Les suites numériques — Première Spé Maths

SOMMAIRE

1. Une liste de nombres numérotés

Regarde : 100, 120, 140, 160… Tu as déjà deviné le nombre d'après, 180, sans qu'on te donne la moindre formule. Une suite numérique, ce n'est rien de plus que ça : une liste infinie de nombres, rangés dans un ordre précis. Toute la nouveauté du chapitre tient dans la façon d'en parler proprement, et dans ce qu'on arrive à en faire.

Ces nombres racontent quelque chose de très concret : tu ouvres un livret avec 100 €, et tu y déposes 20 € chaque mois. 100 € au départ, 120 € après un mois, 140 € après deux… Chaque nombre de la liste a donc un numéro d'ordre : le mois 0, le mois 1, le mois 2. Ce numéro s'appelle le rang, et c'est lui qui organise toute la notation.

On note $u$ la suite, et $u_n$ (lis « u indice n ») le nombre qui occupe le rang $n$. Ici, $u_0 = 100$, $u_1 = 120$, $u_3 = 160$. Prends une seconde sur cette écriture, elle porte tout le chapitre : dans $u_3 = 160$, le 3 dit où on est dans la liste, le 160 dit combien vaut le terme. Et remarque que le tout premier terme s'appelle $u_0$, pas $u_1$ : on démarre presque toujours au rang 0.

L'épargne, mois par mois. Chaque point a un numéro (son rang $n$, en abscisse) et une valeur (le terme $u_n$, en ordonnée). On ne relie pas les points : entre deux rangs, il n'y a rien.

Ce graphique dit déjà l'essentiel : une suite, c'est une fonction — mais une fonction qui n'accepte que des entiers. Demander $u_{2{,}5}$ n'a aucun sens : il n'y a pas de « mois deux et demi » dans la liste. Voilà pourquoi on ne relie jamais les points entre eux.

DÉFINITION

Une suite numérique $u$ associe à chaque entier naturel $n$ (0, 1, 2, 3…) un nombre réel noté $u_n$, appelé terme de rang $n$. La suite entière se note $(u_n)$, avec des parenthèses : $(u_n)$ désigne toute la liste, $u_n$ un seul nombre.

2. Deux façons de fabriquer une suite

Une liste infinie, personne ne peut l'écrire en entier. Pour définir une suite, il faut donner une règle qui permette de calculer n'importe quel terme. Et il existe deux grandes manières de donner cette règle — si différentes qu'on dirait deux machines.

La première : une formule explicite, du type $u_n = n^2 - 2n$. Tu veux le terme de rang 37 ? Tu remplaces $n$ par 37, et c'est terminé. Accès direct, un seul calcul.

La seconde : une relation de récurrence. On te donne le premier terme, puis une règle pour passer d'un terme au suivant, du type $v_{n+1} = 2v_n - 1$. Lis-la comme une phrase : « le terme suivant s'obtient en doublant le terme actuel, puis en retirant 1 ». Tu veux $v_{10}$ ? Il faut d'abord calculer $v_1$, puis $v_2$, puis $v_3$… Dix marches, une par une. Compare les deux machines toi-même :

MACHINE 1 — FORMULE EXPLICITE

$u_n = n^2 - 2n$

u₄ = 4² − 2 × 4 = 8

Un seul calcul, même pour n = 50 : tu remplaces n, et c'est réglé.

MACHINE 2 — RÉCURRENCE

$v_0 = 2 \;;\quad v_{n+1} = 2v_n - 1$

Pour l'instant, tu ne connais que le premier terme. Les suivants se méritent.

POURQUOI ?

Si la formule explicite est si commode, pourquoi s'encombrer de la récurrence ? Parce que dans la vraie vie, c'est presque toujours la récurrence qu'on connaît. La population d'une ville l'an prochain se déduit de celle de cette année ; ton épargne du mois prochain, de celle de ce mois-ci ; le nombre de malades demain, de celui d'aujourd'hui. Le monde évolue de proche en proche : la récurrence est la langue naturelle de tout ce qui avance étape par étape.

Du coup, l'un des grands jeux du chapitre sera de traduire : partir d'une règle de récurrence et en tirer une formule explicite, pour retrouver l'accès direct. Tu vas le faire deux fois — pour les suites arithmétiques, puis pour les géométriques.

DÉFINITION

Une suite est définie de façon explicite quand on dispose d'une formule $u_n = f(n)$ qui donne chaque terme directement à partir de son rang.

Elle est définie par récurrence quand on dispose de son premier terme et d'une relation qui exprime chaque terme à partir du précédent, comme $u_{n+1} = f(u_n)$.

MÉTHODE — CALCULER LES TERMES D'UNE SUITE

1.Repère le mode de définition : une formule en $n$ (explicite), ou une règle de passage d'un terme au suivant (récurrence).

2.Explicite : remplace $n$ par le rang visé, partout dans la formule.

3.Récurrence : pars du premier terme et applique la règle autant de fois que nécessaire, en notant chaque terme au passage.

EXEMPLES RÉSOLUS — LES DEUX MACHINES, PLUS UN RÉFLEXE

a. Soit $u_n = n^2 + 1$. Calcule $u_0$, $u_1$, $u_3$ et $u_{10}$.

Calcul — on remplace $n$ : $u_0 = 0 + 1 = 1$, $u_1 = 1 + 1 = 2$, $u_3 = 9 + 1 = 10$, et directement $u_{10} = 100 + 1 = 101$.

Aucun terme intermédiaire à calculer : c'est tout l'intérêt de l'explicite.

b. Soit $v_0 = 5$ et $v_{n+1} = 3v_n - 4$. Calcule $v_1$, $v_2$ et $v_3$.

Calcul — de proche en proche : $v_1 = 3 \times 5 - 4 = 11$, puis $v_2 = 3 \times 11 - 4 = 29$, puis $v_3 = 3 \times 29 - 4 = 83$.

Pour $v_{10}$, il faudrait continuer ainsi jusqu'au bout : la récurrence ne saute jamais de marche.

c. Soit $u_n = n^2 + 1$. Exprime $u_{n+1}$ en fonction de $n$.

Calcul — $u_{n+1}$ est le terme de rang $n+1$ : on remplace $n$ par $n+1$ partout. $u_{n+1} = (n+1)^2 + 1 = n^2 + 2n + 2$.

Surtout pas $n^2 + 1 + 1$ : $u_{n+1}$ est le terme suivant, pas « le terme plus 1 ». Ce réflexe servira pour tout le chapitre.

Q1Dans une suite $(u_n)$, le terme $u_{n+1}$ désigne…

Q2$u_n = 2n^2$ pour tout $n$. Alors $u_3 =$…

Q3Une suite est définie par récurrence. Pour connaître $u_{50}$, il faut…

3. Les suites arithmétiques : la même marche à chaque pas

Reviens au livret du début : 100 €, puis +20 € chaque mois. La règle de passage est la plus simple qui existe : on ajoute toujours le même nombre. Les suites qui avancent comme ça s'appellent arithmétiques, et le nombre ajouté à chaque pas s'appelle la raison, notée $r$. Ici, $r = 20$.

Joue avec les deux réglages ci-dessous : le point de départ $u_0$ et la marche $r$. Regarde ce que $r$ change dans le dessin — et ce qui, quoi que tu fasses, ne change jamais.

Des points alignés, une pente : si tu as déjà travaillé le chapitre sur la dérivation, ce vocabulaire te dit quelque chose. Une suite arithmétique, c'est l'équivalent version « liste de nombres » d'une droite : partir d'une hauteur $u_0$ et avancer d'une pente constante $r$.

DÉFINITION

Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$, appelé raison, tel que pour tout entier $n$ : $u_{n+1} = u_n + r$.

MÉTHODE — MONTRER QU'UNE SUITE EST ARITHMÉTIQUE

1.Calcule $u_{n+1} - u_n$ pour un $n$ quelconque, en littéral.

2.Simplifie : si le résultat est une constante (plus aucun $n$ ne survit), la suite est arithmétique, et cette constante est la raison.

3.Si le résultat dépend de $n$, elle ne l'est pas. Pour le montrer, deux écarts numériques différents suffisent.

EXEMPLES RÉSOLUS — PROUVER, OU RÉFUTER

a. Montre que la suite définie par $u_n = 7 - 2n$ est arithmétique.

Étape 1 — $u_{n+1} - u_n = \big(7 - 2(n+1)\big) - (7 - 2n) = 7 - 2n - 2 - 7 + 2n$.

Étape 2 — tout se simplifie : $u_{n+1} - u_n = -2$, une constante, quelle que soit la valeur de $n$.

Conclusion : $(u_n)$ est arithmétique, de raison $r = -2$ et de premier terme $u_0 = 7$.

b. La suite définie par $v_n = n^2$ est-elle arithmétique ?

Étape 1 — $v_1 - v_0 = 1$, mais $v_2 - v_1 = 3$ : deux écarts différents.

Conclusion : non. La marche change à chaque pas, ce n'est pas une suite arithmétique. (Deux écarts différents suffisent pour dire non — mais des écarts égaux au début ne suffiraient pas pour dire oui : voir les pièges classiques.)

POURQUOI ?

La formule explicite se lit sur le graphique du dessus. Pour aller du rang 0 au rang $n$, la suite monte $n$ marches, toutes de hauteur $r$ : en tout, elle ajoute $n \times r$ à son point de départ. C'est toute la démonstration : $u_n = u_0 + nr$. Compte les marches entre les deux rangs, pas les termes : du rang 0 au rang $n$, il y a exactement $n$ marches.

PROPRIÉTÉ — FORMULE EXPLICITE

Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$, alors pour tout $n$ :

$$u_n = u_0 + n\,r$$

Et plus généralement, entre deux rangs quelconques $n$ et $p$ : $u_n = u_p + (n - p)\,r$. En particulier, si la suite commence à $u_1$ : $u_n = u_1 + (n-1)\,r$.

EXEMPLE RÉSOLU — L'ACCÈS DIRECT RETROUVÉ

Une suite arithmétique vérifie $u_2 = 11$ et $u_5 = 26$. Trouve $r$, $u_0$, puis $u_{40}$.

Étape 1 — du rang 2 au rang 5, il y a 3 marches : $u_5 = u_2 + 3r$, donc $3r = 26 - 11 = 15$ et $r = 5$.

Étape 2 — en redescendant de 2 marches : $u_0 = u_2 - 2r = 11 - 10 = 1$.

Étape 3 — accès direct : $u_{40} = u_0 + 40r = 1 + 200 = 201$.

Conclusion : $r = 5$, $u_0 = 1$, $u_{40} = 201$. La récurrence disait « +5 à chaque pas » ; la formule explicite fait les 40 pas d'un coup.

Il reste une arme à récupérer : additionner les termes. La légende raconte qu'un instituteur, pour avoir la paix, demanda à sa classe de calculer $1 + 2 + 3 + \cdots + 100$. Un élève de huit ans, un certain Carl Friedrich Gauss, donna la réponse en quelques secondes. Son idée : ne pas additionner dans l'ordre. La voici en images, à manipuler toi-même.

PROPRIÉTÉ — SOMME DES PREMIERS ENTIERS

$$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$$

Plus généralement, une somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique se calcule par : $S = \text{(nombre de termes)} \times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$. C'est la même idée que le rectangle : apparier le premier terme avec le dernier.

EXEMPLE RÉSOLU — DEUX SOMMES

a. Calcule $1 + 2 + \cdots + 60$.

Calcul — $\dfrac{60 \times 61}{2} = 30 \times 61 = 1\,830$.

1 830, sans additionner soixante nombres.

b. Calcule $S = 7 + 10 + 13 + \cdots + 37$.

Étape 1 — ce sont les termes d'une suite arithmétique de raison 3. Combien y en a-t-il ? De 7 à 37, on monte $ (37-7)/3 = 10$ marches, donc il y a $10 + 1 = 11$ termes.

Étape 2 — $S = 11 \times \dfrac{7 + 37}{2} = 11 \times 22 = 242$.

Conclusion : $S = 242$. L'erreur guette au comptage des termes : marches + 1, toujours.

Q1$(u_n)$ est arithmétique de raison $r = -2$. Pour passer d'un terme au suivant…

Q2$u_0 = 5$ et $r = 3$. Alors $u_{20} =$…

Q3Sur un graphique, les points d'une suite arithmétique…

4. Les suites géométriques : multiplier au lieu d'ajouter

Change une seule chose dans l'histoire : au lieu d'ajouter, on multiplie. Une vidéo fait 1 000 vues le premier jour, et chaque jour le compteur est multiplié par 1,5 : 1 500, puis 2 250, puis 3 375… Les suites qui avancent en multipliant toujours par le même nombre sont dites géométriques. Le multiplicateur s'appelle encore la raison, mais on le note $q$.

« Multiplier par 1,5 », dit comme ça, a l'air raisonnable. Regarde ce que ça donne vraiment : règle $q$ ci-dessous, et compare $q = 0{,}7$, $q = 1$ et $q = 2$. Trois mondes complètement différents, séparés par presque rien.

DÉFINITION

Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$, appelé raison, tel que pour tout entier $n$ : $u_{n+1} = q \times u_n$.

MÉTHODE — MONTRER QU'UNE SUITE EST GÉOMÉTRIQUE

1.Écris $u_{n+1}$, puis transforme-le pour le mettre sous la forme $q \times u_n$, avec $q$ constant.

2.Si tu y arrives, la suite est géométrique de raison $q$. (Variante quand aucun terme n'est nul : vérifie que le quotient $u_{n+1}/u_n$ est constant.)

3.Pour montrer qu'elle ne l'est pas : deux quotients numériques différents suffisent.

EXEMPLES RÉSOLUS — PROUVER, OU RÉFUTER

a. Montre que la suite définie par $u_n = 5 \times 3^n$ est géométrique.

Étape 1 — $u_{n+1} = 5 \times 3^{n+1} = 5 \times 3^n \times 3 = 3 \times u_n$.

Conclusion : pour tout $n$, $u_{n+1} = 3\,u_n$ : géométrique, de raison $q = 3$ et de premier terme $u_0 = 5$.

b. La suite définie par $v_n = 2n + 1$ est-elle géométrique ?

Étape 1 — $\dfrac{v_1}{v_0} = \dfrac{3}{1} = 3$, mais $\dfrac{v_2}{v_1} = \dfrac{5}{3}$ : deux quotients différents.

Conclusion : non. On ne multiplie pas par le même nombre à chaque pas.

POURQUOI ?

La formule explicite s'obtient exactement comme pour l'arithmétique, en remplaçant les additions par des multiplications. Du rang 0 au rang $n$ : $n$ multiplications par $q$, c'est-à-dire une seule multiplication par $q \times q \times \cdots \times q = q^n$. D'où $u_n = u_0 \times q^n$. Les puissances ne sont pas là pour décorer : $q^n$, c'est « $n$ pas de multiplication d'un coup ».

PROPRIÉTÉ — FORMULE EXPLICITE

Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$, alors pour tout $n$ :

$$u_n = u_0 \times q^n$$

Et entre deux rangs quelconques : $u_n = u_p \times q^{\,n-p}$.

EXEMPLE RÉSOLU — LA VIDÉO QUI DÉCOLLE

La vidéo du début fait $u_0 = 1\,000$ vues le jour 0, et les vues quotidiennes sont multipliées par 1,5 chaque jour. Combien de vues le jour 10 ?

Étape 1 — $(u_n)$ est géométrique de raison $q = 1{,}5$ : $u_{10} = 1\,000 \times 1{,}5^{10}$.

Étape 2 — $1{,}5^{10} \approx 57{,}7$, donc $u_{10} \approx 57\,700$ vues.

Conclusion : en dix jours, on passe de 1 000 à plus de 57 000 vues quotidiennes. « ×1,5 par jour » n'avait l'air de rien : c'est ça, l'exponentielle.

Dernière formule du chapitre, et pas la moins utile : additionner les termes d'une suite géométrique, c'est-à-dire calculer $1 + q + q^2 + \cdots + q^n$. Ici, pas de rectangle : l'astuce est algébrique, et elle est belle.

POURQUOI ?

Appelle $S = 1 + q + q^2 + \cdots + q^n$, et calcule $q \times S$ : chaque terme se décale d'un cran, $qS = q + q^2 + \cdots + q^{n+1}$. Soustrais les deux : dans $qS - S$, tout le milieu s'annule deux à deux, il ne reste que les extrémités : $qS - S = q^{n+1} - 1$. Donc $S(q - 1) = q^{n+1} - 1$, et il n'y a plus qu'à diviser (possible dès que $q \neq 1$).

PROPRIÉTÉ — SOMME DES PUISSANCES DE q

Pour tout réel $q \neq 1$ et tout entier $n$ :

$$1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \frac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}$$

L'exposant du haut est $n + 1$ : c'est le nombre de termes de la somme (de $q^0$ à $q^n$, il y en a $n+1$). Pour une suite géométrique, on factorise par le premier terme : $u_0 + u_1 + \cdots + u_n = u_0 \times \dfrac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}$.

EXEMPLE RÉSOLU — LES DOUBLEMENTS S'ADDITIONNENT

Calcule $S = 1 + 2 + 4 + 8 + \cdots + 2^9$.

Étape 1 — c'est la somme des puissances de $q = 2$, de $2^0$ à $2^9$ : $S = \dfrac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = \dfrac{1 - 1\,024}{-1} = 1\,023$.

Conclusion : $S = 1\,023$. Regarde bien : le dernier terme vaut 512, et la somme entière à peine le double. C'est typique du géométrique — le dernier terme pèse presque autant que tous les autres réunis.

ARITHMÉTIQUE OU GÉOMÉTRIQUE ? LE FACE-À-FACE

	arithmétique	géométrique
d'un terme au suivant	$u_{n+1} = u_n + r$	$u_{n+1} = q \times u_n$
formule explicite	$u_n = u_0 + n\,r$	$u_n = u_0 \times q^n$
allure des points	alignés (pente $r$)	courbe exponentielle
comment la reconnaître	$u_{n+1} - u_n$ constant	$u_{n+1}/u_n$ constant

À RETENIR

Ajouter le même nombre à chaque pas : suite arithmétique, raison $r$. Multiplier par le même nombre à chaque pas : suite géométrique, raison $q$. Tout le chapitre tient dans ces deux phrases.

Q1$(u_n)$ est géométrique de raison $q = 3$. Alors pour tout $n$…

Q2$u_0 = 5$ et $q = 2$. Alors $u_4 =$…

Q3Pour $q \neq 1$, la somme $1 + q + q^2 + \cdots + q^n$ vaut…

Q4$u_0 = 100$ et $q = 0{,}9$. À long terme, les termes…

5. Le sens de variation d'une suite

Une fonction monte ou descend ; une suite aussi. Mais ici, pas de courbe à suivre des yeux : seulement des termes, un par rang. La question devient donc toute simple — entre $u_n$ et le terme d'après, $u_{n+1}$, lequel est le plus grand ? Si c'est toujours $u_{n+1}$, la suite est croissante ; si c'est toujours $u_n$, décroissante.

Entraîne ton œil d'abord. Pour chacune des quatre suites ci-dessous, lis les points de gauche à droite et décide. Deux d'entre elles sont des pièges.

Observe les termes de gauche à droite : cette suite est…

DÉFINITION

La suite $(u_n)$ est croissante si pour tout entier $n$, $u_{n+1} \geq u_n$ ; décroissante si pour tout $n$, $u_{n+1} \leq u_n$ (et strictement croissante ou décroissante avec des inégalités strictes). Le « pour tout $n$ » est le cœur de la définition : un seul pas dans le mauvais sens, et la suite n'est ni croissante ni décroissante.

POURQUOI ?

Pourquoi ne pas simplement regarder les premiers termes ? Parce qu'ils peuvent mentir : la quatrième suite du jeu descend pendant cinq rangs avant de remonter. Les premiers termes donnent une intuition, jamais une preuve. Il faut donc un argument valable pour tout $n$ d'un coup — et comparer deux nombres, c'est étudier le signe de leur différence : $u_{n+1} - u_n > 0$ veut exactement dire $u_{n+1} > u_n$. D'où la méthode.

MÉTHODE — ÉTUDIER LE SENS DE VARIATION D'UNE SUITE

1.Calcule $u_{n+1} - u_n$ en littéral, et étudie son signe pour tout $n$.

2.Si tous les termes sont strictement positifs, tu peux préférer comparer le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1 — très pratique quand il y a des puissances.

3.Conclus : différence toujours positive (ou quotient > 1) → croissante ; toujours négative (ou quotient < 1) → décroissante.

EXEMPLES RÉSOLUS — LES DEUX ROUTES

a. Sens de variation de la suite définie par $u_n = n^2 + 4n$ ?

Étape 1 — $u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 + 4(n+1) - n^2 - 4n = 2n + 5$.

Étape 2 — pour tout entier $n \geq 0$, $2n + 5 > 0$.

Conclusion : $(u_n)$ est strictement croissante.

b. Sens de variation de la suite définie par $u_n = 5 \times 0{,}8^n$ ?

Étape 1 — tous les termes sont strictement positifs, on prend la route du quotient : $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{5 \times 0{,}8^{n+1}}{5 \times 0{,}8^n} = 0{,}8$.

Étape 2 — $0{,}8 < 1$ : chaque terme vaut 80 % du précédent.

Conclusion : $(u_n)$ est strictement décroissante.

PROPRIÉTÉ — LES CAS QUE TU CONNAIS DÉJÀ

Suite arithmétique de raison $r$ : croissante si $r > 0$, décroissante si $r < 0$, constante si $r = 0$. (C'est le chip de couleur du graphique de la section 3.)

Suite géométrique de raison $q > 0$, avec $u_0 > 0$ : croissante si $q > 1$, décroissante si $0 < q < 1$, constante si $q = 1$. (Si $u_0 < 0$, tout s'inverse ; et si $q < 0$, les termes changent de signe à chaque rang : la suite oscille, ni croissante ni décroissante.)

Q1Dire que $(u_n)$ est croissante signifie…

Q2Pour tout $n$, $u_{n+1} - u_n = -3$. La suite est…

Q3La suite $u_n = (-1)^n$, c'est-à-dire 1, −1, 1, −1… est…

LES PIÈGES CLASSIQUES

Confondre le rang et le terme. Dans $u_3 = 160$, le 3 dit où (le rang), le 160 dit combien (le terme). « Calcule $u_3$ » ne veut pas dire « calcule $3 \times u$ ».

Croire que $u_{n+1} = u_n + 1$. $u_{n+1}$ est le terme suivant, pas « le terme plus 1 ». Pour l'exprimer depuis une formule explicite, remplace $n$ par $n+1$ partout : si $u_n = n^2$, alors $u_{n+1} = (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1$, pas $n^2 + 1$.

« Vérifié sur trois termes, donc c'est prouvé. » Trois écarts égaux ne prouvent rien : la définition exige la même raison pour tout $n$. La preuve se fait en littéral, avec $u_{n+1} - u_n$ (ou $u_{n+1}/u_n$). Les premiers termes ne suffisent que pour répondre non.

Se tromper d'indice dans la formule explicite. $u_n = u_0 + nr$ quand le premier terme est $u_0$ ; mais si la suite commence à $u_1$, c'est $u_n = u_1 + (n-1)r$. Compte les marches entre les deux rangs, jamais les termes.

Mal compter les termes d'une somme. De $u_3$ à $u_{10}$, il y a $10 - 3 + 1 = 8$ termes, pas 7. Et de $q^0$ à $q^n$ : $n + 1$ termes — c'est l'exposant $n+1$ de la formule.

L'ESSENTIEL EN 5 LIGNES

SUITE

$u_n$ : le terme de rang $n$. Explicite $u_n = f(n)$ : accès direct ; récurrence $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ : de proche en proche.

ARITHMÉTIQUE

$u_{n+1} = u_n + r$ ; $u_n = u_0 + nr$ ; points alignés, de pente $r$.

GÉOMÉTRIQUE

$u_{n+1} = q\,u_n$ ; $u_n = u_0 \times q^n$ ; explose si $q > 1$, s'éteint vers 0 si $0 < q < 1$.

SOMMES

$1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ ; $1 + q + \cdots + q^n = \dfrac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}$ (pour $q \neq 1$).

VARIATIONS

Étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$ ; si les termes sont strictement positifs, compare $u_{n+1}/u_n$ à 1. Valable pour tout $n$, sinon rien.

Exercices

15 corrigés

Commence par le niveau 1. Cherche vraiment avant d'ouvrir le corrigé — c'est là que ça rentre. Les exercices suivent l'ordre du cours : termes et notations, suites arithmétiques, suites géométriques, sommes, sens de variation, et un problème pour finir.

EXERCICE 01 · formule explicite niveau 1

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n = n^2 - 3n$. Calcule $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$, puis $u_{10}$.

EXERCICE 02 · récurrence niveau 1

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = 2u_n - 3$. Calcule $u_1$, $u_2$ et $u_3$. Peux-tu calculer $u_{10}$ directement ?

EXERCICE 03 · notation u_n+1 niveau 2

Soit $u_n = n^2 + n$. a. Exprime $u_{n+1}$ en fonction de $n$. b. Exprime $u_n + 1$. c. Compare-les pour $n = 1$.

EXERCICE 04 · arithmétique niveau 1

$(u_n)$ est arithmétique, de premier terme $u_0 = 3$ et de raison $r = 5$. Calcule $u_1$, $u_2$, puis $u_{100}$.

EXERCICE 05 · arithmétique · preuve niveau 2

Les suites définies par $u_n = 4n - 1$ et $v_n = n^2 + 1$ sont-elles arithmétiques ? Justifie dans les deux cas.

EXERCICE 06 · arithmétique niveau 2

$(u_n)$ est arithmétique avec $u_4 = 17$ et $u_{10} = 35$. Détermine la raison $r$ et $u_0$, puis calcule $u_{50}$.

EXERCICE 07 · géométrique niveau 1

$(u_n)$ est géométrique, de premier terme $u_0 = 3$ et de raison $q = 2$. Calcule $u_1$, $u_2$, puis $u_5$.

EXERCICE 08 · géométrique · preuve niveau 2

Les suites définies par $u_n = 7 \times 5^n$ et $v_n = 3n + 2$ sont-elles géométriques ? Justifie dans les deux cas.

EXERCICE 09 · géométrique niveau 2

$(u_n)$ est géométrique, à termes strictement positifs, avec $u_1 = 6$ et $u_3 = 54$. Détermine $q$ et $u_0$, puis calcule $u_6$.

EXERCICE 10 · sommes arithmétiques niveau 2

Calcule : a. $1 + 2 + 3 + \cdots + 200$ ; b. $S = 5 + 8 + 11 + \cdots + 62$.

EXERCICE 11 · sommes géométriques niveau 2

Calcule : a. $1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{10}$ ; b. $S = 3 + 6 + 12 + \cdots + 384$.

EXERCICE 12 · variations niveau 2

Étudie le sens de variation des suites définies par : a. $u_n = n^2 + 3n$ ; b. $v_n = 10 - 4n$.

EXERCICE 13 · variations niveau 3

Étudie le sens de variation des suites définies par : a. $u_n = 4 \times 1{,}2^n$ ; b. $v_n = \dfrac{n}{n+1}$.

EXERCICE 14 · problème niveau 3

Deux offres d'embauche, salaire mensuel de départ 1 800 €. Offre A : +60 € chaque année. Offre B : +3 % chaque année. a. Quel est le salaire mensuel la 10ᵉ année dans chaque cas ? b. En cumulant les salaires mensuels des années 1 à 10, quelle offre rapporte le plus ? (Arrondis à l'euro.)

VERS LE BAC — EXERCICE 15 ≈ 45 MIN · CALCULATRICE UTILE

Une plateforme de vidéos compte 12 000 abonnés au 1ᵉʳ janvier 2026. Chaque année, elle conserve 80 % de ses abonnés et en gagne 5 000 nouveaux. On note $u_n$ le nombre d'abonnés au 1ᵉʳ janvier de l'année $2026 + n$ ; ainsi $u_0 = 12\,000$.

PARTIE A

Calcule $u_1$ et $u_2$.
Justifie que pour tout $n$, $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 5\,000$.
La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifie.

PARTIE B

On pose, pour tout $n$ : $v_n = u_n - 25\,000$.

Montre que $(v_n)$ est géométrique ; précise sa raison et son premier terme.
Exprime $v_n$, puis $u_n$, en fonction de $n$.
Montre que $(u_n)$ est croissante.
Que devient le nombre d'abonnés à long terme ?

CHAPITRE SUIVANT

Les probabilités conditionnelles

Un point pas clair ? Écris-moi.

	arithmétique	géométrique
d'un terme au suivant	\(u_{n+1} = u_n + r\)	\(u_{n+1} = q \times u_n\)
formule explicite	\(u_n = u_0 + n\,r\)	\(u_n = u_0 \times q^n\)
allure des points	alignés (pente \(r\))	courbe exponentielle
comment la reconnaître	\(u_{n+1} - u_n\) constant	\(u_{n+1}/u_n\) constant