendants. Sinon : dépendants. L'intuition ne suffit jamais — c'est un calcul, pas une impression.

EXEMPLES RÉSOLUS — PROUVER, OU RÉFUTER

a. On tire une carte d'un jeu de 32. A : « c'est un roi », B : « c'est un cœur ». A et B sont-ils indépendants ?

Étape 1 — $P(A) = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}$ ; $P(B) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}$ ; $P(A \cap B) = P(\text{roi de cœur}) = \dfrac{1}{32}$.

Étape 2 — $P(A) \times P(B) = \dfrac{1}{8} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{32} = P(A \cap B)$.

Conclusion : indépendants. Et ça se comprend : savoir que la carte est un cœur ne renseigne en rien sur « roi » — il y a exactement un roi sur huit cartes, dans chaque couleur.

b. Le dé de la section 2 : A : « au moins 4 », B : « pair ». Indépendants ?

Étape 1 — $P(A \cap B) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$, alors que $P(A) \times P(B) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$.

Conclusion : $\dfrac{1}{3} \neq \dfrac{1}{4}$ : dépendants. On l'avait vu autrement : $P_A(B) = \dfrac{2}{3} \neq \dfrac{1}{2} = P(B)$ — l'information déplaçait les chances. Deux événements peuvent sembler « sans rapport » et être dépendants quand même : seul le calcul tranche.

Un dernier duel de vocabulaire, responsable de la moitié des erreurs du chapitre : indépendants n'a rien à voir avec incompatibles. Incompatibles veut dire : A et B ne peuvent pas se produire ensemble. Mais alors, sachant A, l'événement B devient impossible — l'information change tout ! Des événements incompatibles, c'est le contraire absolu d'événements indépendants.

INDÉPENDANTS OU INCOMPATIBLES ? LE FACE-À-FACE

	indépendants	incompatibles
ce que ça raconte	savoir A n'apprend rien sur B	A et B ne peuvent pas arriver ensemble
définition	$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$	$A \cap B = \varnothing$, donc $P(A \cap B) = 0$
sachant A, B devient	$P(B)$ — inchangée	0 — impossible
les deux à la fois ?	seulement si $P(A) = 0$ ou $P(B) = 0$ — jamais pour des événements de probabilité non nulle

À RETENIR

Indépendants : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ — l'information ne change rien aux chances. Et ça se vérifie par le calcul, jamais à l'intuition.

Q1« A et B indépendants » signifie…

Q2A et B sont indépendants, et $P(B) = 0{,}4$. Alors $P_A(B) =$…

Q3$P(A) > 0$, $P(B) > 0$, et A, B incompatibles. Alors A et B sont…

Q4$P(A) = 0{,}2$ ; $P(B) = 0{,}5$ ; $P(A \cap B) = 0{,}1$. A et B sont…

LES PIÈGES CLASSIQUES

Confondre $P(A \cap B)$ et $P_A(B)$. « A et B » se mesure dans l'univers entier ; « B sachant A » dans l'univers restreint à A. Dans la classe : $6/40 = 0{,}15$ d'un côté, $6/10 = 0{,}60$ de l'autre. Repère les mots de l'énoncé : « et » = intersection, « parmi » ou « sachant » = conditionnelle.

Renverser le « sachant » sans y penser. $P_A(B) \neq P_B(A)$ en général. « Presque tous les malades sont positifs » ne dit pas « presque tous les positifs sont malades » — revois les 1 000 points de la section 4.

Écrire $P(B)$ sur une branche de deuxième niveau. Ces branches se lisent toujours « sachant d'où l'on vient » : c'est $P_A(B)$ qu'on y pose. Contrôle-réflexe : chaque nœud doit sommer à 1.

Confondre indépendants et incompatibles. Incompatibles = jamais ensemble : sachant A, B est mort — dépendance maximale. Indépendants = savoir A ne change rien à B. Deux idées presque opposées.

Décréter l'indépendance « au feeling ». Elle se vérifie : compare $P(A \cap B)$ à $P(A) \times P(B)$. Sur un dé, « pair » et « au moins 4 » ont l'air étrangers — ils sont dépendants ($1/3 \neq 1/4$). Roi et cœur ont l'air liés — ils sont indépendants.

L'ESSENTIEL EN 5 LIGNES

SACHANT

$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ (avec $P(A) \neq 0$) : la part de B dans l'univers restreint à A.

ARBRE

Deuxième niveau = probabilités conditionnelles, « sachant d'où l'on vient » ; chaque nœud somme à 1.

CHEMIN

$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ : multiplier le long des branches — prendre une part d'une part.

TOTALES

$P(B) = P(A)\,P_A(B) + P(\overline{A})\,P_{\overline{A}}(B)$ : recoller les morceaux de B. Pour renverser le sachant : $P_B(A) = P(A \cap B)/P(B)$.

INDÉPENDANCE

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$, autrement dit $P_A(B) = P(B)$ : l'information ne change rien. À ne jamais confondre avec incompatibles.

Exercices

15 corrigés

Commence par le niveau 1. Cherche vraiment avant d'ouvrir le corrigé — c'est là que ça rentre. Les exercices suivent l'ordre du cours : lecture de tableaux et probabilités conditionnelles, arbres, probabilités totales et sachant renversé, indépendance, et un problème pour finir.

EXERCICE 01 · tableau croisé niveau 1

Un lycée compte 200 élèves : 120 en Première, 80 en Terminale. 90 élèves de Première et 50 de Terminale mangent à la cantine. On tire un élève au hasard ; on note C : « il mange à la cantine » et T : « il est en Terminale ». a. Complète le tableau croisé. b. Calcule $P(C)$. c. Calcule $P_T(C)$. d. Calcule $P_C(T)$ et compare-le à $P_T(C)$.

EXERCICE 02 · traduire un énoncé niveau 1

Sur une plateforme de jeux en ligne, on choisit un joueur au hasard. On note A : « le joueur a moins de 18 ans » et B : « le joueur paie un abonnement ». Traduis chaque phrase en notation : a. « 30 % des joueurs sont mineurs. » b. « Parmi les mineurs, 60 % paient un abonnement. » c. « 18 % des joueurs sont des mineurs abonnés. » d. Vérifie que ces trois données sont cohérentes entre elles.

EXERCICE 03 · définition niveau 1

On donne $P(A) = 0{,}4$, $P(B) = 0{,}5$ et $P(A \cap B) = 0{,}1$. Calcule $P_A(B)$ puis $P_B(A)$.

EXERCICE 04 · multiplier le long du chemin niveau 2

On donne $P(A) = 0{,}6$ et $P_A(B) = 0{,}3$. a. Calcule $P(A \cap B)$. b. Que vaut $P_A(\overline{B})$ ? En déduire $P(A \cap \overline{B})$. c. Vérifie que $P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B}) = P(A)$, et explique pourquoi c'était prévisible.

EXERCICE 05 · arbre · sans remise niveau 2

Un sac contient 5 billes rouges et 3 vertes. On tire une bille, on ne la remet pas, puis on en tire une seconde. a. Construis l'arbre pondéré de l'expérience. b. Calcule la probabilité de tirer deux billes vertes. c. Calcule la probabilité de tirer deux billes de la même couleur.

EXERCICE 06 · probabilités totales niveau 2

Milo joue à un jeu vidéo. 60 % de ses parties se jouent sur la carte Désert, les autres sur la carte Forêt. Il gagne 55 % de ses parties sur Désert et 70 % sur Forêt. On choisit une partie au hasard ; on note D : « la partie s'est jouée sur Désert » et G : « Milo l'a gagnée ». a. Construis l'arbre pondéré. b. Calcule $P(G)$.

EXERCICE 07 · probabilités totales niveau 2

Un club d'escalade compte 45 % de mineurs et 55 % d'adultes. 80 % des mineurs et 30 % des adultes viennent au créneau du samedi. On choisit un membre au hasard : quelle est la probabilité qu'il vienne le samedi ?

EXERCICE 08 · sachant renversé niveau 2

On reprend l'exercice 06. Milo vient de gagner une partie. Quelle est la probabilité qu'elle se soit jouée sur la carte Forêt ?

EXERCICE 09 · dépistage niveau 3

Une maladie touche 2 % d'une population. Un test de dépistage est positif pour 90 % des personnes malades, mais aussi pour 10 % des personnes saines. Une personne est choisie au hasard et testée ; on note M : « elle est malade » et T : « son test est positif ». a. Construis l'arbre pondéré. b. Calcule $P(T)$. c. Son test est positif : calcule la probabilité qu'elle soit réellement malade. d. Commente.

EXERCICE 10 · indépendance niveau 2

a. On donne $P(A) = 0{,}5$, $P(B) = 0{,}4$ et $P(A \cap B) = 0{,}2$. A et B sont-ils indépendants ? b. On donne $P(C) = 0{,}6$, $P(D) = 0{,}3$ et $P(C \cap D) = 0{,}12$. C et D sont-ils indépendants ? Calcule $P_C(D)$ pour interpréter.

EXERCICE 11 · indépendance · valeur à trouver niveau 3

Dans un groupe de 60 élèves, 20 font du basket et 15 jouent aux échecs. On note $x$ le nombre d'élèves qui pratiquent les deux. On tire un élève au hasard. Pour quelle valeur de $x$ les événements « basket » et « échecs » sont-ils indépendants ?

EXERCICE 12 · indépendants vs incompatibles niveau 2

A et B sont deux événements incompatibles, avec $P(A) = 0{,}3$ et $P(B) = 0{,}2$. a. Que vaut $P(A \cap B)$ ? b. A et B sont-ils indépendants ? c. Que vaut $P_A(B)$ ? Interprète.

EXERCICE 13 · indépendance · preuve niveau 2

On tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes. a. Les événements A : « c'est un as » et B : « c'est un pique » sont-ils indépendants ? b. Et les événements A et C : « c'est une figure (valet, dame ou roi) » ?

EXERCICE 14 · problème niveau 3

Sur un site de vente en ligne, 70 % des visites se font sur téléphone, le reste sur ordinateur. 4 % des visites sur téléphone aboutissent à un achat, contre 12 % des visites sur ordinateur. On choisit une visite au hasard ; on note T : « visite sur téléphone » et A : « la visite aboutit à un achat ». a. Calcule $P(A)$. b. Une visite a abouti à un achat : probabilité qu'elle vienne d'un téléphone ? c. Les événements T et A sont-ils indépendants ? d. Qu'est-ce que ces résultats racontent au responsable du site ?

VERS LE BAC — EXERCICE 15 ≈ 45 MIN · CALCULATRICE UTILE

Une usine fabrique des enceintes connectées sur deux lignes de montage. La ligne 1 produit 60 % des enceintes, la ligne 2 le reste. Des contrôles montrent que 2 % des enceintes de la ligne 1 et 5 % de celles de la ligne 2 présentent un défaut. On prélève une enceinte au hasard dans la production ; on note $L_1$ : « elle vient de la ligne 1 », $L_2$ : « elle vient de la ligne 2 » et D : « elle présente un défaut ».

PARTIE A

Construis un arbre pondéré décrivant la situation.
Montre que $P(D) = 0{,}032$.
L'enceinte prélevée présente un défaut. Quelle est la probabilité qu'elle vienne de la ligne 2 ? Commente.

PARTIE B

Les événements $L_1$ et D sont-ils indépendants ? Justifie.
On règle la ligne 2, et son taux de défaut devient $x$. Exprime $P(D)$ en fonction de $x$, puis détermine $x$ pour que $L_1$ et D soient indépendants. Interprète la valeur trouvée.
Après ce réglage, chaque enceinte a une probabilité 0,02 de présenter un défaut. On en prélève deux, dans des lots séparés, et on admet que les deux prélèvements sont indépendants. Quelle est la probabilité qu'au moins une des deux présente un défaut ?

CHAPITRE SUIVANT

La fonction exponentielle

Un point pas clair ? Écris-moi.