La dérivation

SOMMAIRE

1. À quelle vitesse, exactement ?

Une voiture parcourt 100 km en 2 heures : vitesse moyenne, 50 km/h. Mais au péage, le compteur n'affichait pas 50 — il affichait la vitesse à cet instant-là. La moyenne lisse tout ; le compteur répond à une question plus fine. Toute la question du chapitre tient là : comment définir mathématiquement « la vitesse à un instant » ?

Traduisons sur un graphique. Entre deux points d'une courbe, l'équivalent de la vitesse moyenne s'appelle le taux de variation : c'est la pente — le coefficient directeur — de la droite qui passe par ces deux points. Cette droite s'appelle une sécante. Tu as déjà fait tout ça en Seconde.

Pour fixer les idées, lis la courbe ci-dessous comme l'enregistrement d'un trajet : le temps en abscisse, la distance parcourue en ordonnée. Entre A et B, la pente de la sécante, c'est exactement la vitesse moyenne entre ces deux instants. Plus la droite est raide, plus on a roulé vite. Tout le chapitre est déjà contenu dans cette image.

Entre A et B, la courbe monte de $f(a + h) - f(a)$ pour un déplacement horizontal de $h$. Le coefficient directeur de la sécante est le taux de variation.

$$\text{taux de variation} = \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

2. Resserre les deux points

La vitesse moyenne entre deux instants, c'est la sécante entre deux points. Pour obtenir la vitesse à un instant, il faut rapprocher les deux instants. Fais-le toi-même : rapproche B de A et regarde ce que devient la sécante.

POURQUOI ?

Dans le graphique ci-dessus, impossible d'amener $h$ jusqu'à 0, et ce n'est pas un caprice. Pose $h = 0$ dans la formule du taux : tu obtiens $(f(a) - f(a))\,/\,0$, c'est-à-dire $0/0$. Diviser par zéro n'a pas de sens. Et géométriquement, c'est pareil : avec un seul point, il n'y a plus de droite du tout : il en faut deux pour définir une pente.

Alors on fait la meilleure chose possible : regarder ce que devient le taux quand $h$ s'approche de 0 sans jamais l'atteindre. Reprends les préréglages du graphique : 5,37 pour h = 0,90, puis 2,49, puis 1,36… Les valeurs ne partent pas dans tous les sens : elles se rangent d'elles-mêmes vers 1,32. Ce nombre vers lequel le taux s'installe s'appelle une limite. C'est exactement ce que note le symbole $\lim$ ci-dessous.

Ce que tu viens de faire avec la main, voilà comment on l'écrit.

DÉFINITION

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle I, et $a \in I$. On dit que $f$ est dérivable en $a$ si son taux de variation entre $a$ et $a + h$ admet une limite finie quand $h$ tend vers 0. Cette limite est le nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$.

$$f'(a) = \lim_{h \to 0}\; \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

MÉTHODE — CALCULER $f'(a)$ AVEC LA DÉFINITION

1.Écris le taux de variation $(f(a+h) - f(a))\,/\,h$ avec la valeur de $a$ donnée.

2.Développe et simplifie jusqu'à pouvoir factoriser par $h$, puis simplifie la fraction.

3.Fais tendre $h$ vers 0 : ce qui reste est $f'(a)$.

EXEMPLE RÉSOLU — LA MÉTHODE EN ACTION

Soit $f(x) = x^2$. Calculons $f'(2)$ avec la définition.

Étape 1 — Le taux de variation entre $2$ et $2 + h$ : $(f(2+h) - f(2))\,/\,h = ((2+h)^2 - 4)\,/\,h$.

Étape 2 — Développe : $(4 + 4h + h^2 - 4)\,/\,h = (4h + h^2)\,/\,h = 4 + h$. Le $h$ se factorise puis se simplifie. C'est lui qui rendait la division impossible, et il a disparu.

Étape 3 — Quand $h \to 0$, $4 + h \to 4$.

Conclusion : $f'(2) = 4$. Au point d'abscisse 2, la tangente à la parabole a une pente de 4.

À RETENIR

Le nombre dérivé $f'(a)$, c'est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$.

Q1$f'(a)$, c'est…

Q2Quand $h \to 0$, le taux $(f(a+h) - f(a))\,/\,h$ se rapproche de 3. Alors…

Q3Pourquoi ne pas remplacer $h$ par 0 directement dans le taux ?

3. La tangente à une courbe

Le mot d'abord, simplement : une tangente, c'est une droite qui s'appuie sur la courbe en un point et qui suit exactement sa direction à cet endroit. Zoome sur ce point : la courbe et la droite se confondent presque. C'est la droite que tu as vue se stabiliser à la section 2, quand B rejoignait A.

Une fois $f'(a)$ connu, la tangente n'a plus de mystère : c'est une droite de pente $f'(a)$ qui passe par le point $(a\;;\, f(a))$ — rien de plus. Son équation s'écrit directement.

PROPRIÉTÉ

La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation :

$$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$

POURQUOI ?

Rien de neuf sous le capot : c'est ton $y = mx + p$ de Seconde, écrit autrement. Une droite de pente $m$ qui passe par le point $(a\;;\, f(a))$, ça s'écrit $y = m(x - a) + f(a)$. Vérifie : en $x = a$, elle donne bien $y = f(a)$, donc elle passe par le point ; et en développant, le coefficient de $x$ est bien $m$, la pente. Ici, la pente s'appelle $f'(a)$, voilà tout.

MÉTHODE — TROUVER L'ÉQUATION D'UNE TANGENTE

1.Calcule $f(a)$ : c'est l'ordonnée du point de tangence.

2.Calcule $f'(a)$ : c'est la pente.

3.Remplace dans $y = f'(a)(x - a) + f(a)$, puis développe.

EXEMPLE RÉSOLU — UNE ÉQUATION DE TANGENTE

Soit $f(x) = x^2$. Équation de la tangente à la parabole au point d'abscisse $a = 1$ ?

Étape 1 — $f(1) = 1$ : le point de tangence est $(1\;;\, 1)$.

Étape 2 — $f'(x) = 2x$, donc $f'(1) = 2$ : la pente vaut 2.

Étape 3 — $y = 2(x - 1) + 1 = 2x - 1$.

Conclusion : $T : y = 2x - 1$. Contrôle-réflexe : en $x = 1$, la droite donne $y = 1$, elle passe bien par le point de tangence. Prends cette habitude, elle attrape la moitié des erreurs.

Dernière chose, et c'est un cadeau : près du point de tangence, la tangente ne fait pas que suivre la courbe — elle la remplace. Regarde le graphique au-dessus : autour de A, courbe et tangente se confondent presque. Tant qu'on reste tout près de $a$, calculer sur la droite au lieu de la courbe donne donc une excellente valeur approchée — et une droite, ça se calcule de tête.

PROPRIÉTÉ — L'APPROXIMATION AFFINE

Pour $h$ proche de 0 :

$$f(a + h) \;\approx\; f(a) + h\,f'(a)$$

Autrement dit : près de $a$, la fonction se comporte comme sa tangente. Plus $h$ est petit, meilleure est l'approximation — et elle n'a de sens que pour $h$ petit.

EXEMPLE RÉSOLU — UN CARRÉ DE TÊTE

Sans calculatrice, donne une valeur approchée de $1{,}02^2$, puis de $0{,}97^2$.

Étape 1 — $1{,}02 = 1 + 0{,}02$ : on est tout près de $a = 1$, où l'on sait tout : $f(1) = 1$ et $f'(1) = 2$ (l'exemple précédent).

Étape 2 — $f(1 + h) \approx f(1) + h\,f'(1) = 1 + 2h$. Avec $h = 0{,}02$ : $1{,}02^2 \approx 1{,}04$. (Valeur exacte : 1,0404 — quatre dix-millièmes d'erreur.)

Étape 3 — avec $h = -0{,}03$ : $0{,}97^2 \approx 1 + 2 \times (-0{,}03) = 0{,}94$. (Valeur exacte : 0,9409.)

Conclusion : la formule $(1+h)^2 \approx 1 + 2h$ pour $h$ petit, c'est la tangente $T : y = 2x - 1$ déguisée en outil de calcul mental — la dérivée qui rend service, littéralement.

Au bac, on te demande souvent l'inverse : la tangente est déjà tracée, et c'est à toi de lire $f'(a)$. La méthode tient en une phrase : pars de A, avance de 1 en abscisse, et compte de combien la tangente monte ou descend sur le quadrillage.

Q1La tangente au point d'abscisse $a$ passe par…

Q2Si $f'(a) = 0$, la tangente en $a$ est…

Q3$f(1) = 2$ et $f'(1) = 5$. La tangente au point d'abscisse 1 a pour équation…

4. Dérivées usuelles et opérations

Un mot avant les tableaux : jusqu'ici, $f'(a)$ était un nombre, calculé en un point précis. Si tu calcules ce nombre en chaque $x$, tu obtiens une nouvelle fonction, notée $f'$ : la fonction dérivée. C'est elle que tu construiras toi-même, point par point, dans le graphique en bas de cette section.

En pratique, tu ne reviens presque jamais à la définition : tu utilises un tableau de dérivées connues, et des règles pour les combiner. Ces deux tableaux doivent devenir des réflexes.

DÉRIVÉES USUELLES À CONNAÎTRE PAR CŒUR

f(x)	f′(x)	valable sur
$k$ (constante)	$0$	$\mathbb{R}$
$x$	$1$	$\mathbb{R}$
$x^2$	$2x$	$\mathbb{R}$
$x^n$ (n ≥ 1)	$n\,x^{n-1}$	$\mathbb{R}$
$\dfrac{1}{x}$	$-\,\dfrac{1}{x^2}$	$\mathbb{R}^*$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$\left]0\;;\,+\infty\right[$

POURQUOI ?

Ce tableau n'est pas un grimoire à réciter : chaque ligne se démontre avec la définition de la page précédente. Prends $f(x) = x^2$ et écris le taux entre $x$ et $x + h$ : $((x+h)^2 - x^2)\,/\,h = (2xh + h^2)\,/\,h = 2x + h$. Quand $h$ tend vers 0, il reste $2x$. La formule que tu utiliseras des centaines de fois, tu viens de la démontrer en deux lignes.

OPÉRATIONS SUR LES DÉRIVÉES LA STRUCTURE D'ABORD

fonction	dérivée	condition
$u + v$	$u' + v'$	—
$k\,u$ (k réel)	$k\,u'$	—
$u\,v$	$u'v + u\,v'$	—
$\dfrac{1}{u}$	$-\,\dfrac{u'}{u^2}$	$u \neq 0$
$\dfrac{u}{v}$	$\dfrac{u'v - u\,v'}{v^2}$	$v \neq 0$
$x \longmapsto g(ax + b)$	$a\,g'(ax + b)$	—

MÉTHODE — DÉRIVER UNE FONCTION EN PRATIQUE

1.Identifie la structure : somme ? produit ? quotient ? $g(ax + b)$ ?

2.Applique la règle correspondante — une seule à la fois, sans brûler d'étape.

3.Simplifie seulement à la fin — surtout si tu dois ensuite étudier le signe de $f'$.

EXEMPLES RÉSOLUS — QUATRE STRUCTURES À RECONNAÎTRE

a. Dérive $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 7$.

Structure — une somme de termes $k\,x^n$ : on dérive terme à terme.

Calcul — $2 \times 3x^2 - 5 \times 2x + 0$ ; la constante 7 disparaît.

$f'(x) = 6x^2 - 10x$

b. Dérive $f(x) = (2x+1)(x^2-3)$.

Structure — un produit $u\,v$, avec $u = 2x+1$ (donc $u' = 2$) et $v = x^2-3$ (donc $v' = 2x$).

Calcul — $u'v + u\,v' = 2(x^2-3) + (2x+1) \times 2x = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x$.

$f'(x) = 6x^2 + 2x - 6$

c. Dérive $f(x) = \dfrac{3x-1}{x+2}$ sur $\left]-2\;;\,+\infty\right[$.

Structure — un quotient $u/v$, avec $u' = 3$ et $v' = 1$.

Calcul — $\dfrac{u'v - u\,v'}{v^2} = \dfrac{3(x+2) - (3x-1)}{(x+2)^2} = \dfrac{3x + 6 - 3x + 1}{(x+2)^2}$.

$f'(x) = \dfrac{7}{(x+2)^2}$

d. Dérive $f(x) = \dfrac{1}{x^2+1}$.

Structure — un inverse $1/u$, avec $u = x^2+1$ (donc $u' = 2x$) ; et $u$ ne s'annule jamais, pas de condition à poser.

Calcul — $-\,\dfrac{u'}{u^2} = -\,\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}$.

$f'(x) = -\,\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}$

Dernier réflexe à installer : reconnaître une dérivée à l'œil. Le secret tient aux sommets : à chaque sommet de $f$, la pente s'annule, donc $f'$ coupe l'axe des abscisses exactement à la même abscisse. Touche une courbe du haut, puis la dérivée qui lui correspond en bas.

Q1La dérivée de $x^5$ est…

Q2$(u\,v)' = $…

Q3La dérivée de $3x^2 - 4x + 7$ est…

Q4$f(x) = \dfrac{2x+1}{x^2+3}$. Avant de dériver, tu identifies…

5. Signe de $f'$ et variations

Voilà pourquoi tout ce chapitre sert : le signe de $f'$ raconte le sens de variation de $f$. Une pente positive, ça monte ; une pente négative, ça descend.

Vérifie-le à la main : déplace le point d'un bout à l'autre de la courbe. La tangente passe au vert quand ça monte, au rouge quand ça descend. Et dans le tableau, dessous, c'est ta colonne qui s'allume.

POURQUOI ?

Pourquoi une pente commanderait-elle un sens de variation ? Zoome : tout près d'un point, la courbe et sa tangente sont presque indiscernables ; c'est l'idée du chapitre entier. Si la tangente monte à cet endroit, la courbe monte aussi ; si elle descend, la courbe descend. Et comme $f'(x)$ est justement la pente de la tangente au point d'abscisse $x$, son signe raconte, point par point, le sens de $f$.

PROPRIÉTÉ

Sur un intervalle I : si $f'(x) > 0$ sur I, alors $f$ est strictement croissante sur I.

Si $f'(x) < 0$ sur I, $f$ est strictement décroissante sur I.

Si $f'$ est nulle sur I, $f$ est constante sur I.

Exemple complet avec $f(x) = x^3 - 3x$ : on dérive, $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$, qui s'annule en −1 et en 1.

Avant les variations, le signe. C'est l'étape que tout le monde saute et qui fait tout rater. Chaque facteur change de signe à sa racine, et le signe du produit se lit colonne par colonne. Le facteur 3, toujours positif, ne change rien.

TABLEAU DE SIGNES f′(x) = 3(x−1)(x+1)

−∞

−1

+∞

x + 1

−

x − 1

−

f′(x)

−

Maintenant, le tableau de variations se remplit tout seul : une flèche qui monte là où $f'$ est positive, une flèche qui descend là où elle est négative, et la valeur de $f$ aux points où $f'$ s'annule : ici $f(-1) = 2$ et $f(1) = -2$.

TABLEAU DE VARIATIONS f(x) = x³ − 3x

−∞

−1

+∞

f′(x)

−

−∞

−2

+∞

Aux points où $f'$ s'annule en changeant de signe, $f$ admet un extremum local (concrètement, un sommet ou un creux de la courbe) : ici un maximum local en −1 (qui vaut 2) et un minimum local en 1 (qui vaut −2). Retrouve-les sur le graphique interactif plus haut : ce sont les deux sommets.

MÉTHODE — ÉTUDIER LES VARIATIONS D'UNE FONCTION

1.Dérive $f$.

2.Étudie le signe de $f'(x)$ — factorise si besoin.

3.Dresse le tableau : signe de $f'$ en haut, flèches de variations en dessous, valeurs aux points d'annulation.

4.Conclus : intervalles de croissance et de décroissance, extremums locaux.

Q1$f'(x) < 0$ sur I. Alors sur I, $f$ est…

Q2$f'(a) = 0$. $f$ a forcément un extremum en $a$ ?

Q3Autour de $a$, $f'$ est positive avant, négative après. En $a$, $f$ admet…

LES PIÈGES CLASSIQUES

Confondre $f(a)$ et $f'(a)$. $f(a)$ est une hauteur, $f'(a)$ est une pente. Sur un graphique, on ne les lit pas au même endroit.

Croire que $f'(a) = 0$ garantit un extremum. Contre-exemple : $f(x) = x^3$ en 0 — tangente horizontale, mais $f$ ne change pas de sens. Il faut que $f'$ change de signe.

Oublier que $|x|$ n'est pas dérivable en 0. Une courbe avec un point anguleux n'a pas de tangente à cet endroit — continue ne veut pas dire dérivable.

Dériver un produit terme à terme. $(u\,v)' \neq u'v'$. Utilise la formule, à chaque fois.

Utiliser l'approximation affine loin de $a$. $f(a+h) \approx f(a) + h\,f'(a)$ n'a de sens que pour $h$ petit : la tangente colle à la courbe PRÈS du point de tangence, pas ailleurs. Estimer $3^2$ avec la tangente en 1 donnerait $2 \times 3 - 1 = 5$… au lieu de 9.

L'ESSENTIEL EN 5 LIGNES

NOMBRE DÉRIVÉ

$f'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0}\, \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ : la pente de la tangente au point d'abscisse $a$.

TANGENTE EN a

$y = f'(a)(x - a) + f(a)$

USUELLES

$(x^n)' = n\,x^{n-1}$ ; $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\,\dfrac{1}{x^2}$ ; $(\sqrt{x}\,)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

OPÉRATIONS

$(u\,v)' = u'v + u\,v'$ ; $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - u\,v'}{v^2}$

VARIATIONS

Le signe de $f'$ donne le sens de $f$ : positive, ça monte ; négative, ça descend. Là où $f'$ s'annule en changeant de signe : extremum local.

Exercices

15 corrigés

Commence par le niveau 1. Cherche vraiment avant d'ouvrir le corrigé — c'est là que ça rentre. Les exercices suivent l'ordre du cours : taux et définition, tangentes, calcul de dérivées, variations, et un problème pour finir.

EXERCICE 01 · taux de variation niveau 1

Soit $f(x) = x^2 - 3x$. Calcule le taux de variation de $f$ entre 1 et 4, puis interprète-le graphiquement.

EXERCICE 02 · définition niveau 1

Soit $f(x) = x^2$. En utilisant la définition du nombre dérivé, calcule $f'(3)$.

EXERCICE 03 · définition niveau 2

Soit $f(x) = 2x^2 - 3x$. En utilisant la définition du nombre dérivé, calcule $f'(1)$.

EXERCICE 04 · tangente niveau 1

Soit $f(x) = x^2$. Détermine l'équation de la tangente à la parabole au point d'abscisse $a = -1$.

EXERCICE 05 · tangente niveau 2

Soit $f(x) = x^3 - 3x$. Détermine l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a = 2$.

EXERCICE 06 · tangente niveau 2

Soit $f(x) = x^3 - 3x$. En quels points la courbe de $f$ admet-elle une tangente horizontale ?

EXERCICE 07 · dérivées usuelles niveau 1

Dérive chacune des fonctions : a. $f(x) = x^7$ ; b. $g(x) = 5x^3 - 2x^2 + 7x - 4$ ; c. $h(x) = 3\sqrt{x}$ sur $\left]0\;;\,+\infty\right[$ ; d. $k(x) = \dfrac{4}{x}$ sur $\mathbb{R}^*$.

EXERCICE 08 · produit niveau 2

Dérive $f(x) = (x^2+1)(3x-2)$ de deux façons : avec la formule du produit, puis en développant d'abord. Vérifie que les résultats coïncident.

EXERCICE 09 · quotient niveau 2

Dérive $f(x) = \dfrac{2x-1}{x+3}$ sur $\left]-3\;;\,+\infty\right[$.

EXERCICE 10 · inverse niveau 2

Dérive $f(x) = \dfrac{1}{3x-5}$ sur $\left]\tfrac{5}{3}\;;\,+\infty\right[$.

EXERCICE 11 · variations niveau 2

Soit $f(x) = -x^2 + 4x - 1$. Étudie les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ et précise son extremum.

EXERCICE 12 · variations niveau 3

Soit $g(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 1$. Étudie les variations de $g$ sur $\mathbb{R}$ et précise ses extremums locaux.

EXERCICE 13 · variations niveau 3

Soit $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ sur $\left]0\;;\,+\infty\right[$. Étudie les variations de $f$ et précise son minimum.

EXERCICE 14 · problème niveau 3

Dans une feuille carrée de 10 cm de côté, on découpe aux quatre coins des carrés de côté $x$, puis on plie pour former une boîte sans couvercle. Montre que le volume est $V(x) = x(10-2x)^2$ pour $x \in \left]0\;;\,5\right[$, puis détermine $x$ pour que le volume soit maximal.

VERS LE BAC — EXERCICE 15 ≈ 45 MIN · SANS CALCULATRICE

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x + 1$, et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

PARTIE A

Calcule $f'(x)$.
Détermine l'équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.
Étudie la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $T$.

PARTIE B

Étudie le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$.
Dresse le tableau de variations de $f$.
Montre que l'équation $f(x) = 0$ admet exactement trois solutions.

CHAPITRE SUIVANT

Les suites numériques

Un point pas clair ? Écris-moi.

f(x)	f′(x)	valable sur
\(k\) (constante)	\(0\)	\(\mathbb{R}\)
\(x\)	\(1\)	\(\mathbb{R}\)
\(x^2\)	\(2x\)	\(\mathbb{R}\)
\(x^n\) (n ≥ 1)	\(n\,x^{n-1}\)	\(\mathbb{R}\)
\(\dfrac{1}{x}\)	\(-\,\dfrac{1}{x^2}\)	\(\mathbb{R}^*\)
\(\sqrt{x}\)	\(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)	\(\left]0\;;\,+\infty\right[\)

fonction	dérivée	condition
\(u + v\)	\(u' + v'\)	—
\(k\,u\) (k réel)	\(k\,u'\)	—
\(u\,v\)	\(u'v + u\,v'\)	—
\(\dfrac{1}{u}\)	\(-\,\dfrac{u'}{u^2}\)	\(u \neq 0\)
\(\dfrac{u}{v}\)	\(\dfrac{u'v - u\,v'}{v^2}\)	\(v \neq 0\)
\(x \longmapsto g(ax + b)\)	\(a\,g'(ax + b)\)	—

1. À quelle vitesse, exactement ?

2. Resserre les deux points

3. La tangente à une courbe

4. Dérivées usuelles et opérations

5. Signe de \(f'\) et variations

Exercices