CE QUE TU DOIS SAVOIR FAIRE — calculer un produit scalaire de trois façons (angle, projection, coordonnées), démontrer que deux vecteurs sont orthogonaux — et trouver un côté ou un angle d'un triangle quelconque avec le théorème d'Al-Kashi.
≈ 60 min de travail · 15 exercices corrigés · mis à jour juillet 2026
SOMMAIRE ▾
1. Tirer dans le bon sens
Gare de Lyon, quai 12. Tu tires ta valise à roulettes, la poignée inclinée. Ta main tire fort le long de la poignée — mais la valise, elle, n'avance que le long du quai. Une partie de ton effort la fait avancer ; le reste tire vers le haut, pour rien. Plus la poignée se redresse, plus tu fatigues pour moins d'effet.
Deux flèches racontent la scène : le déplacement, le long du quai, et la force, le long de la poignée. Tu sais depuis la Seconde que ces flèches s'appellent des vecteurs. La question du chapitre tient alors en une phrase : quelle part d'un vecteur agit dans le sens d'un autre ?
La force tire en biais. Son ombre sur la direction du déplacement — le segment épais, de O à H — est la seule part qui fasse avancer la valise. Ici, la poignée est inclinée à 60°.
Regarde le segment épais : c'est l'ombre de la force sur le quai, comme sous un soleil de midi. C'est elle qui travaille. Le produit scalaire, que tu vas construire à la section suivante, mesure exactement ça. Une seule formule de Seconde à réveiller avant de commencer — la longueur d'un vecteur, qu'on appelle sa norme et qu'on note \(\lVert \vec u \rVert\). Pour \(\vec u\,(x\;;\, y)\) dans un repère orthonormé :
$$\lVert \vec u \rVert = \sqrt{x^2 + y^2}$$
2. L'ombre d'un vecteur sur l'autre
Fais-le toi-même : attrape le bout de \(\vec v\) et fais-le tourner autour de O. Regarde l'ombre — le segment épais — s'étirer, rétrécir, disparaître à 90°, puis repartir à l'envers. Et surveille le nombre juste en dessous : il raconte la même histoire.
INTERACTIFL'ombre qui fait le produit
u·v = 4 × OH = 4 × 1,50 = 6,00
OH = 3 × cos(60°) = 1,50
angle = 60°u·v = 6,00angle aigu — produit positif
Angle aigu : l'ombre tombe du côté de u, le produit scalaire est positif.
Les longueurs sont fixées — norme de u = 4, norme de v = 3 — seul l'angle bouge. H est le projeté orthogonal du bout de v sur la droite qui porte u : le segment épais [OH], c'est l'ombre. OH est compté négatif quand H passe de l'autre côté de O.
POURQUOI ?
Pourquoi multiplier l'ombre par la norme de \(\vec u\) ? Parce qu'un effet dépend des deux vecteurs. Reprends la valise : un trajet deux fois plus long, c'est deux fois plus d'effet ; une force deux fois plus grande aussi. Le produit scalaire multiplie donc les deux grandeurs — c'est un produit, et chaque vecteur y pèse proportionnellement.
Ce que tu viens de faire avec la main, voilà comment on l'écrit.
DÉFINITION
Soit \(\vec u\) et \(\vec v\) deux vecteurs non nuls. On pose \(\vec u = \overrightarrow{OA}\), \(\vec v = \overrightarrow{OB}\), et on appelle H le projeté orthogonal de B sur la droite \((OA)\). Le produit scalaire de \(\vec u\) par \(\vec v\) est le nombre réel :
\(\vec u \cdot \vec v = OA \times OH\) si H est du côté de A, et \(\vec u \cdot \vec v = -\,OA \times OH\) si H est de l'autre côté de O.
Si l'un des deux vecteurs est nul, on pose \(\vec u \cdot \vec v = 0\).
Et la formule qui relie l'ombre à l'angle ? Dans le triangle rectangle formé par \(\vec v\), son ombre et la verticale en pointillé, le cosinus de Seconde donne directement : ombre \(= \lVert \vec v \rVert \cos\theta\). En remplaçant, on obtient la formule du chapitre :
$$\vec u \cdot \vec v = \lVert \vec u \rVert \times \lVert \vec v \rVert \times \cos(\vec u\;;\, \vec v)$$
PROPRIÉTÉ — LE SIGNE DIT L'ANGLE
Le cosinus est positif pour un angle aigu, nul à 90°, négatif pour un angle obtus. Le produit scalaire hérite de ce signe : aigu → positif, droit → nul, obtus → négatif.
Et l'ordre des vecteurs n'a aucune importance : \(\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u\) — l'angle entre les deux est le même.
MÉTHODE — CALCULER AVEC LES NORMES ET L'ANGLE
1.Repère les deux normes et l'angle entre les vecteurs (entre 0° et 180°). Attention aux vecteurs qui partent du même point : c'est là que l'angle se lit.
2.Applique \(\lVert \vec u \rVert \times \lVert \vec v \rVert \times \cos(\vec u\;;\, \vec v)\), avec les valeurs exactes du cosinus quand l'angle est classique (30°, 45°, 60°, 90°…).
3.Contrôle le signe : angle aigu → résultat positif, angle obtus → résultat négatif. Un signe incohérent, et c'est le cosinus qui a été oublié.
EXEMPLE RÉSOLU — LA MÉTHODE EN ACTION
Dans un triangle, \(AB = 2\), \(AC = 5\) et \(\widehat{A} = 60°\). Calcule \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\).
Étape 1 — Les deux vecteurs partent de A : normes 2 et 5, angle 60° entre eux.
Étape 3 — 60° est aigu, le résultat est positif : cohérent.
Conclusion : \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 5\). Un nombre, pas un vecteur — c'est toute la nouveauté.
À RETENIR
Un produit scalaire est un nombre, jamais un vecteur — et son signe raconte l'angle.
TESTE-TOITrois questions, trente secondes
Q1Le produit scalaire de deux vecteurs, c'est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — « scalaire » veut dire « nombre ». C'est LE piège du chapitre : on multiplie deux vecteurs et on obtient… un réel, positif, négatif ou nul.
Q2\(\lVert \vec u \rVert = 2\), \(\lVert \vec v \rVert = 5\), angle de 60° entre les deux. \(\vec u \cdot \vec v =\) …
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — \(2 \times 5 \times \cos(60°) = 10 \times 0{,}5 = 5\). Répondre 10, c'est oublier le cosinus ; répondre 7, c'est additionner les normes — deux réflexes à désapprendre.
Q3L'angle entre \(\vec u\) et \(\vec v\) est obtus. Leur produit scalaire est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — au-delà de 90°, le cosinus devient négatif — dans le graphique, l'ombre partait à reculons. Le produit scalaire suit le signe du cosinus.
3. Le produit scalaire sans rapporteur : les coordonnées
La formule de la section 2 est belle, mais elle exige de connaître l'angle — et au bac, personne ne te le donne. On te donne un repère orthonormé et des coordonnées. Bonne nouvelle : dans un repère orthonormé, le produit scalaire se calcule en une ligne, sans rapporteur.
Vérifie-la à la main : déplace les deux vecteurs de nœud en nœud et regarde le calcul se refaire. Puis relève le défi : rends le produit nul. Que vois-tu apparaître entre les deux vecteurs ?
INTERACTIFLe produit scalaire sans rapporteur
u·v = 3×2 + 1×3 = 9
u = (3 ; 1)v = (2 ; 3)produit > 0 — angle aigu
Produit nul : les deux vecteurs sont orthogonaux, et l'angle droit se lit sur la grille. C'est le défi réussi — et tout l'objet de la section 4.
Les extrémités s'aimantent aux nœuds de la grille : toutes les coordonnées restent entières, tous les calculs sont exacts. Clavier : flèches gauche/droite pour la première coordonnée, haut/bas pour la seconde.
PROPRIÉTÉ — EN REPÈRE ORTHONORMÉ
Dans un repère orthonormé, si \(\vec u\,(x\;;\, y)\) et \(\vec v\,(x'\;;\, y')\), alors :
$$\vec u \cdot \vec v = xx' + yy'$$
Les premières coordonnées ensemble, les secondes ensemble — on ne croise jamais.
POURQUOI ?
Décompose sur les vecteurs du repère : \(\vec u = x\,\vec i + y\,\vec j\) et \(\vec v = x'\,\vec i + y'\,\vec j\). Développe le produit comme un produit de parenthèses — c'est permis, voir les règles ci-dessous — et il vient quatre termes. Or \(\vec i \cdot \vec i = 1\) et \(\vec j \cdot \vec j = 1\) (un vecteur de norme 1 projeté sur lui-même), tandis que \(\vec i \cdot \vec j = 0\) : à 90°, l'ombre disparaît, tu l'as vu de tes yeux. Les termes croisés meurent, il reste \(xx' + yy'\). Voilà pourquoi le repère doit être orthonormé : c'est lui qui tue les termes croisés.
PROPRIÉTÉ — LE CARRÉ SCALAIRE ET LES RÈGLES DE CALCUL
Le produit scalaire d'un vecteur par lui-même s'appelle son carré scalaire : \(\vec u \cdot \vec u = \lVert \vec u \rVert^2\) (l'angle est nul, le cosinus vaut 1). On le note \(\vec u^{\,2}\).
Et le produit scalaire se développe comme un produit de nombres : pour tous vecteurs \(\vec u\), \(\vec v\), \(\vec w\) et tout réel \(k\), \(\ \vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w\ \) et \(\ (k\,\vec u) \cdot \vec v = k\,(\vec u \cdot \vec v)\). D'où les identités remarquables, comme en calcul littéral :
$$\lVert \vec u + \vec v \rVert^2 = \lVert \vec u \rVert^2 + 2\,\vec u \cdot \vec v + \lVert \vec v \rVert^2$$
Retourne cette identité comme une crêpe et tu obtiens une troisième expression du produit scalaire — avec des normes seulement, sans angle ni coordonnées. Trois routes vers le même nombre : tu choisiras toujours celle dont tu as les données.
$$\vec u \cdot \vec v = \frac{1}{2}\left(\lVert \vec u + \vec v \rVert^2 - \lVert \vec u \rVert^2 - \lVert \vec v \rVert^2\right)$$
MÉTHODE — CALCULER UN ANGLE AVEC LES COORDONNÉES
1.Calcule le produit scalaire avec les coordonnées : \(xx' + yy'\).
2.Calcule les deux normes : \(\sqrt{x^2 + y^2}\) pour chacun.
3.Isole le cosinus dans la formule de la section 2 : \(\cos(\vec u\;;\, \vec v) = \dfrac{\vec u \cdot \vec v}{\lVert \vec u \rVert \times \lVert \vec v \rVert}\), puis remonte à l'angle (valeur classique, ou touche arccos de la calculatrice).
EXEMPLES RÉSOLUS — LES TROIS ROUTES
a. Dans un repère orthonormé, \(\vec u\,(1\;;\, 3)\) et \(\vec v\,(2\;;\, 1)\). Quel angle forment-ils ?
Étape 1 — \(\vec u \cdot \vec v = 1 \times 2 + 3 \times 1 = 5\).
Étape 2 — \(\lVert \vec u \rVert = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}\) et \(\lVert \vec v \rVert = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}\).
Conclusion : l'angle vaut 45° — une valeur exacte, sans rapporteur ni calculatrice.
b. On sait seulement que \(\lVert \vec u \rVert = 2\), \(\lVert \vec v \rVert = 3\) et \(\lVert \vec u + \vec v \rVert = 4\). Calcule \(\vec u \cdot \vec v\).
Étape 1 — Ni angle ni coordonnées : c'est la troisième route. \(\vec u \cdot \vec v = \dfrac{1}{2}\left(4^2 - 2^2 - 3^2\right) = \dfrac{16 - 4 - 9}{2}\).
Conclusion : \(\vec u \cdot \vec v = \dfrac{3}{2} = 1{,}5\). Trois normes suffisent.
TESTE-TOIEncore trois sur les coordonnées
Q1En repère orthonormé, \(\vec u\,(3\;;\, -2)\) et \(\vec v\,(1\;;\, 4)\). \(\vec u \cdot \vec v =\) …
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — \(3 \times 1 + (-2) \times 4 = 3 - 8 = -5\). Répondre 10, c'est croiser les coordonnées (\(3 \times 4 - 2 \times 1\)) : on ne croise jamais. Répondre 11, c'est perdre le signe du \(-2\).
Q2\(\vec u \cdot \vec u\) vaut toujours…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — angle nul, cosinus 1 : \(\vec u \cdot \vec u = \lVert \vec u \rVert \times \lVert \vec u \rVert = \lVert \vec u \rVert^2\). C'est le carré scalaire — le pont entre produit scalaire et longueurs.
Q3\(\lVert \vec u + \vec v \rVert^2\) est toujours égal à…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — l'identité remarquable, avec son double produit. La première réponse n'est vraie que si \(\vec u\) et \(\vec v\) sont orthogonaux (c'est Pythagore !), la deuxième presque jamais : les normes ne s'additionnent pas.
4. L'orthogonalité : quand le produit s'annule
Reviens sur le quai une seconde. Tire la poignée à la verticale, à 90° du déplacement : la valise n'avance plus du tout. Effort réel, effet nul — produit scalaire zéro. Ce zéro n'est pas un accident de calcul : c'est un détecteur d'angle droit, et c'est l'usage le plus fréquent du produit scalaire dans les exercices.
Entraîne l'œil d'abord : positif, négatif ou nul ? Quand l'angle est franc, le coup d'œil suffit. Quand il hésite… calcule \(xx' + yy'\), le signe est dedans.
TESTE-TOIPositif, négatif ou nul ?
PAIRE 1/4
Le produit scalaire de ces deux vecteurs est…
PAS ENCORE — calcule \(xx' + yy'\) avec les coordonnées affichées : le signe est dedans.
EXACT — l'angle est franchement aigu, pas besoin de calculer : l'ombre de \(\vec v\) tombe du côté de \(\vec u\). Vérification : \(4 \times 2 + 1 \times 3 = 11 > 0\).
EXACT — \(3 \times (-1) + 1 \times 3 = -3 + 3 = 0\) : orthogonaux, alors qu'aucun des deux n'est aligné sur les axes. L'angle droit ne se voit bien qu'au calcul.
EXACT — l'angle est largement obtus : \(3 \times (-4) + 2 \times (-1) = -14\). Les deux vecteurs tirent presque à contresens.
EXACT — le piège : elle ressemble à la paire n° 2, mais \(3 \times (-1) + 1 \times 2 = -1 \neq 0\). Presque perpendiculaires ne compte pas — l'œil hésite, le calcul tranche.
DÉFINITION
Deux vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) sont orthogonaux quand leur produit scalaire est nul : \(\vec u \cdot \vec v = 0\).
Pour deux vecteurs non nuls, cela signifie exactement que leurs directions sont perpendiculaires. Le vecteur nul, lui, est orthogonal à tous les vecteurs.
PROPRIÉTÉ — LE TEST EN COORDONNÉES
Dans un repère orthonormé : \(\vec u\,(x\;;\, y)\) et \(\vec v\,(x'\;;\, y')\) sont orthogonaux si et seulement si \(xx' + yy' = 0\).
MÉTHODE — DÉMONTRER UNE PERPENDICULARITÉ
1.Traduis en vecteurs — les bons : pour montrer \((AB) \perp (CD)\), ce sont \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) qu'il faut prendre.
2.Calcule leur produit scalaire — avec les coordonnées le plus souvent ; place toi-même un repère orthonormé si la figure n'en a pas.
3.Conclus : produit nul → vecteurs orthogonaux → droites perpendiculaires. Rédige les trois maillons.
EXEMPLES RÉSOLUS — LE DÉTECTEUR EN ACTION
a. Pour quelle valeur de \(t\) les vecteurs \(\vec u\,(3\;;\, -2)\) et \(\vec v\,(t\;;\, 6)\) sont-ils orthogonaux ?
Étape 1 — \(\vec u \cdot \vec v = 3t + (-2) \times 6 = 3t - 12\).
Étape 3 — Produit scalaire nul, vecteurs non nuls : \((AB) \perp (AC)\).
Conclusion : \(ABC\) est rectangle en A — sans mesurer un seul angle.
TESTE-TOITrois réflexes d'orthogonalité
Q1\(\vec u \cdot \vec v = 0\). Alors forcément…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — c'est la définition. Le réflexe « produit nul → un facteur nul » vaut pour les nombres, pas ici : deux vecteurs bien vivants peuvent avoir un produit scalaire nul — il suffit d'un angle droit.
Q2\(\vec u\,(2\;;\, 3)\) et \(\vec v\,(-6\;;\, t)\) sont orthogonaux pour…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — \(2 \times (-6) + 3t = -12 + 3t = 0\), donc \(t = 4\). Le signe se perd facilement dans le \(-12\) : pose le calcul.
Q3Soit \(\vec u\) un vecteur non nul. Combien de vecteurs non nuls sont orthogonaux à \(\vec u\) ?
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — tous les vecteurs portés par la perpendiculaire, quelle que soit leur longueur : dans le graphique de la section 3, une fois le produit annulé, tu pouvais encore étirer \(\vec v\) sans rien casser.
5. Al-Kashi : Pythagore pour tous les triangles
Pythagore est l'outil-roi du collège… mais il exige un angle droit. Que devient \(a^2 = b^2 + c^2\) quand l'angle s'ouvre ou se referme ? Il ne meurt pas : il se corrige. Fais tourner l'angle \(\widehat{A}\) et regarde le terme de correction vivre — puis passe par 90° et regarde-le mourir.
 = 75°a² = 75,15a = BC ≈ 8,67 aigu — a² < b² + c²
Angle aigu : le terme de correction se soustrait, le côté a est plus court que ne le dirait Pythagore.
b = AC = 6 et c = AB = 8 sont fixés ; seul l'angle  bouge, et le côté opposé a = BC répond. La ligne  = 90° est exactement Pythagore.
PROPRIÉTÉ — LE THÉORÈME D'AL-KASHI
Dans un triangle \(ABC\), avec les notations usuelles \(a = BC\), \(b = AC\), \(c = AB\) :
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\,\cos\widehat{A}$$
L'angle qui apparaît est celui qui fait face au côté que tu calcules. La formule tourne : \(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\,\cos\widehat{B}\), et de même pour \(c\).
POURQUOI ?
Trois lignes de produit scalaire. Écris \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\), puis prends le carré scalaire des deux côtés avec l'identité remarquable : \(BC^2 = AC^2 - 2\,\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} + AB^2\). Or \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = b\,c\,\cos\widehat{A}\) — la formule de la section 2. D'où \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}\). Et si \(\widehat{A} = 90°\), le cosinus s'annule : Pythagore n'est que le cas particulier où la correction meurt.
MÉTHODE — TROUVER UN CÔTÉ
1.Identifie ce que tu as : deux côtés et l'angle entre eux (l'angle opposé au côté cherché).
2.Écris Al-Kashi avec ces lettres-là, calcule \(a^2\) — garde la valeur exacte du cosinus tant que tu peux.
3.Prends la racine carrée à la fin seulement, et contrôle : angle aigu → \(a^2 < b^2 + c^2\), angle obtus → \(a^2 > b^2 + c^2\).
EXEMPLE RÉSOLU — UN CÔTÉ SANS ANGLE DROIT
Dans un triangle \(ABC\), \(AC = 5\), \(AB = 8\) et \(\widehat{A} = 60°\). Calcule \(BC\).
Étape 1 — Deux côtés et l'angle entre eux : c'est Al-Kashi pour le côté opposé à \(\widehat{A}\).
EXACT — \(9 + 25 - 30 \times 0{,}5 = 34 - 15 = 19\). Répondre 34, c'est oublier toute la correction ; répondre 4, c'est oublier le cosinus dans \(-2bc\cos\widehat{A}\).
Q3Quand \(\widehat{A} = 90°\), le théorème d'Al-Kashi devient…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — \(\cos(90°) = 0\) : la correction disparaît et il reste \(a^2 = b^2 + c^2\). Pythagore n'est qu'un cas particulier — tu l'as vu mourir en direct dans le graphique.
Q4Un triangle a pour côtés 5, 6 et 7. L'angle opposé au côté 7 est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — compare \(7^2 = 49\) à \(5^2 + 6^2 = 61\) : \(49 < 61\), donc \(\cos\widehat{A} > 0\), angle aigu. Le réflexe « ça ressemble à 3-4-5 donc c'est rectangle » ne survit pas au calcul.
LES PIÈGES CLASSIQUES
Croire que le produit scalaire est un vecteur. \(\vec u \cdot \vec v\) est un nombre — « scalaire » veut dire ça. Écrire une flèche sur le résultat, ou « additionner » des produits scalaires comme des vecteurs, n'a aucun sens.
Croiser les coordonnées. \(\vec u \cdot \vec v = xx' + yy'\) : les premières coordonnées ensemble, les secondes ensemble. Le calcul croisé \(xy' + x'y\) (ou \(xy' - x'y\)) est un autre objet — pas le produit scalaire.
Conclure « produit nul, donc un vecteur nul ». Pour des nombres, \(ab = 0\) force \(a = 0\) ou \(b = 0\). Pas ici : \(\vec u \cdot \vec v = 0\) avec deux vecteurs bien vivants, il suffit d'un angle droit. Et dans l'autre sens, on ne « simplifie » jamais par un vecteur : \(\vec u \cdot \vec v = \vec u \cdot \vec w\) n'entraîne pas \(\vec v = \vec w\).
Additionner les normes. \(\lVert \vec u + \vec v \rVert \neq \lVert \vec u \rVert + \lVert \vec v \rVert\) en général. Le vrai développement passe par le carré : \(\lVert \vec u + \vec v \rVert^2 = \lVert \vec u \rVert^2 + 2\,\vec u \cdot \vec v + \lVert \vec v \rVert^2\), avec son double produit.
Massacrer Al-Kashi. Trois blessures classiques : perdre le signe moins, perdre le facteur 2, et prendre le mauvais angle. Retiens la structure : \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}\), où \(\widehat{A}\) est l'angle opposé au côté \(a\) que tu calcules.
L'ESSENTIEL EN 5 LIGNES
DÉFINITION
\(\vec u \cdot \vec v = \lVert \vec u \rVert\, \lVert \vec v \rVert \cos(\vec u\;;\, \vec v)\) — un nombre : positif si l'angle est aigu, nul à 90°, négatif s'il est obtus.
PROJECTION
Projette \(\vec v\) sur la droite de \(\vec u\) : \(\vec u \cdot \vec v = \lVert \vec u \rVert \times \overline{OH}\), l'ombre comptée avec son signe.
COORDONNÉES
En repère orthonormé : \(\vec u \cdot \vec v = xx' + yy'\) ; et \(\vec u \cdot \vec u = \lVert \vec u \rVert^2\) (carré scalaire).
ORTHOGONALITÉ
\(\vec u \cdot \vec v = 0 \iff \vec u\) et \(\vec v\) orthogonaux : le détecteur d'angle droit — \(xx' + yy' = 0\) en coordonnées.
AL-KASHI
\(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}\) : Pythagore corrigé par l'angle, valable dans tout triangle.
Exercices
15 corrigés
Commence par le niveau 1. Cherche vraiment avant d'ouvrir le corrigé — c'est là que ça rentre. Les exercices suivent l'ordre du cours : normes et angle, projection, coordonnées, orthogonalité, Al-Kashi — et un problème pour finir.
EXERCICE 01 · normes et angleniveau 1
\(\lVert \vec u \rVert = 4\) et \(\lVert \vec v \rVert = 3\). Calcule \(\vec u \cdot \vec v\) quand l'angle entre \(\vec u\) et \(\vec v\) vaut : a. 60° ; b. 120° ; c. 90°.
CORRIGÉ
a. — \(\vec u \cdot \vec v = 4 \times 3 \times \cos(60°) = 12 \times \dfrac{1}{2} = 6\).
b. — \(\cos(120°) = -\dfrac{1}{2}\), donc \(\vec u \cdot \vec v = 12 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -6\). Angle obtus, produit négatif : cohérent.
c. — \(\cos(90°) = 0\), donc \(\vec u \cdot \vec v = 0\) : les vecteurs sont orthogonaux.
Conclusion : mêmes normes, trois angles, trois signes — c'est l'angle qui commande. Ce sont exactement les trois préréglages du graphique de la section 2.
EXERCICE 02 · projectionniveau 1
\(A\), \(B\), \(C\) sont trois points avec \(AB = 6\). On note \(H\) le projeté orthogonal de \(C\) sur la droite \((AB)\). a. \(H\) appartient au segment \([AB]\) et \(AH = 2\) : calcule \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\). b. Même question si \(H\) est de l'autre côté de \(A\) (à l'extérieur du segment), toujours avec \(AH = 2\).
CORRIGÉ
a. — Par la définition avec le projeté : \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AH = 6 \times 2 = 12\), positif car \(\overrightarrow{AH}\) et \(\overrightarrow{AB}\) pointent dans le même sens.
b. — Mêmes longueurs, mais l'ombre part à reculons : \(\overrightarrow{AH}\) et \(\overrightarrow{AB}\) sont de sens contraires, donc \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -\,6 \times 2 = -12\).
Conclusion : la projection ne retient de \(\overrightarrow{AC}\) que son ombre sur \((AB)\) — longueur et sens. Le signe fait partie de la réponse.
EXERCICE 03 · retrouver l'angleniveau 2
\(\lVert \vec u \rVert = 4\), \(\lVert \vec v \rVert = 5\) et \(\vec u \cdot \vec v = -10\). Détermine l'angle entre \(\vec u\) et \(\vec v\).
CORRIGÉ
Étape 1 — Isole le cosinus dans la formule : \(\cos(\vec u\;;\, \vec v) = \dfrac{\vec u \cdot \vec v}{\lVert \vec u \rVert \times \lVert \vec v \rVert} = \dfrac{-10}{4 \times 5} = -\dfrac{1}{2}\).
Étape 2 — Avant de calculer, lis le signe : négatif, donc angle obtus. Et \(-\dfrac{1}{2}\) est une valeur classique : l'angle vaut 120°.
Conclusion : 120°. Le produit scalaire négatif annonçait l'angle obtus avant tout calcul — prends ce réflexe de contrôle.
EXERCICE 04 · coordonnéesniveau 1
Dans un repère orthonormé, calcule \(\vec u \cdot \vec v\) : a. \(\vec u\,(2\;;\, 5)\) et \(\vec v\,(3\;;\, -1)\) ; b. \(\vec u\,(4\;;\, -2)\) et \(\vec v\,(1\;;\, 3)\) ; c. \(\vec u\,(3\;;\, 2)\) et \(\vec v\,(-4\;;\, 6)\).
CORRIGÉ
a. — \(2 \times 3 + 5 \times (-1) = 6 - 5 = 1\).
b. — \(4 \times 1 + (-2) \times 3 = 4 - 6 = -2\).
c. — \(3 \times (-4) + 2 \times 6 = -12 + 12 = 0\) : tiens, un zéro. Ces deux vecteurs sont orthogonaux — sans que rien ne le laisse deviner dans leurs coordonnées.
Conclusion : premières coordonnées ensemble, secondes ensemble, et le signe de chaque produit posé au brouillon. Le c. annonce la section sur l'orthogonalité.
EXERCICE 05 · angle par coordonnéesniveau 2
Dans un repère orthonormé, \(\vec u\,(3\;;\, 1)\) et \(\vec v\,(1\;;\, 2)\). Détermine la mesure exacte de l'angle entre \(\vec u\) et \(\vec v\).
CORRIGÉ
Étape 1 — \(\vec u \cdot \vec v = 3 \times 1 + 1 \times 2 = 5\).
Étape 2 — \(\lVert \vec u \rVert = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}\) et \(\lVert \vec v \rVert = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\).
Conclusion : l'angle vaut 45°, valeur exacte. Quand \(\sqrt{50}\) apparaît, simplifie avant de sortir la calculatrice : les énoncés aiment les angles classiques.
EXERCICE 06 · normes et identitésniveau 2
On sait que \(\lVert \vec u \rVert = 2\), \(\lVert \vec v \rVert = 3\) et \(\vec u \cdot \vec v = -1\). Calcule : a. \(\lVert \vec u + \vec v \rVert\) ; b. \(\lVert \vec u - \vec v \rVert\) ; c. \((\vec u + \vec v) \cdot (\vec u - \vec v)\).
CORRIGÉ
a. — \(\lVert \vec u + \vec v \rVert^2 = \lVert \vec u \rVert^2 + 2\,\vec u \cdot \vec v + \lVert \vec v \rVert^2 = 4 - 2 + 9 = 11\), donc \(\lVert \vec u + \vec v \rVert = \sqrt{11}\).
b. — Même identité avec le signe moins : \(4 + 2 + 9 = 15\), donc \(\lVert \vec u - \vec v \rVert = \sqrt{15}\).
c. — Troisième identité remarquable : \((\vec u + \vec v) \cdot (\vec u - \vec v) = \lVert \vec u \rVert^2 - \lVert \vec v \rVert^2 = 4 - 9 = -5\).
Conclusion : tout le calcul littéral de collège fonctionne avec les vecteurs, à condition de passer par les carrés scalaires. Remarque que \(\sqrt{11} \neq 2 + 3\) : les normes ne s'additionnent pas.
EXERCICE 07 · orthogonaux ?niveau 1
Dans un repère orthonormé, dis si les vecteurs sont orthogonaux : a. \(\vec u\,(6\;;\, -4)\) et \(\vec v\,(2\;;\, 3)\) ; b. \(\vec u\,(5\;;\, 2)\) et \(\vec v\,(-2\;;\, 5)\) ; c. \(\vec u\,(4\;;\, 2)\) et \(\vec v\,(1\;;\, -3)\).
b. — \(5 \times (-2) + 2 \times 5 = -10 + 10 = 0\) : orthogonaux. Retiens le motif : \((-b\;;\, a)\) est toujours orthogonal à \((a\;;\, b)\).
c. — \(4 \times 1 + 2 \times (-3) = 4 - 6 = -2 \neq 0\) : pas orthogonaux — presque, mais « presque perpendiculaire » n'existe pas en maths.
Conclusion : le test tient en une ligne de calcul. L'œil peut hésiter, jamais le produit scalaire.
EXERCICE 08 · trouver un paramètreniveau 2
Dans un repère orthonormé, détermine toutes les valeurs de \(t\) pour lesquelles les vecteurs sont orthogonaux : a. \(\vec u\,(3\;;\, -2)\) et \(\vec v\,(t\;;\, 6)\) ; b. \(\vec u\,(t\;;\, 2)\) et \(\vec v\,(t\;;\, -8)\).
CORRIGÉ
a. — \(\vec u \cdot \vec v = 3t + (-2) \times 6 = 3t - 12\). Orthogonaux \(\iff 3t - 12 = 0 \iff t = 4\).
b. — \(\vec u \cdot \vec v = t \times t + 2 \times (-8) = t^2 - 16\). Orthogonaux \(\iff t^2 = 16 \iff t = 4\) ou \(t = -4\).
Conclusion : l'orthogonalité se traduit en équation — et une équation peut avoir deux solutions. Ne t'arrête pas à la première.
EXERCICE 09 · triangle rectangleniveau 2
Dans un repère orthonormé, \(A(-1\;;\, 2)\), \(B(3\;;\, 4)\) et \(C(2\;;\, -4)\). a. Montre que le triangle \(ABC\) est rectangle en A. b. Calcule son aire.
CORRIGÉ
a. — \(\overrightarrow{AB}\,(4\;;\, 2)\) et \(\overrightarrow{AC}\,(3\;;\, -6)\). Produit scalaire : \(4 \times 3 + 2 \times (-6) = 12 - 12 = 0\). Vecteurs non nuls et orthogonaux : le triangle est rectangle en A.
b. — Les deux côtés de l'angle droit servent de base et de hauteur : \(AB = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\) et \(AC = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\). Aire \(= \dfrac{AB \times AC}{2} = \dfrac{2\sqrt{5} \times 3\sqrt{5}}{2} = \dfrac{6 \times 5}{2} = 15\).
Conclusion : rectangle en A, aire 15. Le produit scalaire a remplacé la réciproque de Pythagore — moins de calculs, pas de racines à comparer.
EXERCICE 10 · démonstrationniveau 3
\(ABCD\) est un carré. \(I\) est le milieu de \([AB]\), \(J\) celui de \([BC]\). Montre que les droites \((DI)\) et \((AJ)\) sont perpendiculaires. Indication : place le repère \((A\;;\, \overrightarrow{AB},\, \overrightarrow{AD})\).
CORRIGÉ
Étape 1 — Le repère \((A\;;\, \overrightarrow{AB},\, \overrightarrow{AD})\) est orthonormé (côtés du carré : perpendiculaires et de même longueur, prise pour unité). Dans ce repère : \(A(0\;;\, 0)\), \(B(1\;;\, 0)\), \(C(1\;;\, 1)\), \(D(0\;;\, 1)\), donc \(I\left(\dfrac{1}{2}\;;\, 0\right)\) et \(J\left(1\;;\, \dfrac{1}{2}\right)\).
Étape 3 — Produit nul, vecteurs non nuls : \((DI) \perp (AJ)\).
Conclusion : la perpendicularité est démontrée pour tous les carrés d'un coup — aucune mesure, aucun cas particulier. Poser soi-même un bon repère, c'est 80 % de ce type d'exercice.
EXERCICE 11 · Al-Kashi, un côténiveau 2
Dans un triangle \(ABC\), \(AC = 3\), \(AB = 5\) et \(\widehat{A} = 120°\). Calcule \(BC\).
CORRIGÉ
Étape 1 — Deux côtés et l'angle entre eux : Al-Kashi pour le côté opposé à \(\widehat{A}\), avec \(\cos(120°) = -\dfrac{1}{2}\).
Étape 2 — \(BC^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \times 3 \times 5 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 9 + 25 + 15 = 49\). Le terme de correction s'ajoute : l'angle est obtus.
Étape 3 — \(BC = \sqrt{49} = 7\), et \(49 > 34\) : cohérent avec un angle obtus.
Conclusion : \(BC = 7\). Le double signe moins (celui de la formule, celui du cosinus) donne un plus : c'est le passage le plus surveillé de la copie.
EXERCICE 12 · Al-Kashi, un angleniveau 2
Un triangle a pour côtés 4, 7 et 9. a. Sans calculatrice, dis si l'angle opposé au côté 9 est aigu, droit ou obtus. b. Calcule sa mesure au dixième de degré près.
CORRIGÉ
a. — Compare \(9^2 = 81\) à \(4^2 + 7^2 = 65\) : \(81 > 65\), donc le cosinus sera négatif — l'angle est obtus, avant toute calculatrice.
b. — \(\cos\widehat{A} = \dfrac{4^2 + 7^2 - 9^2}{2 \times 4 \times 7} = \dfrac{65 - 81}{56} = \dfrac{-16}{56} = -\dfrac{2}{7}\). À la calculatrice : \(\widehat{A} \approx 106{,}6°\).
Conclusion : environ 106,6°, obtus comme annoncé. Compare toujours \(a^2\) à \(b^2 + c^2\) avant de calculer : c'est ton détecteur d'erreur de signe.
EXERCICE 13 · le cercle de l'angle droitniveau 3
\(A\) et \(B\) sont deux points fixés avec \(AB = 6\), et \(I\) est le milieu de \([AB]\). \(M\) est un point quelconque du plan. a. Justifie que \(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}\) et \(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MI} - \overrightarrow{IA}\). b. Déduis-en que \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - 9\). c. Décris l'ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\), et interprète géométriquement.
CORRIGÉ
a. — Relation de Chasles : \(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}\). Et comme \(I\) est le milieu de \([AB]\) : \(\overrightarrow{IB} = -\overrightarrow{IA}\), donc \(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{MI} - \overrightarrow{IA}\).
b. — Troisième identité remarquable : \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = \left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}\right) \cdot \left(\overrightarrow{MI} - \overrightarrow{IA}\right) = MI^2 - IA^2\). Or \(IA = \dfrac{AB}{2} = 3\), donc \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - 9\).
c. — \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 \iff MI^2 = 9 \iff MI = 3\) : \(M\) décrit le cercle de centre \(I\) et de rayon 3 — le cercle de diamètre \([AB]\). Interprétation : \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\) signifie que \(M\) voit le segment \([AB]\) sous un angle droit ; on retrouve le cercle de Thalès du collège.
Conclusion : trois lignes de produit scalaire redémontrent un théorème de collège — et ce calcul \(MI^2 - IA^2\) est un grand classique des sujets de bac.
EXERCICE 14 · problèmeniveau 3
Retour sur le quai. Tu tires ta valise sur \(d = 200\) m, en exerçant le long de la poignée une force d'intensité \(F = 40\) N (newtons). En physique, l'énergie transmise par la force — son travail, en joules — est le produit scalaire \(W = \vec F \cdot \vec d\). On donne \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\). a. La poignée fait un angle de 60° avec le quai : calcule \(W\). b. Ton amie tire la même valise avec la même force, mais sa poignée rallongée ne fait qu'un angle de 30° : calcule son travail et compare. c. Que devient \(W\) si on tire à 90°, à la verticale ? d. Explique pourquoi les poignées de valise sont longues.
CORRIGÉ
a. — \(W = F \times d \times \cos(60°) = 40 \times 200 \times \dfrac{1}{2} = 4\,000\) J. La moitié seulement de \(40 \times 200\) : le reste de l'effort tire vers le haut, pour rien.
b. — \(W = 40 \times 200 \times \cos(30°) = 8\,000 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 4\,000\sqrt{3} \approx 6\,920\) J. Même force, même distance… et près de 1,7 fois plus d'énergie transmise à la valise : son geste est plus efficace.
c. — \(\cos(90°) = 0\), donc \(W = 0\) J : tu soulèves, la valise n'avance pas. C'est l'orthogonalité de la section 4, en chair et en os.
d. — Une poignée longue rapproche la direction de traction de l'horizontale : l'angle diminue, le cosinus grandit, et une plus grande part de ta force fait vraiment avancer la valise.
Conclusion : le produit scalaire est la formule officielle du travail d'une force — tu la retrouveras telle quelle en spé physique. La valise du début du chapitre était déjà un exercice de bac déguisé.
VERS LE BAC — EXERCICE 15≈ 45 MIN · SANS CALCULATRICE
Les deux parties sont indépendantes. Partie A : un triangle sans repère. Partie B : dans un repère orthonormé.
PARTIE A
Dans un triangle \(ABC\), on donne \(AB = 3\), \(AC = 8\) et \(\widehat{A} = 60°\).
B.3 — \(I\) est à égale distance des trois sommets : \(A\), \(B\) et \(C\) sont sur le cercle de centre \(I\) et de rayon \(\sqrt{10}\). C'est le cercle de diamètre \([BC]\) : l'angle droit en \(A\) « voit » le diamètre — exactement la situation de l'exercice 13, dans l'autre sens.