CE QUE TU DOIS SAVOIR FAIRE — dériver avec \(e^x\), manier les règles de calcul, résoudre des équations et inéquations avec des exponentielles — et étudier les variations d'une fonction qui en contient une.
≈ 60 min de travail · 15 exercices corrigés · mis à jour juillet 2026
SOMMAIRE ▾
1. Plus il y en a, plus ça pousse
Une culture de bactéries dans une boîte : chaque bactérie se divise, encore et encore. Plus la colonie est grosse, plus il naît de bactéries chaque minute. Autrement dit, la vitesse de croissance est proportionnelle à la quantité déjà présente. Ce mécanisme est partout : des intérêts qui rapportent des intérêts, une épidémie qui démarre, la caféine que ton corps élimine — d'autant plus vite qu'il en reste.
La vitesse, tu sais la nommer depuis le chapitre sur la dérivation : c'est la dérivée. « La vitesse de croissance est proportionnelle à la quantité » se traduit donc par « \(f'\) est proportionnelle à \(f\) ». Prenons le cas le plus simple, coefficient 1 : le problème du chapitre tient en trois symboles.
$$f' = f$$
Quelle fonction est égale à sa propre dérivée ? Voici sa courbe. Regarde bien la tangente : au point A, la courbe est à la hauteur \(e \approx 2{,}72\)… et la tangente monte de \(2{,}72\) pour un pas de 1. Pente = hauteur. Et c'est vrai partout.
La tangente en A part du point de l'axe situé une unité à gauche : elle monte donc de toute la hauteur \(e\) sur un pas de 1. Sa pente est la hauteur du point.
2. La courbe qui est sa propre pente
Vérifie-le toi-même : déplace A le long de la courbe et compare les deux nombres, la hauteur du point et la pente de la tangente. Ils ne se quitteront pas.
INTERACTIFLa pente, c'est la hauteur
a = 1,00hauteur : f(a) = 2,72pente : f′(a) = 2,72
La tangente coupe l'axe des abscisses exactement 1 unité à gauche de A, partout. La pente vaut donc hauteur ÷ 1 : deux lectures, un seul nombre.
POURQUOI ?
Une fonction égale à sa propre dérivée, est-ce que ça existe seulement ? Et pourrait-il y en avoir plusieurs ? En Première, on admet la réponse : il en existe une et une seule qui vaut 1 en 0. La condition \(f(0) = 1\) n'est pas décorative : sans elle, le double d'une solution serait encore une solution (dérive \(2f\) : tu obtiens \(2f'\), c'est-à-dire \(2f\)), et il y en aurait une infinité. Ce point de départ commun cale l'échelle une fois pour toutes.
Cette fonction unique mérite un nom. Le voici.
DÉFINITION
La fonction exponentielle, notée \(\exp\), est l'unique fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) qui est égale à sa propre dérivée et qui vaut 1 en 0.
Pour tout réel \(x\), \(\exp(x) > 0\) : l'exponentielle ne s'annule jamais et n'est jamais négative.
La fonction \(\exp\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
La deuxième ligne découle de la première : la dérivée de \(\exp\), c'est \(\exp\) elle-même, strictement positive — et une dérivée strictement positive fait croître. C'est exactement la règle du signe du chapitre sur la dérivation, qui se mord ici la queue.
MÉTHODE — DÉRIVER UNE EXPRESSION AVEC \(e^x\)
1.Identifie la structure : somme ? produit ? — comme au chapitre précédent.
2.Applique les règles habituelles, avec une ligne de plus au tableau des dérivées : \(\exp\) se dérive en \(\exp\).
3.Ne touche pas à l'exponentielle : elle traverse le calcul intacte.
EXEMPLE RÉSOLU — UNE TANGENTE CÉLÈBRE
Soit \(f(x) = \exp(x)\). Équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse 0 ?
Étape 1 — \(f(0) = 1\) : le point de tangence est \((0\;;\, 1)\).
Étape 2 — \(f' = \exp\), donc \(f'(0) = \exp(0) = 1\) : la pente vaut 1.
Étape 3 — \(y = 1 \times (x - 0) + 1 = x + 1\).
Conclusion : \(T : y = x + 1\). Retiens l'image : la courbe de l'exponentielle décolle en frôlant la droite \(y = x + 1\) — elle reste toujours au-dessus (tu le démontreras à l'exercice 12).
À RETENIR
L'exponentielle est sa propre dérivée, vaut 1 en 0 — et ne s'annule jamais.
TESTE-TOITrois questions, trente secondes
Q1La dérivée de \(x \longmapsto e^x\) est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — c'est sa définition même. La première réponse applique la règle de \(x^n\) : elle vaut pour une puissance de \(x\), pas quand \(x\) est dans l'exposant.
Q2\(e^0\) vaut…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — \(\exp(0) = 1\), c'est la condition de départ de la définition. Toutes les courbes du chapitre passeront par \((0\;;\, 1)\).
Q3Existe-t-il un réel \(x\) tel que \(e^x < 0\) ?
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — quand \(x\) est très négatif, \(e^x\) devient très petit… mais reste strictement positif. La courbe fond vers l'axe sans jamais le toucher.
3. Le nombre \(e\) et les règles de calcul
La valeur \(\exp(1)\) a reçu un nom : c'est le nombre \(e\), environ \(2{,}718\). Et on note \(\exp(x) = e^x\), comme une puissance de \(e\). Cette notation n'est pas un abus : l'exponentielle se comporte exactement comme des puissances. Sa propriété reine — celle qui commande toutes les autres : elle transforme les additions en multiplications.
Regarde-la à l'œuvre. Dans le graphique, décale la courbe de \(a\) : tu obtiens \(e^{x+a}\). Or décaler ne fait que… multiplier toute la courbe par le nombre fixe \(e^a\). Ajouter dans l'exposant, c'est multiplier la valeur.
INTERACTIFDécaler, c'est multiplier
a
e^(x + 0,7) = e^(0,7) × e^x ≈ 2,01 × e^x
a = 0,7facteur e^a ≈ 2,01a > 0 — facteur 2,01 : la courbe s'élève
Décaler la courbe de 0,7 vers la gauche, c'est exactement la multiplier par e^0,7 ≈ 2,01. Même geste, deux lectures.
PROPRIÉTÉ — LA RELATION FONCTIONNELLE
Pour tous réels \(a\) et \(b\) :
$$e^{a+b} = e^a \times e^b$$
Et ses conséquences, pour tous réels \(a\), \(b\) et tout entier \(n\) : \(e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}\) ; \(\quad e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}\) ; \(\quad \left(e^a\right)^n = e^{na}\).
POURQUOI ?
Les trois conséquences ne sont pas de nouvelles formules à apprendre : elles sortent toutes de la relation reine. Un exemple : \(e^a \times e^{-a} = e^{a + (-a)} = e^0 = 1\), donc \(e^{-a}\) est l'inverse de \(e^a\). Voilà d'ailleurs une deuxième raison pour laquelle \(e^x\) n'est jamais nul : chaque valeur possède un inverse, et 0 n'en a pas.
MÉTHODE — SIMPLIFIER UNE EXPRESSION AVEC DES EXPONENTIELLES
1.Mets tout sous la forme \(e^{\dots}\) : transforme les puissances avec \(\left(e^a\right)^n = e^{na}\) et les inverses avec \(e^{-a}\).
2.Un produit d'exponentielles = une seule exponentielle : additionne les exposants (un quotient : soustrais-les).
3.Réduis l'exposant obtenu : le résultat doit tenir en un seul \(e^{\dots}\).
EXEMPLES RÉSOLUS — LES RÈGLES EN ACTION
a. Simplifie \(\left(e^{2x}\right)^3 \times e^{-5x}\).
Étape 1 — la puissance d'abord : \(\left(e^{2x}\right)^3 = e^{6x}\).
Étape 2 — le produit ensuite : \(e^{6x} \times e^{-5x} = e^{6x - 5x}\).
Résultat : \(e^x\). Trois étages d'exposants, une seule exponentielle.
b. Simplifie \(\dfrac{e^{x+1}}{e^{x-1}}\).
Étape 1 — un quotient : on soustrait les exposants. \((x+1) - (x-1) = 2\).
Résultat : \(e^2\). Le \(x\) a disparu : l'expression était constante sans en avoir l'air.
Dernier outil de la section, et il est puissant : comme \(\exp\) est strictement croissante, deux exponentielles sont égales uniquement quand leurs exposants le sont — et se comparent comme leurs exposants. Toute équation ou inéquation entre exponentielles se ramène donc aux exposants.
PROPRIÉTÉ — MÊME EXPOSANT, MÊME EXPONENTIELLE
Pour tous réels \(a\) et \(b\) : \(e^a = e^b \iff a = b\) ; \(\quad e^a < e^b \iff a < b\).
Conclusion : une seule solution, \(x = \dfrac{2}{3}\).
b. Résous \(e^{3x} < 1\).
Étape 1 — écris 1 comme une exponentielle : \(1 = e^0\). L'inéquation devient \(e^{3x} < e^0\).
Étape 2 — par croissance stricte : \(3x < 0\), donc \(x < 0\).
Conclusion : les solutions sont \(\left]-\infty\;;\, 0\right[\).
TESTE-TOIEncore trois sur les règles
Q1\(e^{a+b}\), c'est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — l'exponentielle transforme les additions en multiplications. \(e^a + e^b\), c'est LE piège du chapitre : l'addition ne traverse jamais l'exponentielle telle quelle.
Q2\(e^{-3}\) est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — le signe moins vit dans l'exposant : il inverse, il ne rend pas négatif. \(e^{-3} \approx 0{,}05\) : petit, mais strictement positif.
Q3L'équation \(e^{5x} = e^{x+8}\) a pour solution…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — mêmes exponentielles, mêmes exposants : \(5x = x + 8\), donc \(4x = 8\) et \(x = 2\). Le réflexe \(8/5\) oublie le \(x\) du membre de droite.
4. Croître ou fondre : la fonction \(e^{kx}\)
Dans les problèmes concrets, tu croiseras rarement \(e^x\) tout nu. La population de bactéries du début, c'est plutôt \(e^{0{,}3t}\) ; la caféine éliminée, \(e^{-0{,}2t}\). Le coefficient \(k\) règle la vitesse — et son signe décide du destin : croissance qui s'emballe, ou fonte vers zéro.
Fais varier \(k\) et regarde les trois mondes défiler. Un point ne bouge jamais : en \(x = 0\), toutes les courbes valent \(e^0 = 1\).
INTERACTIFLe coefficient k change le monde
k
dérivée : (e^(0,8x))′ = 0,8 × e^(0,8x)
k = 0,8k > 0 — ça explose
Croissance exponentielle : chaque pas de 1 vers la droite multiplie la hauteur par e^0,8 ≈ 2,23.
La dérivée s'affiche au-dessus : le k descend de l'exposant et se met en facteur. C'est la propriété ci-dessous.
PROPRIÉTÉ — DÉRIVÉE DE \(e^{kx}\)
Pour tout réel \(k\), la fonction \(x \longmapsto e^{kx}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et :
$$\left(e^{kx}\right)' = k\,e^{kx}$$
POURQUOI ?
Rien de neuf : c'est la ligne \(x \longmapsto g(ax + b)\) du tableau des opérations, au chapitre sur la dérivation — sa dérivée est \(a\,g'(ax+b)\). Prends \(g = \exp\) et \(a = k\) : la dérivée de \(e^{kx}\) est \(k \exp'(kx) = k\,e^{kx}\). Le \(k\) descend en facteur, l'exponentielle reste intacte.
EXEMPLES RÉSOLUS — LE k QUI DESCEND
a. Dérive \(f(x) = 5\,e^{2x}\).
Calcul — \(f'(x) = 5 \times 2\,e^{2x}\) : le 2 descend, le 5 était déjà là.
\(f'(x) = 10\,e^{2x}\)
b. Dérive \(g(x) = e^{-3x} + 4x\).
Calcul — terme à terme : \(\left(e^{-3x}\right)' = -3\,e^{-3x}\), et \((4x)' = 4\). Ne perds pas le signe du \(k\).
\(g'(x) = -3\,e^{-3x} + 4\)
Un dernier pont, vers le chapitre sur les suites cette fois. Relève les valeurs de \(e^{kx}\) aux entiers : \(x = 0, 1, 2, \dots\) Tu obtiens une suite, et grâce à la relation fonctionnelle, chaque terme se déduit du précédent en multipliant par le même nombre \(e^k\).
PROPRIÉTÉ — LA SUITE DES VALEURS
Pour tout réel \(k\), la suite \(u_n = e^{kn}\) est géométrique, de premier terme \(u_0 = 1\) et de raison \(e^k\) : en effet \(u_{n+1} = e^{k(n+1)} = e^{kn} \times e^k\).
Tout se recoupe : \(k > 0\) donne une raison \(e^k > 1\) — le monde « ça s'emballe » des suites géométriques ; \(k < 0\) donne une raison entre 0 et 1 — le monde « ça fond ». Les trois mondes du graphique, tu les connaissais déjà.
TESTE-TOITrois réflexes sur le coefficient
Q1La dérivée de \(x \longmapsto e^{-4x}\) est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — le \(k = -4\) descend en facteur, tout entier et avec son signe. L'oublier — première réponse — est le piège n° 4 du chapitre.
Q2Si \(k < 0\), la fonction \(x \longmapsto e^{kx}\) est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — ne confonds pas le sens de variation et le signe : la courbe descend, mais elle fond vers 0 sans jamais passer dessous. Une exponentielle est toujours strictement positive.
Q3La suite \(u_n = e^{0{,}5n}\) est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — \(u_{n+1} = e^{0{,}5n + 0{,}5} = u_n \times e^{0{,}5}\) : on multiplie chaque fois par \(e^{0{,}5} \approx 1{,}65\). L'addition dans l'exposant devient une multiplication des termes.
5. Étudier une fonction qui contient \(e^x\)
Au bac, l'exponentielle arrive rarement seule : on te donne \(x\,e^x\), \((x+2)\,e^{-x}\)… et on te demande des variations. Le réflexe qui commande toute la section : une exponentielle est strictement positive. Dans un produit, elle ne pèse donc rien sur le signe — tout se joue sur l'autre facteur.
Mais d'abord, muscle ton œil. Une seule des trois formules correspond à la courbe tracée : laquelle ? Commence toujours par lire la valeur en 0.
INTERACTIFÀ chaque courbe sa formule
COURBE 1/4
Cette courbe, c'est celle de…
PAS ENCORE — lis la valeur en 0, puis demande-toi si la courbe monte ou descend — et si elle passe sous l'axe.
EXACT — elle passe par \((0\;;\, 1)\) et grimpe de plus en plus vite : le portrait de \(e^x\). Une parabole \(x^2\) passerait par l'origine et remonterait aussi à gauche.
EXACT — la courbe descend mais reste au-dessus de l'axe : le signe moins est dans l'exposant. \(-e^x\), elle, vivrait entièrement sous l'axe.
EXACT — le creux sous l'axe puis l'explosion à droite, c'est la signature du produit \(x\,e^x\). \(e^x - 1\) monte sans jamais creuser, et \(x\,e^{-x}\) finirait par fondre vers 0.
EXACT — la valeur en 0 tranche : la courbe part de 3, et \(3\,e^{-0} = 3\). \(e^{-3x}\) partirait de 1 ; \(3 - e^x\) partirait de 2 puis plongerait sous l'axe.
MÉTHODE — ÉTUDIER UN PRODUIT AVEC UNE EXPONENTIELLE
1.Dérive avec la formule du produit : \((u\,v)' = u'v + u\,v'\).
2.Factorise par l'exponentielle : elle apparaît dans chaque terme, elle sort toujours.
3.Le signe de \(f'\) est celui du facteur restant, puisque \(e^{\dots} > 0\).
4.Dresse le tableau de variations, comme au chapitre sur la dérivation.
EXEMPLE RÉSOLU — L'ÉTUDE COMPLÈTE DE \(x\,e^x\)
Soit \(f(x) = x\,e^x\), définie sur \(\mathbb{R}\). Étudions ses variations.
Étape 1 — Produit \(u\,v\) avec \(u = x\) (donc \(u' = 1\)) et \(v = e^x\) (donc \(v' = e^x\)) : \(f'(x) = e^x + x\,e^x\).
Étape 2 — Factorise : \(f'(x) = (1 + x)\,e^x\).
Étape 3 — \(e^x > 0\) pour tout \(x\) : le signe de \(f'\) est celui de \(1 + x\). Négatif avant \(-1\), nul en \(-1\), positif après.
Étape 4 — \(f\) décroît sur \(\left]-\infty\;;\, -1\right]\), croît sur \(\left[-1\;;\, +\infty\right[\), avec un minimum \(f(-1) = -e^{-1} \approx -0{,}37\).
Conclusion : le creux que tu as identifié dans le jeu de courbes, le voilà calculé : minimum \(-\dfrac{1}{e}\) atteint en \(x = -1\).
À RETENIR
Dans un produit, \(e^{\dots}\) ne change jamais le signe : factorise, puis étudie le facteur qui reste.
TESTE-TOIQuatre questions pour finir
Q1\(f(x) = (x - 2)\,e^x\). L'équation \(f(x) = 0\) a pour solution(s)…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — un produit est nul quand l'un des facteurs l'est… et \(e^x\) ne s'annule jamais. Seul \(x - 2 = 0\) compte.
Q2La dérivée de \(f(x) = x\,e^x\) est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — formule du produit puis factorisation : \(e^x + x\,e^x = (x+1)\,e^x\). La réponse \(e^x\) est le vieux piège \(u'v'\) du chapitre sur la dérivation.
Q3Le signe de \((3 - x)\,e^{-x}\) est celui de…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — \(e^{-x} > 0\) quel que soit \(x\) : il ne pèse pas sur le signe. Tout se joue sur \(3 - x\) : positif avant 3, négatif après.
Q4\(f'(x) = (x + 1)\,e^x\) : négative avant \(-1\), positive après. En \(-1\), \(f\) admet…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — \(f\) descend puis monte : un creux, donc un minimum local. La règle du signe de \(f'\) du chapitre sur la dérivation s'applique à l'identique ici.
LES PIÈGES CLASSIQUES
Dériver \(e^x\) comme une puissance. \(\left(e^x\right)' \neq x\,e^{x-1}\). La règle de \(x^n\) vaut quand \(x\) est la base ; ici \(x\) est dans l'exposant, et \(\left(e^x\right)' = e^x\), point.
Écrire \(e^{a+b} = e^a + e^b\). L'exponentielle transforme les additions en multiplications : \(e^{a+b} = e^a \times e^b\). L'addition ne traverse jamais telle quelle.
Croire que \(e^{-x}\) est négatif. Le signe moins vit dans l'exposant : il inverse (\(e^{-x} = 1/e^x\)), il ne rend pas négatif. Une exponentielle est toujours strictement positive.
Oublier le \(k\) en dérivant \(e^{kx}\). \(\left(e^{kx}\right)' = k\,e^{kx}\) : le coefficient descend en facteur, tout entier et avec son signe.
Chercher les solutions de \(e^x = 0\). Il n'y en a pas. Dans un produit nul ou un tableau de signes, le facteur exponentiel ne fournit ni racine ni changement de signe : seul l'autre facteur compte.
L'ESSENTIEL EN 5 LIGNES
DÉFINITION
\(\exp\) est l'unique fonction telle que \(\exp' = \exp\) et \(\exp(0) = 1\) ; on note \(\exp(x) = e^x\), avec \(e \approx 2{,}718\).
SIGNE & SENS
\(e^x > 0\) pour tout \(x\) ; \(\exp\) strictement croissante ; \(e^a = e^b \iff a = b\) et \(e^a < e^b \iff a < b\).
Dans un produit, \(e^{\dots}\) ne change ni le signe ni les racines : factorise par l'exponentielle et étudie le facteur restant.
Exercices
15 corrigés
Commence par le niveau 1. Cherche vraiment avant d'ouvrir le corrigé — c'est là que ça rentre. Les exercices suivent l'ordre du cours : définition et premières dérivées, règles de calcul, équations, \(e^{kx}\), produits et variations, et un problème pour finir.
EXERCICE 01 · définitionniveau 1
Vrai ou faux, en justifiant : a. la dérivée de \(\exp\) est \(\exp\) ; b. \(e^0 = 0\) ; c. il existe un réel \(x\) tel que \(e^x = -1\).
CORRIGÉ
a. — Vrai : c'est la définition même de la fonction exponentielle.
b. — Faux : \(e^0 = 1\), l'autre moitié de la définition. Une exponentielle ne vaut jamais 0.
c. — Faux : \(e^x > 0\) pour tout réel \(x\), donc \(e^x = -1\) n'a aucune solution.
Trois questions, trois retours à la définition : c'est elle qui décide de tout dans ce chapitre.
EXERCICE 02 · dériver avec eˣniveau 1
Dérive chacune des fonctions, définies sur \(\mathbb{R}\) : a. \(f(x) = 4\,e^x + x^2 - 3\) ; b. \(g(x) = 2\,e^x - 5x\).
CORRIGÉ
a. — Terme à terme : \(f'(x) = 4\,e^x + 2x\). La constante \(-3\) disparaît, l'exponentielle traverse intacte.
b. — \(g'(x) = 2\,e^x - 5\).
Conclusion : une seule nouveauté au tableau des dérivées — \(\exp\) se dérive en \(\exp\) — et toutes les règles du chapitre précédent continuent de s'appliquer.
EXERCICE 03 · tangenteniveau 2
Détermine l'équation de la tangente à la courbe de \(\exp\) au point d'abscisse \(a = 1\).
CORRIGÉ
Étape 1 — \(\exp(1) = e\) : le point de tangence est \((1\;;\, e)\).
Étape 2 — \(\exp' = \exp\), donc la pente vaut aussi \(e\).
Étape 3 — \(y = e(x - 1) + e = e\,x\).
Conclusion : \(T : y = e\,x\) — la tangente passe par l'origine. C'est exactement ce que montre le premier graphique du chapitre : la tangente en A coupe l'axe une unité à gauche du point.
EXERCICE 04 · règles de calculniveau 1
Écris chaque expression sous la forme \(e^n\) avec \(n\) entier (ou comme un nombre) : a. \(e^3 \times e^{-3}\) ; b. \(\dfrac{e^5}{e^2}\) ; c. \(\left(e^2\right)^4\).
CORRIGÉ
a. — \(e^3 \times e^{-3} = e^{3-3} = e^0 = 1\).
b. — \(\dfrac{e^5}{e^2} = e^{5-2} = e^3\).
c. — \(\left(e^2\right)^4 = e^{2 \times 4} = e^8\).
Conclusion : produit → on additionne, quotient → on soustrait, puissance → on multiplie. Exactement les règles des puissances.
EXERCICE 05 · règles de calculniveau 2
Simplifie, pour \(x\) réel : a. \(\left(e^x\right)^2 \times e^{1-2x}\) ; b. \(\dfrac{e^{3x}}{e^{x-2}}\) ; c. \(\left(e^{-x}\right)^3 \times \left(e^x\right)^2\).
CORRIGÉ
a. — \(e^{2x} \times e^{1-2x} = e^{2x + 1 - 2x} = e^1 = e\). L'expression était constante.
b. — \(e^{3x - (x-2)} = e^{2x+2}\). Attention à la parenthèse : on soustrait tout l'exposant du bas.
c. — \(e^{-3x} \times e^{2x} = e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}\).
Conclusion : tout mettre sous la forme \(e^{\dots}\), puis faire l'arithmétique des exposants. Une seule exponentielle à la fin.
EXERCICE 06 · équationsniveau 2
Résous dans \(\mathbb{R}\) : a. \(e^{2x+1} = e^{3-x}\) ; b. \(e^{x^2} = e^4\) ; c. \(e^x = 1\).
CORRIGÉ
a. — Mêmes exposants : \(2x + 1 = 3 - x\), donc \(3x = 2\) et \(x = \dfrac{2}{3}\).
b. — \(x^2 = 4\), donc \(x = 2\) ou \(x = -2\). L'équation sur les exposants peut très bien avoir deux solutions — ne t'arrête pas à la première.
c. — Écris \(1 = e^0\) : \(e^x = e^0\), donc \(x = 0\).
Conclusion : le réflexe est toujours le même — tout écrire comme \(e^{\dots} = e^{\dots}\), puis résoudre sur les exposants.
EXERCICE 07 · inéquationsniveau 2
Résous dans \(\mathbb{R}\) : a. \(e^{-x} \geq e^{2x-3}\) ; b. \(e^{3x} < 1\).
CORRIGÉ
a. — Par croissance stricte de \(\exp\), l'inégalité passe aux exposants dans le même sens : \(-x \geq 2x - 3\), donc \(3 \geq 3x\), donc \(x \leq 1\). Solutions : \(\left]-\infty\;;\, 1\right]\).
b. — \(1 = e^0\), donc \(3x < 0\), donc \(x < 0\). Solutions : \(\left]-\infty\;;\, 0\right[\).
Conclusion : la croissance stricte autorise à comparer les exposants directement — sans changer le sens de l'inégalité.
EXERCICE 08 · dériver eᵏˣniveau 1
Dérive chacune des fonctions, définies sur \(\mathbb{R}\) : a. \(f(x) = e^{5x}\) ; b. \(g(x) = e^{-2x}\) ; c. \(h(x) = 4\,e^{0{,}5x}\) ; d. \(k(x) = 3\,e^{-x} + 2x\).
CORRIGÉ
a. — \(f'(x) = 5\,e^{5x}\).
b. — \(g'(x) = -2\,e^{-2x}\) : le signe descend avec le coefficient.
c. — \(h'(x) = 4 \times 0{,}5\,e^{0{,}5x} = 2\,e^{0{,}5x}\).
d. — \(k'(x) = -3\,e^{-x} + 2\) (ici \(k = -1\) dans l'exposant).
Objectif : le \(k\) qui descend en facteur doit devenir un réflexe — signe compris.
EXERCICE 09 · suitesniveau 2
Soit \(u_n = e^{0{,}2n}\) pour \(n\) entier naturel. a. Montre que \((u_n)\) est géométrique et précise sa raison. b. Quel est son sens de variation ? c. Exprime \(u_n\) comme une puissance.
CORRIGÉ
a. — \(u_{n+1} = e^{0{,}2(n+1)} = e^{0{,}2n} \times e^{0{,}2} = u_n \times e^{0{,}2}\) : chaque terme se déduit du précédent en multipliant par la constante \(e^{0{,}2}\). \((u_n)\) est géométrique de raison \(e^{0{,}2}\), de premier terme \(u_0 = e^0 = 1\).
b. — \(0{,}2 > 0\), donc \(e^{0{,}2} > e^0 = 1\) : raison supérieure à 1 et termes positifs, la suite est strictement croissante.
c. — \(u_n = e^{0{,}2n} = \left(e^{0{,}2}\right)^n\) : la forme \(u_0 \times q^n\) du chapitre sur les suites, avec \(q = e^{0{,}2} \approx 1{,}22\).
Conclusion : échantillonner une exponentielle aux entiers donne toujours une suite géométrique — les deux chapitres racontent la même croissance.
EXERCICE 10 · produitniveau 2
Dérive \(f(x) = (2x + 1)\,e^x\) et écris \(f'(x)\) sous forme factorisée.
CORRIGÉ
Étape 1 — Produit \(u\,v\) avec \(u = 2x + 1\) (\(u' = 2\)) et \(v = e^x\) (\(v' = e^x\)) : \(f'(x) = 2\,e^x + (2x+1)\,e^x\).
Étape 2 — \(e^x > 0\) : le signe de \(f'\) est celui de \(x\). Négatif avant 0, nul en 0, positif après.
Étape 3 — \(f\) décroît sur \(\left]-\infty\;;\, 0\right]\), croît sur \(\left[0\;;\, +\infty\right[\), avec \(f(0) = (0-1)\,e^0 = -1\).
Conclusion : minimum \(-1\) atteint en \(x = 0\). Tout l'exercice tient dans la factorisation et le réflexe « \(e^x\) ne pèse pas sur le signe ».
EXERCICE 12 · variations · preuveniveau 3
Soit \(f(x) = e^x - x\), définie sur \(\mathbb{R}\). a. Étudie les variations de \(f\). b. Déduis-en que pour tout réel \(x\), \(e^x > x\).
CORRIGÉ
a. — \(f'(x) = e^x - 1\). Or \(e^x > 1 \iff x > 0\) (croissance stricte et \(e^0 = 1\)) : \(f'\) est négative avant 0, nulle en 0, positive après. \(f\) décroît puis croît, avec un minimum \(f(0) = e^0 - 0 = 1\).
b. — Le minimum de \(f\) vaut 1, strictement positif : donc \(f(x) \geq 1 > 0\) pour tout \(x\), c'est-à-dire \(e^x - x > 0\), c'est-à-dire \(e^x > x\).
Conclusion : la courbe de l'exponentielle reste strictement au-dessus de la droite \(y = x\). C'est la méthode reine des preuves d'inégalités : étudier la différence et regarder son minimum.
EXERCICE 13 · variations avec eᵏˣniveau 3
Soit \(f(x) = x\,e^{-x}\), définie sur \(\mathbb{R}\). Étudie les variations de \(f\) et précise son maximum.
CORRIGÉ
Étape 1 — Produit avec \(u = x\) (\(u' = 1\)) et \(v = e^{-x}\) (\(v' = -e^{-x}\), le \(k = -1\) descend) : \(f'(x) = e^{-x} - x\,e^{-x}\).
Étape 2 — Factorise : \(f'(x) = (1 - x)\,e^{-x}\), du signe de \(1 - x\).
Étape 3 — \(f\) croît sur \(\left]-\infty\;;\, 1\right]\), décroît sur \(\left[1\;;\, +\infty\right[\), avec \(f(1) = e^{-1} = \dfrac{1}{e} \approx 0{,}37\).
Conclusion : maximum \(\dfrac{1}{e}\) atteint en \(x = 1\) : la fonction monte, culmine, puis fond vers 0 — c'est la quatrième courbe qu'il fallait savoir reconnaître dans le jeu de la section 5.
EXERCICE 14 · problèmeniveau 3
Une culture de bactéries compte \(N(t) = 200\,e^{0{,}3t}\) individus, où \(t\) est le temps en heures. a. Combien de bactéries au départ ? b. Calcule \(N'(t)\) et vérifie que \(N'(t) = 0{,}3\,N(t)\). Comment l'interpréter ? c. Montre que d'une heure à la suivante, la population est multipliée par un facteur constant, et donne sa valeur approchée. d. La croissance peut-elle ralentir un jour, d'après ce modèle ?
CORRIGÉ
a. — \(N(0) = 200\,e^0 = 200\) bactéries.
b. — \(N'(t) = 200 \times 0{,}3\,e^{0{,}3t} = 60\,e^{0{,}3t}\), et l'on reconnaît \(0{,}3 \times N(t)\). Interprétation : la vitesse de croissance est proportionnelle à la population présente — exactement le mécanisme « plus il y en a, plus ça pousse » qui ouvrait le chapitre.
c. — \(\dfrac{N(t+1)}{N(t)} = \dfrac{200\,e^{0{,}3(t+1)}}{200\,e^{0{,}3t}} = e^{0{,}3} \approx 1{,}35\) : chaque heure, la population est multipliée par le même facteur, environ \(+35\,\%\). Les relevés horaires forment une suite géométrique de raison \(e^{0{,}3}\).
d. — Non : \(N'(t) = 60\,e^{0{,}3t}\) est strictement positive et croissante — le modèle accélère sans fin. C'est sa limite (aucune boîte n'est infinie) : un modèle exponentiel ne décrit bien que le début d'une croissance réelle.
Conclusion : \(N' = 0{,}3\,N\), facteur horaire \(e^{0{,}3}\) : dérivée, suites et exponentielle racontent ici la même histoire — c'est exactement à ça que sert ce chapitre.
VERS LE BAC — EXERCICE 15≈ 45 MIN · SANS CALCULATRICE
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (x + 2)\,e^{-x}\), et \(\mathcal{C}\) sa courbe représentative.
PARTIE A
Calcule \(f(0)\) et \(f(-2)\).
Montre que pour tout réel \(x\), \(f'(x) = -(x + 1)\,e^{-x}\).
Détermine l'équation de la tangente \(T\) à \(\mathcal{C}\) au point d'abscisse 0.
PARTIE B
Étudie le signe de \(f'(x)\) sur \(\mathbb{R}\).
Dresse le tableau de variations de \(f\) et précise la valeur exacte de son maximum.
Déduis-en que pour tout réel \(x\), \((x + 2)\,e^{-x} \leq e\).
CORRIGÉ — LES GRANDES ÉTAPES
A.1 — \(f(0) = 2\,e^0 = 2\) et \(f(-2) = 0 \times e^2 = 0\) : la courbe coupe l'axe des abscisses en \(-2\) (et seulement là — l'exponentielle ne s'annule jamais).
A.2 — Produit avec \(u = x + 2\) (\(u' = 1\)) et \(v = e^{-x}\) (\(v' = -e^{-x}\)) : \(f'(x) = e^{-x} - (x+2)\,e^{-x} = (1 - x - 2)\,e^{-x} = -(x+1)\,e^{-x}\).
A.3 — \(f(0) = 2\), \(f'(0) = -1\), donc \(T : y = -x + 2\).
B.1 — \(e^{-x} > 0\) : le signe de \(f'\) est celui de \(-(x+1)\) — positif avant \(-1\), nul en \(-1\), négatif après.
B.2 — \(f\) croît sur \(\left]-\infty\;;\, -1\right]\) puis décroît : maximum \(f(-1) = (-1+2)\,e^{1} = e\).
B.3 — Le maximum global de \(f\) vaut \(e\), donc \(f(x) \leq e\) pour tout réel \(x\) : l'inégalité demandée. Même méthode qu'à l'exercice 12 : un extremum global démontre une inégalité.