Le second degré — Première Spé Maths

SOMMAIRE

1. La courbe que dessine un ballon

Match de foot, un défenseur te barre la route : tu fais une passe lobée. Le ballon décolle, monte, ralentit, culmine… puis retombe, exactement comme il est monté. Cette trajectoire, tout le monde la reconnaît à l'œil. Ce chapitre lui donne un nom, une équation — et surtout des outils pour répondre aux vraies questions : jusqu'où monte-t-il ? où retombe-t-il ? passe-t-il au-dessus du défenseur ?

On mesure : à $x$ mètres du point de départ, le ballon est à la hauteur $h(x)$, en mètres :

$$h(x) = -0{,}5x^2 + 2x$$

Regarde bien cette écriture : elle ne répond directement à aucune des trois questions. La hauteur maximale ? Invisible. Le point de chute ? Caché. C'est le fil rouge du chapitre : un trinôme peut s'écrire de plusieurs façons, et chaque écriture révèle une information que les autres cachent. Apprendre le second degré, c'est apprendre à réécrire.

La trajectoire du ballon est une parabole : la courbe de $x^2$ retournée, aplatie et déplacée. Son point culminant, le sommet $S(2\;;\,2)$, est posé sur un axe de symétrie vertical : le ballon retombe en $x = 4$, symétrique de son départ.

Le vocabulaire de départ, tu l'as déjà croisé en Seconde :

DÉFINITION

Une fonction polynôme du second degré (on dit aussi un trinôme) est une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax^2 + bx + c$, où $a$, $b$, $c$ sont des réels et $a \neq 0$.

Sa courbe est une parabole : tournée vers le haut si $a > 0$, vers le bas si $a < 0$.

Ici, $h(x) = -0{,}5x^2 + 2x$ : $a = -0{,}5$, $b = 2$, $c = 0$. Le $a$ est négatif, la parabole regarde vers le bas — le ballon retombe. Reste à faire parler cette écriture. Direction le sommet.

2. Attrape le sommet : la forme canonique

Toute parabole, c'est la courbe de $x^2$ étirée par $a$, puis déplacée pour poser son sommet où il faut. Vérifie-le toi-même : attrape le sommet, déplace-le, écrase ou retourne la parabole avec le curseur $a$ — et regarde les deux écritures de la fonction se réécrire en direct.

f(x) = −0,5 (x − 2)² + 2

= −0,5 x² + 2 x

S = (2 ; 2) a < 0 — la parabole est tournée vers le bas

POURQUOI ?

Pourquoi ces deux écritures décrivent-elles la même fonction ? Développe la première : $a(x - \alpha)^2 + \beta = ax^2 - 2a\alpha\,x + a\alpha^2 + \beta$. C'est bien un trinôme, avec $b = -2a\alpha$. Retourne cette égalité : $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$. Autrement dit, toute forme développée cache une écriture avec le sommet — et on sait toujours retrouver où il est.

Ce que tu viens de faire avec la main, voilà comment on l'écrit.

DÉFINITION

Tout trinôme $f(x) = ax^2 + bx + c$ peut s'écrire sous la forme canonique $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$, où $S(\alpha\;;\,\beta)$ est le sommet de la parabole.

$$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta \qquad \text{avec} \quad \alpha = -\dfrac{b}{2a} \ \text{ et } \ \beta = f(\alpha)$$

PROPRIÉTÉ — SYMÉTRIE ET VARIATIONS

La parabole est symétrique par rapport à la droite verticale $x = \alpha$, qui passe par le sommet.

Si $a > 0$, $f$ est décroissante sur $\left]-\infty\;;\,\alpha\right]$ puis croissante sur $\left[\alpha\;;\,+\infty\right[$ : le sommet est un creux, $f$ admet un minimum égal à $\beta$, atteint en $\alpha$.

Si $a < 0$, c'est l'inverse : le sommet est un toit, $f$ admet un maximum égal à $\beta$, atteint en $\alpha$.

TABLEAU DE VARIATIONS — a > 0 un creux : minimum β en α

−∞

+∞

TABLEAU DE VARIATIONS — a < 0 un toit : maximum β en α

−∞

+∞

MÉTHODE — TROUVER LE SOMMET (ET LA FORME CANONIQUE)

1.Calcule $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ — attention aux signes de $b$ et de $a$.

2.Calcule $\beta = f(\alpha)$ : la valeur de la fonction au sommet.

3.Écris $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ — et vérifie en développant de tête.

EXEMPLE RÉSOLU — LE TRINÔME QUI VA NOUS SUIVRE

Mets $f(x) = x^2 - 2x - 3$ sous forme canonique et donne son sommet.

Étape 1 — $a = 1$, $b = -2$ : $\alpha = -\dfrac{-2}{2 \times 1} = 1$.

Étape 2 — $\beta = f(1) = 1 - 2 - 3 = -4$.

Étape 3 — $f(x) = (x - 1)^2 - 4$. Vérification : $(x-1)^2 - 4 = x^2 - 2x + 1 - 4 = x^2 - 2x - 3$. ✓

Conclusion : sommet $S(1\;;\,-4)$, et comme $a = 1 > 0$, c'est un minimum. Retiens ce trinôme : il va nous accompagner tout le chapitre.

À RETENIR

Le sommet : $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$, puis $\beta = f(\alpha)$. La forme canonique est la carte d'identité de la parabole : $a$ donne l'allure, $(\alpha\;;\,\beta)$ la position.

Q1Le sommet de la parabole de $f(x) = 2(x - 3)^2 + 1$ est…

Q2$f(x) = -2(x + 1)^2 + 5$. La fonction $f$ admet…

Q3Pour mettre $x^2 - 6x + 5$ sous forme canonique, on commence par calculer…

3. Combien de racines ? Le discriminant

Deuxième vraie question : où la courbe traverse-t-elle l'axe des abscisses ? Pour le ballon, c'est « où retombe-t-il ? » — autrement dit, résoudre $f(x) = 0$. Les solutions s'appellent les racines du trinôme. Et selon la position de la parabole, il peut y en avoir deux, une seule… ou aucune. Fais-le toi-même : monte et descends la parabole, et regarde les racines se rapprocher, fusionner, disparaître.

Le nombre qui décide du destin, tu viens de le voir vivre. Voici son nom.

DÉFINITION

Le discriminant du trinôme $ax^2 + bx + c$ est le nombre $\Delta = b^2 - 4ac$.

PROPRIÉTÉ — LES RACINES DE $ax^2 + bx + c = 0$

Si $\Delta > 0$, l'équation a deux solutions :

$$x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \qquad x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$

Si $\Delta = 0$, une seule solution, dite racine double : $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$.

Si $\Delta < 0$, aucune solution réelle.

POURQUOI ?

D'où sort ce $\Delta$ ? De la forme canonique. Résoudre $f(x) = 0$, c'est résoudre $a(x - \alpha)^2 + \beta = 0$, c'est-à-dire $(x - \alpha)^2 = -\dfrac{\beta}{a}$ — et un calcul (que tu peux mener : développe et simplifie) montre que ce membre de droite vaut exactement $\dfrac{\Delta}{4a^2}$. Or un carré n'est jamais négatif : si $\Delta < 0$, impasse ; si $\Delta = 0$, l'unique solution est le sommet posé sur l'axe, $x_0 = \alpha$ ; si $\Delta > 0$, deux solutions, symétriques de part et d'autre de $\alpha$. Voilà pourquoi le $-\dfrac{b}{2a}$ du sommet réapparaît au cœur des formules.

MÉTHODE — RÉSOUDRE UNE ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ

1.Mets l'équation sous la forme $ax^2 + bx + c = 0$, et identifie $a$, $b$, $c$ avec leurs signes.

2.Calcule $\Delta = b^2 - 4ac$ et lis son signe : il donne le nombre de solutions.

3.Applique les formules — puis contrôle : les deux racines doivent être symétriques autour de $-\dfrac{b}{2a}$.

EXEMPLES RÉSOLUS — LES TROIS CAS

a. Résous $x^2 - 2x - 3 = 0$.

Étape 1 — $a = 1$, $b = -2$, $c = -3$ : $\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-3) = 4 + 12 = 16 > 0$. Deux solutions.

Étape 2 — $\sqrt{\Delta} = 4$ : $x_1 = \dfrac{2 - 4}{2} = -1$ et $x_2 = \dfrac{2 + 4}{2} = 3$.

Les racines $-1$ et $3$ sont bien symétriques autour de $\alpha = 1$ : c'est notre trinôme de la section 2, dont le sommet $S(1\;;\,-4)$ plonge sous l'axe — il fallait deux racines.

b. Résous $9x^2 - 6x + 1 = 0$.

Calcul — $\Delta = 36 - 36 = 0$ : racine double $x_0 = \dfrac{6}{18} = \dfrac{1}{3}$.

Le sommet est posé exactement sur l'axe. D'ailleurs $9x^2 - 6x + 1 = (3x - 1)^2$ : un carré parfait.

c. Résous $x^2 + x + 3 = 0$.

Calcul — $\Delta = 1 - 12 = -11 < 0$ : aucune solution.

La parabole flotte entièrement au-dessus de l'axe. On n'écrit pas $\sqrt{-11}$ : on s'arrête au signe de $\Delta$.

Un mot d'honnêteté avant de dégainer $\Delta$ partout : certaines équations se résolvent plus vite sans lui — $x^2 = 9$, un produit déjà factorisé, une identité remarquable. L'exercice 07 t'entraîne à repérer ces raccourcis : à l'épreuve sans calculatrice, ils valent de l'or.

Q1Le discriminant de $ax^2 + bx + c$, c'est…

Q2L'équation $x^2 + 6x + 9 = 0$ a…

Q3Si $\Delta < 0$, alors la parabole…

4. Factoriser et lire le signe

Reprends notre trinôme fétiche : $x^2 - 2x - 3$, racines $-1$ et $3$. Calcule $(x + 1)(x - 3)$ : tu retombes exactement dessus. Ce n'est pas un hasard — connaître les racines, c'est pouvoir factoriser. Et la forme factorisée est la troisième écriture du trinôme, celle qui montre les racines… et, tu vas le voir, le signe.

PROPRIÉTÉ — LA FORME FACTORISÉE

Si $\Delta > 0$, avec $x_1$ et $x_2$ les deux racines : $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$.

Si $\Delta = 0$, avec $x_0$ la racine double : $f(x) = a(x - x_0)^2$.

Si $\Delta < 0$ : pas de racine, pas de factorisation (en facteurs du premier degré).

MÉTHODE — FACTORISER UN TRINÔME

1.Trouve les racines — par $\Delta$, ou de tête quand l'équation est évidente.

2.Écris $a(x - x_1)(x - x_2)$. Le $a$ devant est obligatoire : sans lui, tu factorises un autre trinôme.

3.Vérifie : développe de tête, ou compare $f(0)$ avec le $c$ attendu.

EXEMPLE RÉSOLU — AVEC LE a DEVANT

Factorise $f(x) = 2x^2 - 5x + 2$.

Étape 1 — $\Delta = 25 - 16 = 9$, $\sqrt{\Delta} = 3$ : $x_1 = \dfrac{5 - 3}{4} = \dfrac{1}{2}$ et $x_2 = \dfrac{5 + 3}{4} = 2$.

Étape 2 — $f(x) = 2\left(x - \dfrac{1}{2}\right)(x - 2)$.

Étape 3 — en absorbant le 2 dans la première parenthèse : $f(x) = (2x - 1)(x - 2)$. Contrôle : $f(0) = (-1) \times (-2) = 2$. ✓

Conclusion : sans le facteur $2$, on aurait factorisé $x^2 - \dfrac{5}{2}x + 1$… qui n'est pas $f$.

La forme factorisée a un second super-pouvoir : le signe du trinôme — savoir où $f(x)$ est positif, négatif, nul. C'est LA compétence qui servira toute l'année (signe de la dérivée, tableaux de variations…). Joue d'abord : déplace les racines, retourne la parabole avec le curseur $a$, et regarde le tableau de signes se remplir tout seul.

f(x) = (x + 1)(x − 3)

x₁ = −1 x₂ = 3 a > 0 — positif à l'extérieur des racines

PROPRIÉTÉ — LE SIGNE DU TRINÔME

Si $\Delta > 0$ : le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, du signe opposé entre elles, nul aux racines.

Si $\Delta = 0$ : du signe de $a$ partout, nul en $x_0$.

Si $\Delta < 0$ : du signe de $a$ partout, jamais nul.

Et si tu préfères le raisonnement au par-cœur : avec la forme factorisée, c'est le tableau de signes d'un produit, exactement comme au chapitre sur la dérivation. Sur notre trinôme fétiche :

TABLEAU DE SIGNES f(x) = (x + 1)(x − 3)

−∞

−1

+∞

x + 1

−

x − 3

−

f(x)

−

À RETENIR

À l'extérieur des racines, le trinôme a le signe de $a$ ; entre elles, le signe opposé. Pas de racine ? Toujours le signe de $a$.

Q1$2x^2 - 2x - 12$ a pour racines $-2$ et $3$. Sa forme factorisée est…

Q2$x^2 - 5x + 4$ a pour racines $1$ et $4$. Il est négatif…

Q3Un trinôme a $\Delta < 0$ et $a < 0$. Alors il est…

5. Résoudre une inéquation (avec la bonne écriture)

Dernière compétence, celle qui rapporte le plus au bac : les inéquations du second degré — « pour quels $x$ a-t-on $f(x) \geq 0$ ? ». Avant la méthode, un test. Résous de tête : $x^2 < 9$. Si tu as pensé « $x < 3$ », ce paragraphe est écrit pour toi — et tu verras dans deux minutes ce qui cloche.

Pour bien résoudre, il faut d'abord savoir lire une parabole dans toutes ses écritures. Muscle ton œil : une seule des trois écritures correspond à la courbe tracée.

Cette parabole, c'est celle de…

MÉTHODE — RÉSOUDRE UNE INÉQUATION DU SECOND DEGRÉ

1.Ramène tout d'un seul côté : $f(x) \geq 0$ (ou $\leq$, $<$, $>$), avec $0$ de l'autre.

2.Cherche les racines de $f$.

3.Dresse le tableau de signes — ou dessine la parabole dans ta tête, c'est le même geste.

4.Lis l'ensemble des solutions : bornes incluses si l'inégalité est large, racines exclues si elle est stricte.

EXEMPLES RÉSOLUS — LE TEST DU DÉBUT, ET UN a NÉGATIF

a. Résous $x^2 < 9$.

Étape 1 — tout à gauche : $x^2 - 9 < 0$. Racines de $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ : $-3$ et $3$.

Étape 2 — $a = 1 > 0$ : négatif entre les racines.

Conclusion : $S = \left]-3\;;\,3\right[$. La réponse « $x < 3$ » oublie tout le côté gauche de la parabole : $x = -10$ vérifie $x < 3$, mais $(-10)^2 = 100$, pas vraiment inférieur à 9.

b. Résous $-x^2 + 2x + 3 \geq 0$.

Étape 1 — racines : $\Delta = 4 + 12 = 16$, $x = \dfrac{-2 \pm 4}{-2}$, soit $-1$ et $3$.

Étape 2 — $a = -1 < 0$ : le trinôme est positif entre ses racines (signe opposé à $a$ entre elles).

Conclusion : $S = \left[-1\;;\,3\right]$, bornes incluses car l'inégalité est large. Pas besoin de multiplier par $-1$ : la règle du signe gère le $a$ négatif toute seule.

Il te reste à choisir la bonne arme au bon moment. C'est le résumé le plus utile du chapitre :

LA BONNE ÉCRITURE POUR LA BONNE QUESTION un seul trinôme, trois costumes

écriture	ce qu'elle montre	la question qu'elle règle
$ax^2 + bx + c$ (développée)	$c = f(0)$, et $a$, $b$, $c$ pour $\Delta$	calculer, dériver, lancer le discriminant
$a(x - \alpha)^2 + \beta$ (canonique)	le sommet $S(\alpha\;;\,\beta)$	extremum, variations, symétrie
$a(x - x_1)(x - x_2)$ (factorisée)	les racines $x_1$, $x_2$	équations $f(x)=0$, signe, inéquations

Q1L'ensemble des solutions de $x^2 \leq 16$ est…

Q2L'inéquation $-2(x - 1)(x - 5) \geq 0$ a pour solutions…

Q3Pour lire directement le sommet d'une parabole, la meilleure écriture est…

Q4$x^2 + 3x + 7 > 0$, avec $\Delta = 9 - 28 < 0$. Les solutions sont…

LES PIÈGES CLASSIQUES

Oublier de regarder le signe de $a$. L'allure de la parabole, le sens de l'extremum, le signe « à l'extérieur des racines » : tout dépend de $a$. Un trinôme avec $a < 0$ est négatif à l'extérieur de ses racines — pas positif.

Lire le sommet avec le mauvais signe. Le sommet de $(x + 3)^2 - 1$ est en $x = -3$ — la valeur qui annule la parenthèse — pas en $3$. Le $\alpha$ de la forme canonique se lit « à l'envers » du signe affiché.

Diviser par $x$. Passer de $x^2 = 5x$ à $x = 5$, c'est perdre la racine $x = 0$. On ne divise jamais par une expression qui peut être nulle : on met tout d'un côté et on factorise : $x(x - 5) = 0$.

Résoudre $x^2 < 9$ comme du premier degré. « $x < 3$ » oublie toute la branche gauche de la parabole : les solutions sont $\left]-3\;;\,3\right[$. Une inéquation du second degré passe par un tableau de signes, jamais par une racine carrée appliquée à la va-vite.

Confondre « pas de racine » et « pas de solution ». $\Delta < 0$ dit seulement que la parabole ne traverse pas l'axe. Le trinôme garde alors un signe constant (celui de $a$) : une inéquation peut très bien être vraie pour tous les réels — ou aucun.

L'ESSENTIEL EN 5 LIGNES

TRINÔME

$f(x) = ax^2 + bx + c$, avec $a \neq 0$ ; courbe : une parabole, vers le haut si $a > 0$, vers le bas si $a < 0$.

SOMMET

Forme canonique $a(x - \alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$, $\beta = f(\alpha)$ ; axe de symétrie $x = \alpha$, extremum $\beta$.

RACINES

$\Delta = b^2 - 4ac$. Si $\Delta > 0$ : $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ ; si $\Delta = 0$ : $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ ; si $\Delta < 0$ : aucune.

FACTORISER

$a(x - x_1)(x - x_2)$ si $\Delta > 0$ ; $a(x - x_0)^2$ si $\Delta = 0$ ; impossible si $\Delta < 0$. Le $a$ devant, toujours.

SIGNE

Signe de $a$ à l'extérieur des racines, opposé entre elles ; si $\Delta < 0$, toujours le signe de $a$. C'est la clé des inéquations.

Exercices

15 corrigés

Commence par le niveau 1. Cherche vraiment avant d'ouvrir le corrigé — c'est là que ça rentre. Les exercices suivent l'ordre du cours : lecture d'un trinôme, forme canonique et variations, équations et discriminant, factorisation, signe, inéquations — et un problème pour finir.

EXERCICE 01 · lire un trinôme niveau 1

Pour chaque fonction, dis si c'est une fonction polynôme du second degré ; si oui, donne $a$, $b$, $c$ et le sens de la parabole : a. $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ ; b. $g(x) = 5 - x^2$ ; c. $h(x) = 3x + 1$ ; d. $k(x) = (x - 1)(x + 4)$.

EXERCICE 02 · lire la forme canonique niveau 1

Donne le sommet et le sens de chaque parabole : a. $f(x) = (x - 3)^2 + 1$ ; b. $g(x) = 2(x + 1)^2 - 5$ ; c. $h(x) = -(x - 2)^2 + 4$. Puis : laquelle de ces fonctions admet un maximum, et lequel ?

EXERCICE 03 · forme canonique niveau 2

Mets sous forme canonique : a. $f(x) = x^2 - 6x + 5$ ; b. $g(x) = 2x^2 + 4x - 1$.

EXERCICE 04 · variations niveau 2

Soit $f(x) = -2(x - 1)^2 + 8$. a. Donne le sommet et le sens de la parabole. b. Dresse le tableau de variations de $f$. c. $f$ admet-elle un maximum ou un minimum ? Précise-le. d. Résous $f(x) = 8$.

EXERCICE 05 · discriminant niveau 1

Calcule $\Delta$ et donne le nombre de solutions (sans les calculer) : a. $x^2 - 3x + 2 = 0$ ; b. $4x^2 + 4x + 1 = 0$ ; c. $2x^2 + x + 3 = 0$.

EXERCICE 06 · équations niveau 2

Résous dans $\mathbb{R}$ : a. $x^2 - 2x - 3 = 0$ ; b. $2x^2 - 5x + 2 = 0$ ; c. $x^2 + 3x + 5 = 0$.

EXERCICE 07 · équations sans Δ niveau 2

Résous sans calculer de discriminant : a. $x^2 = 5x$ ; b. $(3x - 2)(x + 5) = 0$ ; c. $x^2 - 49 = 0$ ; d. $x^2 + 1 = 0$.

EXERCICE 08 · factorisation niveau 2

Factorise quand c'est possible : a. $x^2 - 2x - 3$ ; b. $-x^2 + 4x - 4$ ; c. $x^2 + x + 1$.

EXERCICE 09 · tableau de signes niveau 2

Dresse le tableau de signes : a. $f(x) = x^2 - 5x + 4$ ; b. $g(x) = -x^2 + 6x - 9$.

EXERCICE 10 · inéquations niveau 2

Résous dans $\mathbb{R}$ : a. $x^2 - 5x + 4 \leq 0$ ; b. $x^2 + x + 2 > 0$.

EXERCICE 11 · inéquations pièges niveau 2

Résous dans $\mathbb{R}$ : a. $x^2 \geq 25$ ; b. $3x^2 < 2x$.

EXERCICE 12 · paramètre niveau 3

On considère l'équation $x^2 + mx + 9 = 0$, où $m$ est un réel. a. Pour quelles valeurs de $m$ l'équation admet-elle une racine double ? b. Résous l'équation pour $m = 10$. c. Pour quelles valeurs de $m$ n'a-t-elle aucune solution ?

EXERCICE 13 · position relative niveau 3

Dans un repère, on trace la parabole $\mathcal{P} : y = x^2 - 2x + 3$ et la droite $\mathcal{D} : y = x + 1$. a. Calcule la différence $d(x) = (x^2 - 2x + 3) - (x + 1)$. b. Étudie le signe de $d(x)$. c. Conclus sur les positions relatives de $\mathcal{P}$ et $\mathcal{D}$.

EXERCICE 14 · problème niveau 3

Retour au terrain : ta passe lobée suit la trajectoire $h(x) = -0{,}5x^2 + 2x$ (hauteur en mètres, à $x$ mètres du départ). a. Montre que $h(x) = -0{,}5(x - 2)^2 + 2$. b. Quelle hauteur maximale le ballon atteint-il, et à quelle distance de toi ? c. À quelle distance retombe-t-il au sol ? d. Le défenseur, à $1$ m de toi, peut toucher le ballon jusqu'à $1{,}40$ m du sol : ta passe passe-t-elle ? e. Sur quelle distance le ballon vole-t-il à plus de $1{,}50$ m ?

VERS LE BAC — EXERCICE 15 ≈ 45 MIN · SANS CALCULATRICE

Partie A : étude complète d'un trinôme. Partie B : une entreprise fabrique et vend $x$ objets par jour ($0 \leq x \leq 60$) ; son bénéfice quotidien, en euros, est modélisé par $B(x) = -2x^2 + 120x - 1000$.

PARTIE A

Soit $f(x) = 2x^2 - 8x + 6$. Montre que $f(x) = 2(x - 2)^2 - 2$.
Déduis-en le tableau de variations de $f$ et son extremum.
Résous $f(x) = 0$ (la forme canonique peut t'éviter le discriminant).
Écris $f(x)$ sous forme factorisée, puis résous $f(x) \leq 0$.

PARTIE B

Calcule $B(0)$ et interprète ce résultat.
Montre que $B(x) = -2(x - 30)^2 + 800$. Déduis-en le bénéfice maximal et la production correspondante.
Détermine pour quelles productions l'entreprise est rentable, c'est-à-dire $B(x) \geq 0$.

CHAPITRE SUIVANT

La géométrie repérée

Un point pas clair ? Écris-moi.

écriture	ce qu'elle montre	la question qu'elle règle
\(ax^2 + bx + c\) (développée)	\(c = f(0)\), et \(a\), \(b\), \(c\) pour \(\Delta\)	calculer, dériver, lancer le discriminant
\(a(x - \alpha)^2 + \beta\) (canonique)	le sommet \(S(\alpha\;;\,\beta)\)	extremum, variations, symétrie
\(a(x - x_1)(x - x_2)\) (factorisée)	les racines \(x_1\), \(x_2\)	équations \(f(x)=0\), signe, inéquations