CE QUE TU DOIS SAVOIR FAIRE — trouver une équation de droite avec un point et un vecteur normal, calculer le projeté orthogonal d'un point sur une droite et la distance qui va avec, écrire et reconnaître l'équation d'un cercle — et caractériser le cercle de diamètre [AB] par le produit scalaire.
≈ 60 min de travail · 15 exercices corrigés · mis à jour juillet 2026
SOMMAIRE ▾
1. La ville en coordonnées
Ouvre le plan de ta ville sur ton téléphone. « Vous êtes à 350 m de l'avenue. » « Réseau disponible à moins de 2 km de l'antenne. » Le téléphone ne voit rien : pour lui, la ville n'est qu'un repère, et toi, l'avenue, l'antenne — des coordonnées. Comment fait-il alors pour savoir où est la rue tout entière, et à quelle distance tu en es ?
Voilà le programme du chapitre : décrire une figure entière — une droite, un cercle — par une seule équation sur les coordonnées, puis mesurer des distances qui ne suivent pas les axes. Les outils, tu les as déjà : le repère orthonormé de Seconde, et le détecteur d'angle droit du chapitre précédent — le produit scalaire. Ce chapitre les branche l'un sur l'autre.
Une rue, un point A de la rue, et une flèche plantée perpendiculairement — l'équerre en témoigne. Ce trio suffit à mettre la rue en équation : c'est le graphique de la section 2, figé à son état de départ.
Une seule formule de Seconde à réveiller avant de commencer : la distance entre deux points d'un repère orthonormé — Pythagore en coordonnées. C'est elle qui travaillera à chaque section :
$$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$
2. Le vecteur qui commande la droite
En Seconde, tu décrivais une droite par sa pente : \(y = mx + p\). Voici une commande plus puissante : un point A, et une flèche perpendiculaire à la droite. Fais-le toi-même : attrape le bout de \(\vec n\) et fais-le tourner autour de A. La droite suit, toujours à angle droit — et regarde l'équation juste en dessous se réécrire. Que reconnais-tu dans les coefficients de \(x\) et de \(y\) ? Essaie aussi de rendre la droite verticale, puis horizontale.
Les coefficients de x et de y, lus dans l'ordre, sont exactement les coordonnées de n. Tourne n : l'équation suit.
A = (1 ; 1) est fixé, l'extrémité de n s'aimante aux nœuds de la grille : tous les coefficients restent entiers. La deuxième ligne remplace x et y par les coordonnées de A — elle retombe sur 0 à chaque fois. Clavier : flèches gauche/droite pour la première coordonnée de n, haut/bas pour la seconde.
Ce que tu viens de faire avec la main, voilà comment on l'écrit.
DÉFINITION
Un vecteur normal à une droite \(d\) est un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de \(d\) — une flèche perpendiculaire à la direction de \(d\).
Une droite a une infinité de vecteurs normaux : tous colinéaires entre eux. N'importe lequel suffit à la décrire.
Et le lien avec l'équation, que le graphique t'a fait toucher du doigt : les coefficients de \(x\) et de \(y\) sont un vecteur normal. Retiens l'aller-retour — l'équation à gauche, sa flèche à droite :
$$d \;:\; ax + by + c = 0 \qquad\qquad \vec n\,(a\;;\, b)$$
POURQUOI ?
D'où sort cette équation ? Prends un point \(M(x\;;\, y)\) quelconque. M est sur \(d\) exactement quand \(\overrightarrow{AM}\) est orthogonal à \(\vec n\) — c'est-à-dire quand \(\vec n \cdot \overrightarrow{AM} = 0\) : le détecteur d'angle droit du chapitre précédent. Avec \(\vec n\,(a\;;\, b)\) et \(\overrightarrow{AM}\,(x - x_A\;;\, y - y_A)\), ce produit scalaire s'écrit \(a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0\). Développe : \(ax + by + c = 0\), avec \(c = -(ax_A + by_A)\). Une droite, c'est une équation — et ses coefficients, une flèche perpendiculaire.
PROPRIÉTÉ — LIRE UNE ÉQUATION CARTÉSIENNE
Toute droite du plan admet une équation de la forme \(ax + by + c = 0\), avec \(a\) et \(b\) non tous les deux nuls. Sur cette équation se lisent : un vecteur normal \(\vec n\,(a\;;\, b)\), et un vecteur directeur \(\vec u\,(-b\;;\, a)\) — celui de Seconde.
Deux droites sont parallèles quand leurs vecteurs normaux sont colinéaires, perpendiculaires quand leurs vecteurs normaux sont orthogonaux — produit scalaire nul, comme toujours.
MÉTHODE — TROUVER UNE ÉQUATION AVEC UN POINT ET UN VECTEUR NORMAL
1.Recopie \(\vec n\,(a\;;\, b)\) dans les coefficients : l'équation est \(ax + by + c = 0\), il ne manque que \(c\).
2.Remplace \(x\) et \(y\) par les coordonnées du point connu, et résous pour trouver \(c\).
3.Contrôle : les coordonnées du point doivent vérifier l'équation finale — sinon, une erreur de signe s'est glissée.
EXEMPLE RÉSOLU — LA MÉTHODE EN ACTION
Détermine une équation de la droite \(d\) passant par \(A(-1\;;\, 2)\), de vecteur normal \(\vec n\,(2\;;\, -3)\).
Étape 1 — Les coefficients sont ceux de \(\vec n\) : \(d : 2x - 3y + c = 0\).
Étape 2 — A est sur \(d\) : \(2 \times (-1) - 3 \times 2 + c = 0\), soit \(-8 + c = 0\), donc \(c = 8\).
Conclusion : \(d : 2x - 3y + 8 = 0\). Un point, une flèche perpendiculaire — et toute la droite est décrite.
À RETENIR
Dans \(ax + by + c = 0\), les coefficients de \(x\) et de \(y\), lus dans l'ordre, sont les coordonnées d'un vecteur normal.
TESTE-TOITrois questions, trente secondes
Q1Un vecteur normal à la droite d'équation \(3x - 2y + 7 = 0\) est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — les coefficients, dans l'ordre et avec leurs signes : \((3\;;\, -2)\). Le couple \((2\;;\, 3)\), c'est le vecteur directeur \((-b\;;\, a)\) — l'autre flèche, celle qui suit la droite au lieu de la traverser.
Q2La droite passant par \(A(1\;;\, 2)\), de vecteur normal \(\vec n\,(2\;;\, 1)\), a pour équation…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — \(2x + y + c = 0\) et \(2 \times 1 + 2 + c = 0\) donnent \(c = -4\). La troisième équation passe bien par A, mais son vecteur normal est \((1\;;\, 2)\) : pas le bon. Vérifie toujours les deux : le point et la flèche.
Q3La droite verticale d'équation \(x = 5\) a pour vecteur normal…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — \(x = 5\), c'est \(1x + 0y - 5 = 0\) : normal \((1\;;\, 0)\), horizontal — perpendiculaire à une droite verticale, logique. C'est la force de l'équation cartésienne : elle décrit toutes les droites, verticales comprises, là où \(y = mx + p\) cale.
3. Le projeté orthogonal : la vraie distance
Reviens au plan de la ville. « À 350 m de l'avenue », dit l'application. 350 mètres comment ? Pas le long d'un chemin quelconque : la distance entre toi et la rue, c'est celle du chemin le plus court. Et le chemin le plus court vers une droite, tu vas le voir, arrive toujours à angle droit.
Promène M et compare les deux chemins : la verticale grise, tentante, et le segment [MH], perpendiculaire à \(d\). Lequel est le plus court, toujours ? Trouve aussi les positions où M tombe pile sur \(d\).
INTERACTIFLa distance la plus courte
H = (2,72 ; 0,96)
distance de M à d : MH = 3,80
M = (5 ; 4)MH = 3,80verticale = 4,75
La verticale grise a l'air directe, mais elle est toujours plus longue : la distance d'un point à une droite se mesure à angle droit, le long de [MH].
La droite d : 3x + 4y − 12 = 0 est fixée, M s'aimante aux nœuds de la grille. H est le projeté orthogonal de M sur d ; l'équerre marque l'angle droit. Clavier : flèches gauche/droite pour l'abscisse de M, haut/bas pour l'ordonnée.
DÉFINITION
Le projeté orthogonal d'un point M sur une droite \(d\) est le point d'intersection H de \(d\) et de la perpendiculaire à \(d\) passant par M — le pied de la perpendiculaire.
Si M est sur \(d\), son projeté orthogonal est M lui-même.
PROPRIÉTÉ — LE POINT LE PLUS PROCHE
H est le point de \(d\) le plus proche de M. La distance de M à la droite \(d\) est donc la longueur MH — mesurée le long de la perpendiculaire, jamais autrement.
POURQUOI ?
Prends n'importe quel autre point P sur \(d\). Le triangle MHP est rectangle en H, et Pythagore donne \(MP^2 = MH^2 + HP^2\). Dès que P n'est pas H, \(HP^2 > 0\), donc \(MP > MH\) : tout autre point de \(d\) est strictement plus loin. La perpendiculaire gagne toujours — la verticale grise du graphique ne fait pas exception.
MÉTHODE — CALCULER LES COORDONNÉES DE H
1.Écris l'équation de la perpendiculaire \(\Delta\) à \(d\) passant par M : son vecteur normal est un vecteur directeur de \(d\) — prends \(\vec u\,(-b\;;\, a)\) — et M fournit le \(c\), comme à la section 2.
2.Résous le système formé par les équations de \(d\) et de \(\Delta\), par substitution : la solution est le couple des coordonnées de H.
3.Si l'énoncé demande la distance de M à \(d\), calcule MH avec la formule de la section 1 — et vérifie au passage que H vérifie bien les deux équations.
EXEMPLE RÉSOLU — LA MÉTHODE EN ACTION
Soit \(d : 2x + y - 4 = 0\) et \(M(3\;;\, 3)\). Calcule les coordonnées du projeté orthogonal H de M sur \(d\), puis la distance de M à \(d\).
Étape 1 — Vecteur directeur de \(d\) : \(\vec u\,(-1\;;\, 2)\). C'est le vecteur normal de \(\Delta\) : \(\Delta : -x + 2y + c = 0\), et avec M : \(-3 + 6 + c = 0\), donc \(c = -3\). Ainsi \(\Delta : -x + 2y - 3 = 0\).
Étape 2 — Système : \(2x + y = 4\) et \(-x + 2y = 3\). La seconde donne \(x = 2y - 3\) ; dans la première : \(2(2y - 3) + y = 4\), soit \(5y = 10\), donc \(y = 2\) et \(x = 1\). Ainsi \(H(1\;;\, 2)\) — qui vérifie bien les deux équations.
Conclusion : \(H(1\;;\, 2)\), et la distance de M à \(d\) vaut \(\sqrt{5}\). Le mot « distance » cache toujours un projeté orthogonal.
TESTE-TOIEncore trois sur le projeté
Q1Le projeté orthogonal H de M sur une droite \(d\), c'est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — le pied de la perpendiculaire est le point de \(d\) le plus proche de M — Pythagore l'impose. « Juste en dessous », c'est la verticale grise du graphique : presque toujours plus longue.
Q2Le segment [MH] est toujours porté par…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — [MH] est perpendiculaire à \(d\) : il suit un vecteur normal. C'est d'ailleurs la méthode : la perpendiculaire \(\Delta\) a pour vecteur normal un vecteur directeur de \(d\) — les deux flèches échangent leurs rôles.
Q3La distance de \(M(5\;;\, 6)\) à la droite d'équation \(y = 2\) vaut…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — la droite est horizontale, la perpendiculaire est donc verticale : \(H(5\;;\, 2)\) et \(MH = 6 - 2 = 4\). Répondre 6, c'est confondre distance à la droite et ordonnée de M.
4. Le cercle mis en équation
L'antenne, maintenant. « Réseau disponible à moins de 2 km » : la zone couverte est un disque, et sa frontière un cercle — l'ensemble de tous les points situés à exactement \(r\) du centre. Or « être à distance \(r\) de \(\Omega\) », depuis la section 1, tu sais l'écrire en coordonnées. L'équation du cercle va tomber toute seule.
Déplace le centre, règle le rayon, et regarde l'équation se réécrire — surveille surtout les signes dans les parenthèses. Puis relève le défi : fais passer le cercle par P. Il y a plusieurs façons d'y arriver.
INTERACTIFFais passer le cercle par P
(x + 1)² + (y − 1)² = 4
ΩP² = 4² + 1² = 17
rayon r
Ω = (−1 ; 1)r = 2ΩP² = 17 > 4 — P est dehors
ΩP² > r² : P est trop loin du centre, hors du cercle. Rapproche Ω, ou agrandis le rayon.
Le centre s'aimante aux nœuds et le rayon est entier : ΩP² et r² sont des entiers, la comparaison est exacte. Dans l'équation, remarque que les signes s'inversent : centre (−1 ; 1), parenthèses (x + 1) et (y − 1). Clavier : flèches pour déplacer Ω, curseur pour le rayon.
Ce que le graphique écrit à chaque déplacement, voilà d'où ça vient.
PROPRIÉTÉ — L'ÉQUATION D'UN CERCLE
Dans un repère orthonormé, le cercle de centre \(\Omega(a\;;\, b)\) et de rayon \(r\) est l'ensemble des points \(M(x\;;\, y)\) tels que \(\Omega M = r\), c'est-à-dire \(\Omega M^2 = r^2\) :
$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$
Un point appartient au cercle si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation.
POURQUOI ?
\(\Omega M = r\) et \(\Omega M^2 = r^2\), c'est la même condition — les deux nombres sont positifs. On élève au carré pour faire disparaître la racine carrée de la formule de distance : l'équation devient polynomiale, et tout ton calcul du chapitre second degré s'applique. C'est aussi pour ça que le rayon se cache au carré dans le membre de droite.
MÉTHODE — RECONNAÎTRE UN CERCLE DANS UNE ÉQUATION DÉVELOPPÉE
1.Regroupe les termes en \(x\) ensemble, les termes en \(y\) ensemble, la constante à droite. (Si \(x^2\) et \(y^2\) ont un coefficient commun, divise tout par ce coefficient d'abord.)
2.Mets chaque groupe sous forme canonique — le geste du chapitre second degré : \(x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9\).
3.Conclus selon le membre de droite : strictement positif → un cercle, de rayon sa racine carrée ; nul → un seul point ; négatif → aucun point du tout.
EXEMPLE RÉSOLU — RETROUVER CENTRE ET RAYON
L'équation \(x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0\) décrit-elle un cercle ? Si oui, lequel ?
Étape 3 — \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16\), et \(16 > 0\) : c'est un cercle.
Conclusion : cercle de centre \(\Omega(3\;;\, -2)\) et de rayon \(\sqrt{16} = 4\). Les signes du centre sont l'inverse de ceux des parenthèses — et le rayon n'est pas 16.
À RETENIR
Le centre se lit en inversant les signes — \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16\), c'est \(\Omega(3\;;\, -2)\) — et le rayon est la racine carrée du membre de droite : 4, pas 16.
TESTE-TOIQuatre questions sur les cercles
Q1Le cercle d'équation \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25\) a pour centre et rayon…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — le centre annule chaque parenthèse : \(x = 3\), \(y = -2\). Et le membre de droite est \(r^2\) : le rayon vaut \(\sqrt{25} = 5\). Les deux autres réponses sont les deux pièges du chapitre, réunis.
Q2Le cercle de centre \((0\;;\, 2)\) et de rayon 3 a pour équation…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — \((x - 0)^2 + (y - 2)^2 = 3^2\) : on soustrait les coordonnées du centre, et on élève le rayon au carré. Écrire \(= 3\), c'est décrire un cercle de rayon \(\sqrt{3}\) — pas le tien.
EXACT — la forme canonique donne \((x + 2)^2 + (y - 1)^2 = -1\), et une somme de carrés ne peut pas être négative : aucun point. Une équation qui ressemble à un cercle n'en est pas forcément un — vérifie toujours le membre de droite.
EXACT — remplace : \((4 - 1)^2 + (1 + 3)^2 = 9 + 16 = 25\) : l'équation est vérifiée, A est sur le cercle. « Appartient-il ? » se règle toujours en dix secondes : on remplace, on compare.
5. Le cercle de diamètre [AB]
Un dernier ensemble de points, le plus élégant. Prends deux points A et B. Un photographe veut cadrer la façade [AB] avec un objectif qui ouvre exactement à 90° : d'où peut-il se placer ? Autrement dit : où sont tous les points M d'où l'on voit [AB] sous un angle droit ? Ton détecteur d'angle droit connaît la réponse : ce sont les points où \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\).
Promène M : le produit scalaire se recalcule à chaque nœud. Chaque angle droit trouvé laisse une marque — trouves-en trois, et la figure qu'ils dessinent se révélera d'elle-même.
Promène M et cherche les positions d'où l'on voit [AB] sous un angle droit : produit nul. Il y en a plus d'une.
A = (−4 ; −1) et B = (4 ; 5) sont fixés, M s'aimante aux nœuds (sauf sur A et B) : le produit scalaire est entier partout. Le segment [AB] est en pointillé. Clavier : flèches gauche/droite pour l'abscisse de M, haut/bas pour l'ordonnée.
Ce que le graphique t'a fait découvrir, voilà son nom — et sa démonstration.
PROPRIÉTÉ — LA CARACTÉRISATION PAR LE PRODUIT SCALAIRE
Le cercle de diamètre [AB] est l'ensemble des points M tels que :
Il contient A et B (le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur) ; son centre est le milieu I de [AB], son rayon vaut \(\dfrac{AB}{2}\). Conséquence : un triangle AMB est rectangle en M exactement quand M est sur ce cercle — A et B exceptés.
POURQUOI ?
Trois lignes, avec I le milieu de [AB]. Décompose : \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}) \cdot (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB})\). Or \(\overrightarrow{IB} = -\overrightarrow{IA}\), et le développement donne \(MI^2 - IA^2\). Ce nombre est nul exactement quand \(MI = IA = \dfrac{AB}{2}\) : quand M est à distance \(\dfrac{AB}{2}\) du milieu, donc sur le cercle. Bonus : il est négatif quand \(MI\) est plus petit — M à l'intérieur — et positif à l'extérieur. Exactement ce que le graphique racontait.
MÉTHODE — L'ÉQUATION DU CERCLE DE DIAMÈTRE [AB]
1.Calcule le centre : I, milieu de [AB] — la moyenne des coordonnées.
2.Calcule le rayon : \(r = \dfrac{AB}{2}\), ou directement \(r^2 = IA^2\), souvent plus rapide.
3.Écris \((x - x_I)^2 + (y - y_I)^2 = r^2\), comme à la section 4. Autre route, sans milieu : développer \((x - x_A)(x - x_B) + (y - y_A)(y - y_B) = 0\) — c'est \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\) écrit en coordonnées.
EXEMPLES RÉSOLUS — LE CERCLE ET SON ANGLE DROIT
a. Détermine l'équation du cercle \(\Gamma\) de diamètre [AB], avec \(A(0\;;\, 1)\) et \(B(6\;;\, 9)\).
Étape 2 — Produit nul : C voit [AB] sous un angle droit, donc C est sur le cercle de diamètre [AB]. Vérification par l'équation : \((7 - 3)^2 + (2 - 5)^2 = 16 + 9 = 25\) : cohérent.
Conclusion : C est sur \(\Gamma\), et le triangle ABC est rectangle en C. Deux points de vue, une seule géométrie.
TESTE-TOITrois questions pour finir
Q1Soit M distinct de A et de B. M est sur le cercle de diamètre [AB] si et seulement si…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — voir [AB] sous un angle droit, c'est un produit scalaire nul. \(MA = MB\) décrit une autre figure : la médiatrice de [AB] — l'ensemble des points à égale distance de A et de B.
Q2Avec \(A(1\;;\, 3)\) et \(B(7\;;\, 3)\), le cercle de diamètre [AB] a pour…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — le centre est le milieu : \(\left(\frac{1+7}{2}\;;\, 3\right) = (4\;;\, 3)\), et \(AB = 6\) est le diamètre : le rayon vaut la moitié, 3. Donner 6 comme rayon, c'est oublier de diviser — l'erreur la plus fréquente de la section.
Q3Si \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} < 0\), alors M est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — le produit vaut \(MI^2 - r^2\) : négatif quand \(MI < r\), c'est-à-dire M à l'intérieur — de là, on voit [AB] sous un angle obtus. Tu l'as constaté en promenant M dans le graphique.
LES PIÈGES CLASSIQUES
Confondre vecteur normal et vecteur directeur. Dans \(ax + by + c = 0\), le couple \((a\;;\, b)\) est normal — perpendiculaire à la droite. Le vecteur directeur, c'est \((-b\;;\, a)\). Prendre l'un pour l'autre transforme chaque droite en sa perpendiculaire : tout le calcul déraille sans prévenir.
Lire le centre avec les signes de l'équation. \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9\) a pour centre \((2\;;\, -1)\), pas \((-2\;;\, 1)\) : le centre est ce qui annule chaque parenthèse. Au moindre doute, remplace — le centre doit donner \(0 + 0\).
Confondre \(r\) et \(r^2\). Le membre de droite de l'équation est le rayon au carré : \(= 9\) signifie un rayon de 3. Et si le membre de droite est négatif, ce n'est pas un cercle du tout — aucun point ne vérifie l'équation.
Mesurer la distance verticalement. La distance d'un point à une droite se mesure le long de la perpendiculaire — c'est MH, avec H le projeté orthogonal. La verticale est toujours plus longue, sauf si la droite est horizontale. Tu l'as vu chiffre contre chiffre à la section 3.
Croire que \(x^2 + y^2 + \ldots = 0\) est toujours un cercle. Forme canonique d'abord : selon le membre de droite, c'est un cercle, un point unique… ou rien. Une équation qui ressemble à un cercle n'en est pas une preuve.
L'ESSENTIEL EN 5 LIGNES
VECTEUR NORMAL
\(d : ax + by + c = 0\) a pour vecteur normal \(\vec n\,(a\;;\, b)\) — et pour vecteur directeur \(\vec u\,(-b\;;\, a)\).
DROITE PAR A ET n
M est sur \(d\) \(\iff \vec n \cdot \overrightarrow{AM} = 0\) : recopie \(\vec n\) dans les coefficients, puis trouve \(c\) avec le point A.
PROJETÉ
H, projeté orthogonal de M sur \(d\), est le point de \(d\) le plus proche de M ; la distance de M à \(d\) est MH.
CERCLE
Centre \(\Omega(a\;;\, b)\), rayon \(r\) : \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\) — et forme canonique pour reconnaître.
DIAMÈTRE [AB]
M est sur le cercle de diamètre [AB] \(\iff \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\) : l'angle droit voit le diamètre.
Exercices
15 corrigés
Commence par le niveau 1. Cherche vraiment avant d'ouvrir le corrigé — c'est là que ça rentre. Les exercices suivent l'ordre du cours : vecteur normal et équations de droites, projeté orthogonal, équations de cercles, cercle de diamètre [AB] — et des synthèses pour finir.
EXERCICE 01 · lire un vecteur normalniveau 1
Donne un vecteur normal de chaque droite : a. \(d_1 : 3x - 2y + 5 = 0\) ; b. \(d_2 : y = 2x + 1\) ; c. \(d_3 : x = 4\).
CORRIGÉ
a. — Les coefficients de \(x\) et de \(y\) : \(\vec n\,(3\;;\, -2)\).
b. — D'abord la forme cartésienne : \(y = 2x + 1\) s'écrit \(2x - y + 1 = 0\). Donc \(\vec n\,(2\;;\, -1)\).
c. — \(x = 4\), c'est \(1x + 0y - 4 = 0\) : \(\vec n\,(1\;;\, 0)\) — un vecteur horizontal, normal à une droite verticale.
Conclusion : tout multiple non nul convient aussi — \((6\;;\, -4)\) est un autre vecteur normal de \(d_1\). Une droite a une infinité de vecteurs normaux, tous colinéaires.
EXERCICE 02 · équation avec point et normaleniveau 1
a. Détermine une équation de la droite \(d\) passant par \(A(2\;;\, -1)\), de vecteur normal \(\vec n\,(3\;;\, 1)\). b. Le point \(B(1\;;\, 2)\) appartient-il à \(d\) ?
CORRIGÉ
a. — \(d : 3x + y + c = 0\), et A donne \(3 \times 2 + (-1) + c = 0\), soit \(c = -5\) : \(d : 3x + y - 5 = 0\).
b. — Remplace par les coordonnées de B : \(3 \times 1 + 2 - 5 = 0\). L'équation est vérifiée : oui, \(B \in d\).
Conclusion : « appartient-il ? » se règle toujours pareil — on remplace, on regarde si ça fait 0.
EXERCICE 03 · droite perpendiculaireniveau 2
Soit \(d : 2x - y + 3 = 0\). Détermine une équation de la droite \(\Delta\) perpendiculaire à \(d\) passant par \(A(1\;;\, 4)\).
CORRIGÉ
Étape 1 — \(\Delta\) est perpendiculaire à \(d\) : un vecteur normal de \(\Delta\) est un vecteur directeur de \(d\), soit \(\vec u\,(-b\;;\, a) = (1\;;\, 2)\).
Étape 2 — \(\Delta : x + 2y + c = 0\), et A donne \(1 + 2 \times 4 + c = 0\), soit \(c = -9\) : \(\Delta : x + 2y - 9 = 0\).
Conclusion : \(\Delta : x + 2y - 9 = 0\). Pour une perpendiculaire, les deux flèches échangent leurs rôles : le directeur de l'une est le normal de l'autre.
EXERCICE 04 · droite par deux pointsniveau 2
Détermine une équation cartésienne de la droite \((AB)\), avec \(A(1\;;\, 2)\) et \(B(3\;;\, 6)\).
CORRIGÉ
Étape 1 — \(\overrightarrow{AB}\,(2\;;\, 4)\) est un vecteur directeur de \((AB)\). Un vecteur normal doit lui être orthogonal : \(\vec n\,(4\;;\, -2)\) convient (produit scalaire \(2 \times 4 + 4 \times (-2) = 0\)), ou plus simple, \(\vec n\,(2\;;\, -1)\).
Étape 2 — \((AB) : 2x - y + c = 0\), et A donne \(2 \times 1 - 2 + c = 0\), soit \(c = 0\) : \((AB) : 2x - y = 0\).
Étape 3 — Contrôle avec B : \(2 \times 3 - 6 = 0\) : B est bien dessus.
Conclusion : \((AB) : 2x - y = 0\) — elle passe par l'origine, d'où l'absence de constante. Le raccourci à retenir : pour passer d'un directeur \((p\;;\, q)\) à un normal, échange les coordonnées et change un signe : \((q\;;\, -p)\).
EXERCICE 05 · projeté orthogonalniveau 2
Soit \(d : x - 2y + 4 = 0\) et \(M(3\;;\, 1)\). a. Calcule les coordonnées du projeté orthogonal H de M sur \(d\). b. Déduis-en la distance de M à \(d\).
CORRIGÉ
a. — Directeur de \(d\) : \(\vec u\,(2\;;\, 1)\), c'est le normal de la perpendiculaire \(\Delta\) passant par M : \(\Delta : 2x + y + c = 0\), avec \(2 \times 3 + 1 + c = 0\), donc \(c = -7\). Système : \(x - 2y = -4\) et \(2x + y = 7\). La première donne \(x = 2y - 4\) ; dans la seconde : \(2(2y - 4) + y = 7\), soit \(5y = 15\) : \(y = 3\), \(x = 2\). Donc \(H(2\;;\, 3)\) — qui vérifie bien les deux équations.
Conclusion : \(H(2\;;\, 3)\), distance \(\sqrt{5}\). Remarque le contrôle gratuit : \(\overrightarrow{MH}\,(-1\;;\, 2)\) est bien colinéaire au vecteur normal \((1\;;\, -2)\) de \(d\).
EXERCICE 06 · distance à une droiteniveau 2
Refais à la main ce que le graphique de la section 3 affichait : pour \(d : 3x + 4y - 12 = 0\) et \(M(5\;;\, 4)\), calcule H puis la distance de M à \(d\).
CORRIGÉ
Étape 1 — Directeur de \(d\) : \((-4\;;\, 3)\), donc \(\Delta : -4x + 3y + c = 0\), et M donne \(-20 + 12 + c = 0\), soit \(c = 8\) : \(\Delta : -4x + 3y + 8 = 0\).
Étape 2 — Système : \(3x + 4y = 12\) et \(-4x + 3y = -8\). De la seconde : \(y = \dfrac{4x - 8}{3}\) ; dans la première : \(9x + 4(4x - 8) = 36\), soit \(25x = 68\) : \(x = \dfrac{68}{25} = 2{,}72\), puis \(y = \dfrac{24}{25} = 0{,}96\). Donc \(H(2{,}72\;;\, 0{,}96)\).
Conclusion : exactement les nombres du graphique — \(H(2{,}72\;;\, 0{,}96)\), distance 3,8. Et la « distance verticale » valait 4,75 : la perpendiculaire gagne.
EXERCICE 07 · équation de cercleniveau 1
a. Écris l'équation du cercle de centre \(\Omega(2\;;\, -1)\) et de rayon 3. b. Le point \(A(5\;;\, -1)\) est-il sur ce cercle ? c. Et le point \(B(4\;;\, 1)\) ?
CORRIGÉ
a. — \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9\). Attention au \(y + 1\) : on soustrait \(-1\).
b. — \((5 - 2)^2 + (-1 + 1)^2 = 9 + 0 = 9\) : oui, A est sur le cercle.
c. — \((4 - 2)^2 + (1 + 1)^2 = 4 + 4 = 8 \neq 9\) : non. Et comme \(8 < 9\), B est même à l'intérieur du cercle.
Conclusion : l'équation répond à tout — dessus, dedans, dehors — en comparant \(\Omega M^2\) à \(r^2\). C'est le défi du graphique de la section 4, version papier.
EXERCICE 08 · centre et rayonniveau 2
Montre que l'équation \(x^2 + y^2 - 2x - 6y + 6 = 0\) décrit un cercle, et précise son centre et son rayon.
Étape 3 — \(4 > 0\) : c'est bien un cercle, de centre \(\Omega(1\;;\, 3)\) et de rayon \(\sqrt{4} = 2\).
Conclusion : centre \((1\;;\, 3)\), rayon 2 — pas 4 : le membre de droite est \(r^2\).
EXERCICE 09 · cercle ou pas ?niveau 2
Chaque équation décrit-elle un cercle ? a. \(x^2 + y^2 + 2x - 4y + 6 = 0\) ; b. \(x^2 + y^2 - 2x + 2y + 2 = 0\) ; c. \(2x^2 + 2y^2 - 4x - 8y - 8 = 0\).
CORRIGÉ
a. — \((x + 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 + 6 = 0\), soit \((x + 1)^2 + (y - 2)^2 = -1\) : une somme de carrés ne peut pas être négative. Aucun point — pas de cercle.
b. — \((x - 1)^2 - 1 + (y + 1)^2 - 1 + 2 = 0\), soit \((x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 0\) : les deux carrés doivent être nuls en même temps. Un seul point, \((1\;;\, -1)\).
c. — Divise d'abord par 2 : \(x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0\), puis \((x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9\) : un cercle, de centre \((1\;;\, 2)\) et de rayon 3.
Conclusion : trois équations qui se ressemblent, trois figures différentes. Seule la forme canonique tranche — jamais l'allure de l'équation.
EXERCICE 10 · cercle de diamètre [AB]niveau 2
Soit \(A(-1\;;\, 2)\) et \(B(5\;;\, 4)\). a. Détermine l'équation du cercle de diamètre [AB] par le centre et le rayon. b. Retrouve-la en développant \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\).
CORRIGÉ
a. — Centre : \(I(2\;;\, 3)\), le milieu. Rayon : \(r^2 = IA^2 = (-3)^2 + (-1)^2 = 10\). Équation : \((x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 10\).
Étape 3 — Produit scalaire nul, C distinct de A et B : C voit [AB] sous un angle droit, donc C est sur le cercle de diamètre [AB] — et le triangle ABC est rectangle en C.
Conclusion : pas besoin d'équation de cercle ici — la caractérisation \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\) suffit, en deux lignes.
EXERCICE 12 · droite et cercleniveau 2
Soit le cercle \(\mathcal{C} : (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25\). a. Détermine les points d'intersection de \(\mathcal{C}\) avec la droite d'équation \(x = 4\). b. Même question avec la droite d'équation \(x = 6\). Que constates-tu ?
CORRIGÉ
a. — Remplace \(x\) par 4 : \((4 - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25\), soit \((y - 2)^2 = 16\), donc \(y - 2 = 4\) ou \(y - 2 = -4\) : deux points, \((4\;;\, 6)\) et \((4\;;\, -2)\).
b. — \((6 - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25\), soit \((y - 2)^2 = 0\) : un seul point, \((6\;;\, 2)\). La droite touche le cercle sans le traverser — elle lui est tangente.
Conclusion : remplacer, puis résoudre une équation du second degré en \(y\) : deux solutions, une, ou aucune — la droite coupe, effleure, ou évite le cercle.
EXERCICE 13 · tangente au cercleniveau 3
Toujours avec \(\mathcal{C} : (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25\), de centre \(\Omega\). a. Vérifie que \(T(4\;;\, 6)\) est sur \(\mathcal{C}\). b. La tangente à \(\mathcal{C}\) en T est la droite passant par T perpendiculaire au rayon \([\Omega T]\) : détermine son équation. c. Retrouve avec la même idée la tangente au point \((6\;;\, 2)\), et compare avec l'exercice 12.
CORRIGÉ
a. — \((4 - 1)^2 + (6 - 2)^2 = 9 + 16 = 25\) : T est sur \(\mathcal{C}\).
b. — La tangente est perpendiculaire à \([\Omega T]\) : \(\overrightarrow{\Omega T}\,(3\;;\, 4)\) est son vecteur normal. Équation : \(3x + 4y + c = 0\), et T donne \(12 + 24 + c = 0\), soit \(c = -36\) : la tangente est \(3x + 4y - 36 = 0\).
c. — En \((6\;;\, 2)\) : \(\overrightarrow{\Omega T}\,(5\;;\, 0)\), donc \(5x + c = 0\) avec \(30 + c = 0\) : la tangente est \(x = 6\) — exactement la droite de l'exercice 12.b, qui ne touchait le cercle qu'en ce point.
Conclusion : toute la section 2 au service du cercle — un point, un vecteur normal (le rayon), une équation. Les deux exercices racontent la même tangente, par deux chemins.
EXERCICE 14 · problèmeniveau 3
Sur une carte graduée en kilomètres, une antenne relais est plantée en \(\Omega(2\;;\, 3)\) et une route rectiligne a pour équation \(d : 3x + 4y - 38 = 0\). a. Calcule les coordonnées du point H de la route le plus proche de l'antenne, puis la distance de l'antenne à la route. b. L'antenne porte à 4 km à la ronde : que peut-on dire de la couverture de la route ? c. On pousse la portée à 5 km : sur quelle longueur de route capte-t-on désormais ? (Pythagore aidera.)
CORRIGÉ
a. — H est le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur \(d\). Perpendiculaire par \(\Omega\) : normal \((-4\;;\, 3)\) (le directeur de \(d\)), donc \(-4x + 3y + c = 0\), et \(\Omega\) donne \(-8 + 9 + c = 0\), soit \(c = -1\). Système : \(3x + 4y = 38\) et \(-4x + 3y = 1\). De la seconde : \(y = \dfrac{1 + 4x}{3}\) ; dans la première : \(9x + 4(1 + 4x) = 114\), soit \(25x = 110\) : \(x = 4{,}4\), puis \(y = 6{,}2\). Donc \(H(4{,}4\;;\, 6{,}2)\), et \(\Omega H = \sqrt{2{,}4^2 + 3{,}2^2} = \sqrt{16} = 4\) : la route passe à 4 km de l'antenne.
b. — La distance à la route est exactement égale à la portée : le cercle de couverture \((x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 16\) touche la route au seul point H — elle lui est tangente. On capte en un point unique de la route : autant dire nulle part.
c. — Portée 5 km : le cercle de rayon 5 coupe la route en deux points E et F. Dans le triangle rectangle \(\Omega\)HE : \(HE = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3\). La zone captée va de E à F : \(EF = 2 \times 3 = 6\) km.
Conclusion : on capte sur 6 km de route. Tout le chapitre en un problème : projeté orthogonal pour la distance, équation de cercle pour la portée, et Pythagore pour finir.
VERS LE BAC — EXERCICE 15≈ 45 MIN · SANS CALCULATRICE
Dans un repère orthonormé, on considère les points \(A(-1\;;\, 1)\), \(B(7\;;\, 5)\) et \(C(3\;;\, 8)\).
PARTIE A — LA HAUTEUR ISSUE DE C
Montre que \(x - 2y + 3 = 0\) est une équation de la droite \((AB)\).
Détermine une équation de la hauteur du triangle ABC issue de C, c'est-à-dire de la droite passant par C perpendiculaire à \((AB)\).
Calcule les coordonnées de H, pied de cette hauteur, puis la longueur CH.
Déduis-en l'aire du triangle ABC.
PARTIE B — LE CERCLE DE DIAMÈTRE [AB]
Détermine l'équation du cercle \(\Gamma\) de diamètre [AB].
Le point C appartient-il à \(\Gamma\) ? Que peux-tu en déduire pour le triangle ABC ?
Montre que le point \(D(-1\;;\, 5)\) appartient à \(\Gamma\). Quelle est la nature du triangle ABD ?
CORRIGÉ — LES GRANDES ÉTAPES
A.1 — Deux vérifications suffisent : A donne \(-1 - 2 + 3 = 0\) et B donne \(7 - 10 + 3 = 0\). Les deux points sont dessus : c'est bien une équation de \((AB)\). (Autre voie : \(\overrightarrow{AB}\,(8\;;\, 4)\) est orthogonal au vecteur normal \((1\;;\, -2)\) : \(8 - 8 = 0\).)
A.2 — La hauteur est perpendiculaire à \((AB)\) : son vecteur normal est le directeur de \((AB)\), soit \((2\;;\, 1)\). Avec C : \(2 \times 3 + 8 + c = 0\), donc \(c = -14\) : la hauteur a pour équation \(2x + y - 14 = 0\).
A.3 — Système : \(x - 2y = -3\) et \(2x + y = 14\). La première donne \(x = 2y - 3\) ; alors \(2(2y - 3) + y = 14\), soit \(5y = 20\) : \(y = 4\), \(x = 5\), donc \(H(5\;;\, 4)\). Et \(CH = \sqrt{(3 - 5)^2 + (8 - 4)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\).
B.1 — Centre : le milieu \(I(3\;;\, 3)\). Rayon : \(r^2 = IA^2 = (-4)^2 + (-2)^2 = 20\). Donc \(\Gamma : (x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 20\).
B.2 — Pour C : \((3 - 3)^2 + (8 - 3)^2 = 25 \neq 20\) : C n'est pas sur \(\Gamma\). Donc C ne voit pas [AB] sous un angle droit : le triangle ABC n'est pas rectangle en C.
B.3 — Pour D : \((-1 - 3)^2 + (5 - 3)^2 = 16 + 4 = 20\) : D est sur \(\Gamma\), cercle de diamètre [AB]. Le triangle ABD est donc rectangle en D. (Contrôle direct : \(\overrightarrow{DA}\,(0\;;\, -4) \cdot \overrightarrow{DB}\,(8\;;\, 0) = 0\).)
Conclusion : équation de droite, perpendiculaire, projeté, cercle de diamètre — le sujet déroule tout le chapitre, et chaque réponse se contrôle en remplaçant des coordonnées. Prends ce réflexe : au bac, la vérification est gratuite.