CE QUE TU DOIS SAVOIR FAIRE — convertir des degrés en radians, placer un réel sur le cercle trigonométrique, lire cosinus et sinus comme des coordonnées, retrouver les valeurs exactes remarquables — et utiliser les angles associés sans apprendre les signes par cœur.
≈ 60 min de travail · 15 exercices corrigés · mis à jour juillet 2026
SOMMAIRE ▾
1. Un tour de grande roue
Tu montes dans une grande roue. La cabine s'élève, passe au sommet, redescend de l'autre côté. Comment dire où tu en es à un instant donné ? Un angle, dirais-tu — « j'ai tourné de tant de degrés depuis le départ ». Mais il existe une deuxième façon, plus directe : donner la distance parcourue le long du cercle. « J'ai roulé 30 mètres de rail. » Aucun degré là-dedans — juste une longueur.
Les mathématiciens ont adopté cette deuxième langue. Prends un cercle de rayon 1 — une roue dont le rayon sert d'unité. Son périmètre, tu le connais depuis le collège :
Un quart de tour, c'est donc un quart de \(2\pi\), soit \(\dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}57\). Regarde la figure : le point est parti de I, a tourné d'un quart de tour — 90° dans l'ancienne langue, un arc de longueur \(\dfrac{\pi}{2}\) dans la nouvelle. Ce chapitre t'apprend la nouvelle : c'est elle que tout le lycée utilisera.
Un quart de tour sur le cercle de rayon 1 : 90° d'un côté, un arc de longueur \(\dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}57\) de l'autre. Même position, deux langues.
2. Enrouler la droite des réels sur le cercle
Voici le geste fondateur du chapitre. En bas, la droite des réels, graduée comme d'habitude. Fais glisser \(t\) : le morceau de droite entre 0 et \(t\) vient s'enrouler sur le cercle en partant de I — vers le haut si \(t\) est positif, vers le bas sinon. Fais un demi-tour, un tour complet, puis passe en négatif.
INTERACTIFEnrouler la droite sur le cercle
t
t = π/2 ≈ 1,57 rad = 90°
en degrés : 90°longueur d'arc : 1,57t > 0 — sens direct
Un quart de tour : 90° = π/2 rad ≈ 1,57. L'arc parcouru mesure le quart du périmètre 2π.
Le curseur avance par pas de π/12, soit 15° : chaque position se lit exactement, en π comme en degrés.
POURQUOI ?
Pourquoi enrouler ? Parce que ça fabrique une correspondance parfaite : chaque réel \(t\) atterrit sur un point du cercle, sans exception. Les angles deviennent des nombres, et la mesure ne doit rien à une unité inventée : c'est une longueur d'arc, point. Seule subtilité : après un tour complet, la droite continue de s'enrouler par-dessus — \(t\) et \(t + 2\pi\) tombent sur le même point.
Ce que tu viens de faire avec la main, voilà comment on l'écrit.
DÉFINITION
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct (le sens inverse des aiguilles d'une montre). En enroulant la droite des réels sur ce cercle à partir du point I, chaque réel \(t\) est associé à un unique point \(M(t)\).
La mesure en radians de l'angle \(\widehat{IOM}\) est le réel \(t\) : la longueur de l'arc parcouru, comptée positivement dans le sens direct.
\(\dfrac{3\pi}{4}\) rad \(= 135^\circ\) — entre le quart de tour (90°) et le demi-tour (180°), comme sur le cercle.
À RETENIR
\(180^\circ = \pi\) radians. Une seule correspondance à savoir : toutes les conversions en découlent par proportionnalité.
TESTE-TOITrois questions, trente secondes
Q1Un angle de \(60^\circ\), en radians, c'est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — \(60 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{3}\). Et le réel \(60\) tout court n'a rien à voir : sur le cercle, il correspond à presque dix tours. \(\dfrac{\pi}{6}\), c'est \(30^\circ\).
Q2\(\pi\) radians, c'est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — \(\pi\) rad \(= 180^\circ\), le demi-périmètre du cercle de rayon 1. Le tour complet, c'est \(2\pi\).
Q3Sur le cercle trigonométrique, le sens direct est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — c'est une convention, la même pour tout le monde : les réels positifs s'enroulent dans le sens inverse des aiguilles. Un \(t\) négatif tourne dans le sens des aiguilles.
3. Cosinus et sinus : les coordonnées de M
Le point \(M(t)\) vit dans un repère : il a donc une abscisse et une ordonnée. Ces deux nombres sont si utiles qu'ils portent un nom — et tu vas les lire toi-même avant qu'on les définisse. Déplace M sur le cercle et suis des yeux les deux projections sur les axes. Garde aussi un œil sur la dernière puce : elle ne bougera pas d'un millimètre.
INTERACTIFLes deux coordonnées de M
t = π/3cos t = 0,50sin t = 0,87cos²t + sin²t = 1,00
Angle remarquable — valeurs exactes : cos(π/3) = 1/2 et sin(π/3) = √3/2. Les puces affichent leurs arrondis.
Près d'une graduation de π/12, le point s'y cale tout seul : relâche-le sur π/6, π/4 ou π/3 pour voir les valeurs exactes.
Ces deux coordonnées que tu viens de promener, voilà leurs noms.
DÉFINITION
Pour tout réel \(t\), le cosinus de \(t\), noté \(\cos t\), est l'abscisse du point \(M(t)\) ; le sinus de \(t\), noté \(\sin t\), est son ordonnée.
$$M(t) = (\cos t\;;\, \sin t)$$
PROPRIÉTÉ
Pour tout réel \(t\) :
\(-1 \leq \cos t \leq 1\) et \(-1 \leq \sin t \leq 1\) ;
\(\cos^2 t + \sin^2 t = 1\) ;
\(\cos(t + 2\pi) = \cos t\) et \(\sin(t + 2\pi) = \sin t\) — après un tour complet, le point est le même.
POURQUOI ?
L'encadrement d'abord : M reste sur le cercle de rayon 1, ses coordonnées ne peuvent pas s'échapper de \([-1\;;\, 1]\). L'identité ensuite : le rayon \([OM]\), de longueur 1, est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les deux autres côtés mesurent \(|\cos t|\) et \(|\sin t|\). Pythagore donne \(\cos^2 t + \sin^2 t = 1^2\). Tu l'as vue rester figée à \(1{,}00\) dans le graphique : ce n'était pas un hasard, c'est un théorème.
Attention à la notation : \(\cos^2 t\) veut dire \((\cos t)^2\), le carré du cosinus — pas le cosinus de \(t^2\). Cette identité est l'outil n° 1 du chapitre : si tu connais l'une des deux coordonnées, elle te donne l'autre… au signe près. Et le signe, c'est le cercle qui le donne.
MÉTHODE — RETROUVER sin t À PARTIR DE cos t (OU L'INVERSE)
1.Écris l'identité : \(\sin^2 t = 1 - \cos^2 t\).
2.Prends la racine : \(\sin t = \pm\sqrt{1 - \cos^2 t}\) — deux candidats.
3.Tranche avec le cercle : l'énoncé localise \(t\) dans un intervalle ; place M et lis si l'ordonnée (ou l'abscisse) y est positive ou négative.
EXEMPLE RÉSOLU — LA MOITIÉ MANQUANTE
On sait que \(\cos t = \dfrac{3}{5}\) et que \(t \in \left[-\dfrac{\pi}{2}\;;\, 0\right]\). Calcule \(\sin t\).
Étape 2 — \(\sin t = \dfrac{4}{5}\) ou \(\sin t = -\dfrac{4}{5}\).
Étape 3 — \(t \in \left[-\dfrac{\pi}{2}\;;\, 0\right]\) : M est dans le quart en bas à droite, son ordonnée est négative.
Conclusion : \(\sin t = -\dfrac{4}{5}\). L'identité donne la valeur, le cercle donne le signe.
Dernier outil de la section. Un même point du cercle est repéré par une infinité de réels : \(t\), \(t + 2\pi\), \(t - 2\pi\)… Parmi toutes ces mesures, une seule tombe dans \(\left]-\pi\;;\, \pi\right]\) : on l'appelle la mesure principale. C'est la carte d'identité du point.
MÉTHODE — TROUVER LA MESURE PRINCIPALE
1.Écris \(2\pi\) avec le dénominateur de ton angle : \(2\pi = \dfrac{12\pi}{6} = \dfrac{8\pi}{4} = \dfrac{6\pi}{3}\)…
2.Ajoute ou retranche ce \(2\pi\) autant de fois que nécessaire — chaque fois, c'est un tour complet, le point ne bouge pas.
3.Arrête-toi dès que le résultat est dans \(\left]-\pi\;;\, \pi\right]\).
EXEMPLE RÉSOLU — UNE MESURE PRINCIPALE
Détermine la mesure principale de \(\dfrac{17\pi}{6}\).
Conclusion : la mesure principale est \(\dfrac{5\pi}{6}\) : \(\dfrac{17\pi}{6}\), c'est le même point, un tour plus loin.
TESTE-TOIEncore trois sur le cercle
Q1\(\cos t\), c'est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — le couple est rangé comme \((x\;;\, y)\) : \((\cos t\;;\, \sin t)\). L'ordonnée, c'est le sinus. Et la longueur d'arc, c'est \(t\) lui-même.
Q2Existe-t-il un réel \(t\) tel que \(\cos t = 1{,}4\) ?
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — M reste sur le cercle de rayon 1 : ses coordonnées vivent dans \([-1\;;\, 1]\). Aucun \(t\), si grand soit-il, n'y changera rien — la courbe s'enroule, elle ne s'échappe pas.
Q3Si \(\sin t = 0{,}6\), alors \(\cos^2 t\) vaut…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — \(\cos^2 t = 1 - \sin^2 t = 1 - 0{,}36 = 0{,}64\). Répondre \(0{,}4\), c'est oublier les carrés ; \(0{,}8\), c'est \(\cos t\) (au signe près), pas son carré.
4. Les valeurs remarquables
L'épreuve de Première se passe sans calculatrice : quelques cosinus et sinus doivent devenir des réflexes. La bonne nouvelle : sur \(\left[0\;;\, \dfrac{\pi}{2}\right]\), il n'y a que cinq angles à connaître — et leurs valeurs s'organisent toutes seules.
VALEURS REMARQUABLESÀ SAVOIR RETROUVER SANS LA TABLE
\(t\)
\(0\)
\(\dfrac{\pi}{6}\)
\(\dfrac{\pi}{4}\)
\(\dfrac{\pi}{3}\)
\(\dfrac{\pi}{2}\)
\(\cos t\)
\(1\)
\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\dfrac{1}{2}\)
\(0\)
\(\sin t\)
\(0\)
\(\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(1\)
À RETENIR
La ligne du sinus, c'est \(\dfrac{\sqrt{0}}{2},\ \dfrac{\sqrt{1}}{2},\ \dfrac{\sqrt{2}}{2},\ \dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{\sqrt{4}}{2}\) — et le cosinus lit la même liste à l'envers.
Maintenant, vérifie que ça tient sans la table sous les yeux. Le dessin t'aide plus que ta mémoire : plus M est haut, plus le sinus est grand ; plus M est à droite, plus le cosinus est grand.
INTERACTIFLe cadran des valeurs exactes
ANGLE 1/6
\(\cos\dfrac{\pi}{6}\) vaut…
\(\sin\dfrac{\pi}{6}\) vaut…
\(\cos\dfrac{\pi}{4}\) vaut…
\(\sin\dfrac{\pi}{3}\) vaut…
\(\cos\dfrac{\pi}{2}\) vaut…
\(\cos \pi\) vaut…
PAS ENCORE — regarde le dessin : M est-il plutôt haut ou bas ? à droite ou à gauche ? La valeur cherchée est une coordonnée de M.
EXACT — à \(\dfrac{\pi}{6}\), M est encore près de l'axe horizontal : grande abscisse, \(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87\). La valeur \(\dfrac{1}{2}\), c'est son ordonnée.
EXACT — M est bas : petite ordonnée, \(\dfrac{1}{2}\). Remarque l'échange avec \(\dfrac{\pi}{3}\) : les deux angles sont complémentaires — tu comprendras pourquoi à la section 5.
EXACT — à 45°, abscisse et ordonnée sont égales : \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) pour les deux. Le seul angle de la table où cosinus et sinus coïncident.
EXACT — à \(\dfrac{\pi}{3}\), M est haut : grande ordonnée, \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) — la même valeur que \(\cos\dfrac{\pi}{6}\), ce n'est pas un hasard.
EXACT — M est au sommet, en \((0\;;\, 1)\) : abscisse nulle. Et \(\sin\dfrac{\pi}{2} = 1\), la plus grande valeur possible d'un sinus.
EXACT — \(M(\pi)\) est à gauche, en \((-1\;;\, 0)\) : \(\cos \pi = -1\) et \(\sin \pi = 0\). Le cercle donne aussi les valeurs négatives — aucune table à rallonger.
MÉTHODE — RETROUVER UNE VALEUR REMARQUABLE
1.Place l'angle sur le cercle, même grossièrement : \(\dfrac{\pi}{6}\) est bas, \(\dfrac{\pi}{3}\) est haut, \(\dfrac{\pi}{4}\) est au milieu.
2.Demande-toi si la coordonnée cherchée est grande ou petite — proche de 1 ou proche de 0.
3.Choisis dans la liste \(0,\ \dfrac{1}{2},\ \dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71,\ \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87,\ 1\) : c'est forcément l'une des cinq.
EXEMPLE RÉSOLU — UN CALCUL EXACT
Calcule la valeur exacte de \(A = \cos\dfrac{\pi}{3} + \sin\dfrac{\pi}{6}\).
Étape 1 — \(\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\) (M est haut, abscisse petite) et \(\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\) (M est bas, ordonnée petite).
EXACT — à \(\dfrac{\pi}{3}\), M est haut sur le cercle : abscisse petite, \(\dfrac{1}{2}\). \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), c'est \(\cos\dfrac{\pi}{6}\) — ou \(\sin\dfrac{\pi}{3}\).
Q2\(\sin\dfrac{\pi}{4}\) vaut…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — à 45°, cosinus et sinus sont égaux : \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71\) pour les deux. C'est le seul angle de la table où ils coïncident.
Q3\(\sin\dfrac{\pi}{2}\) vaut…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — \(M\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\) est au sommet du cercle, en \((0\;;\, 1)\) : ordonnée 1. Son abscisse, elle, est nulle : \(\cos\dfrac{\pi}{2} = 0\).
5. Les angles associés : le dessin plutôt que le par-cœur
Que vaut \(\cos\dfrac{5\pi}{6}\) ? Ta table s'arrête à \(\dfrac{\pi}{2}\)… mais \(\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}\), et le point \(M\!\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right)\) est le reflet de \(M\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\) dans l'axe vertical : même hauteur, abscisse retournée. Tous les angles hors de \(\left[0\;;\, \dfrac{\pi}{2}\right]\) se ramènent ainsi à un angle de référence par une symétrie. Choisis une symétrie, déplace M, et regarde ce qui se conserve et ce qui change de signe.
INTERACTIFQuatre symétries, huit formules
cos(−π/6) = cos(π/6) = √3/2
sin(−π/6) = −sin(π/6) = −1/2
t = π/6angle associé : −π/6symétrie d'axe (Ox) — l'axe des abscisses
M′ est le reflet de M dans l'axe horizontal : même abscisse (cos conservé), hauteur retournée (sin change de signe). Ici t est remarquable : les deux lignes sont exactes.
Aucune de ces huit formules n'est une liste à réciter : chacune est la photo d'une symétrie. L'axe horizontal conserve l'abscisse et retourne l'ordonnée ; l'axe vertical fait l'inverse ; le centre O retourne les deux ; la diagonale les échange — voilà pourquoi \(\cos\dfrac{\pi}{6} = \sin\dfrac{\pi}{3}\), le mystère de la section 4. Au contrôle, dessine un petit cercle et lis les signes dessus : dix secondes, zéro erreur.
MÉTHODE — CALCULER HORS DE [0 ; π/2]
1.Écris l'angle à partir d'un angle de référence de \(\left[0\;;\, \dfrac{\pi}{2}\right]\) : \(\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}\), \(\dfrac{4\pi}{3} = \pi + \dfrac{\pi}{3}\), \(-\dfrac{\pi}{4} = -\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\)…
2.Fais le croquis : place les deux points, lis quelle coordonnée se conserve et laquelle change de signe.
3.Remplace par la valeur remarquable de l'angle de référence.
EXEMPLES RÉSOLUS — TROIS ANGLES HORS TABLE
a. Calcule \(\cos\dfrac{2\pi}{3}\).
Calcul — \(\dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3}\) : symétrie d'axe vertical, le cosinus change de signe : \(-\cos\dfrac{\pi}{3}\).
\(\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}\)
b. Calcule \(\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\).
Calcul — reflet dans l'axe horizontal : le sinus change de signe : \(-\sin\dfrac{\pi}{4}\).
Calcul — \(\dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6}\) : symétrie de centre O, tout change de signe : \(-\sin\dfrac{\pi}{6}\).
\(\sin\dfrac{7\pi}{6} = -\dfrac{1}{2}\)
TESTE-TOIQuatre questions pour finir
Q1\(\cos(\pi - t)\) est égal à…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — la symétrie d'axe vertical retourne l'abscisse. Recopier \(\cos t\) sans le signe est LE piège des angles associés : fais le croquis.
Q2\(\sin(-t)\) est égal à…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — le reflet dans l'axe horizontal retourne la hauteur : \(\sin(-t) = -\sin t\). Le cosinus, lui, ne bouge pas : \(\cos(-t) = \cos t\).
Q3\(\cos\dfrac{5\pi}{6}\) vaut…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — \(\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}\) : valeur de référence \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), et M est en haut à gauche, donc cosinus négatif. \(-\dfrac{1}{2}\) se trompe de valeur : \(\dfrac{1}{2}\) va avec \(\dfrac{\pi}{3}\).
Q4\(t\) est entre \(-\pi\) et \(-\dfrac{\pi}{2}\) : M est en bas à gauche. Alors…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — en bas à gauche, abscisse et ordonnée sont toutes les deux négatives. Place le point, lis les signes : c'est tout le secret de ce chapitre.
LES PIÈGES CLASSIQUES
Confondre \(60\) et \(60^\circ\). Le réel 60 n'est pas « 60 degrés » : sur le cercle, 60 correspond à un arc de 60 rayons — presque dix tours. En radians, \(60^\circ\) s'écrit \(\dfrac{\pi}{3}\). Écris toujours le symbole ° quand il y en a un.
Échanger cosinus et sinus. Le cosinus est l'abscisse, le sinus l'ordonnée. Retiens que le couple est rangé comme les coordonnées : \((\cos t\;;\, \sin t) = (x\;;\, y)\) — cosinus d'abord, sur l'axe horizontal.
Recopier \(\cos(\pi - t) = \cos t\). La symétrie d'axe vertical retourne l'abscisse : \(\cos(\pi - t) = -\cos t\). En cas de doute, dix secondes de croquis donnent le signe — c'est tout l'intérêt des symétries de la section 5.
Mélanger \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). \(\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\), pas \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Lis le dessin : à \(\dfrac{\pi}{3}\), M est haut, donc son abscisse est petite. Et garde la liste croissante du sinus : \(\dfrac{\sqrt{0}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{4}}{2}\).
Distribuer cos sur une somme. \(\cos(a + b) \neq \cos a + \cos b\). Teste avec \(a = b = \dfrac{\pi}{2}\) : à gauche \(\cos \pi = -1\), à droite \(0 + 0 = 0\). De même, \(\cos^2 t\) veut dire \((\cos t)^2\), pas \(\cos(t^2)\).
L'ESSENTIEL EN 5 LIGNES
CERCLE
Rayon 1, sens direct : chaque réel \(t\) s'enroule sur un unique point \(M(t)\), et \(t + 2\pi\) donne le même point.
RADIAN
\(180^\circ = \pi\) rad. Conversions par proportionnalité : \(\times \dfrac{\pi}{180}\) dans un sens, \(\times \dfrac{180}{\pi}\) dans l'autre.
COS & SIN
\(M(t) = (\cos t\;;\, \sin t)\) : deux nombres de \([-1\;;\, 1]\), liés par \(\cos^2 t + \sin^2 t = 1\).
VALEURS
Pour \(t = 0, \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{2}\) : \(\sin t = \dfrac{\sqrt{0}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{4}}{2}\) — et cos lit la liste à l'envers.
ASSOCIÉS
\(-t\), \(\pi - t\), \(\pi + t\), \(\dfrac{\pi}{2} - t\) : quatre symétries du cercle. Le croquis donne les signes, l'angle de référence donne la valeur.
Exercices
15 corrigés
Commence par le niveau 1. Cherche vraiment avant d'ouvrir le corrigé — c'est là que ça rentre. Les exercices suivent l'ordre du cours : le radian et le cercle, cosinus et sinus, les valeurs remarquables, les angles associés — puis deux synthèses et un problème.
EXERCICE 01 · degrés ⇆ radiansniveau 1
a. Convertis en radians : \(30^\circ\), \(90^\circ\), \(120^\circ\), \(225^\circ\). b. Convertis en degrés : \(\dfrac{\pi}{12}\), \(\dfrac{5\pi}{6}\), \(\dfrac{5\pi}{2}\).
CORRIGÉ
a. — on multiplie par \(\dfrac{\pi}{180}\) : \(30^\circ = \dfrac{\pi}{6}\) ; \(90^\circ = \dfrac{\pi}{2}\) ; \(120^\circ = \dfrac{120\pi}{180} = \dfrac{2\pi}{3}\) ; \(225^\circ = \dfrac{225\pi}{180} = \dfrac{5\pi}{4}\).
b. — on multiplie par \(\dfrac{180}{\pi}\) : \(\dfrac{\pi}{12} = 15^\circ\) ; \(\dfrac{5\pi}{6} = 150^\circ\) ; \(\dfrac{5\pi}{2} = 450^\circ\) — plus d'un tour : un tour complet (360°) puis encore 90°.
Conclusion : une seule correspondance à savoir, \(180^\circ = \pi\) ; tout le reste est une proportionnalité.
EXERCICE 02 · placer sur le cercleniveau 1
Place sur le cercle trigonométrique les points \(M\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\), \(M\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\), \(M\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\) et \(M(\pi)\). Un croquis à main levée suffit.
CORRIGÉ
Étape 1 — \(M\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\) : un quart de tour dans le sens direct, tout en haut, en \((0\;;\, 1)\).
Étape 2 — \(M\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\) : \(t\) négatif, on tourne dans le sens des aiguilles : un huitième de tour vers le bas, en bas à droite.
Étape 3 — \(M\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\) : \(\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{6}\) : un peu au-delà du sommet, en haut à gauche.
Étape 4 — \(M(\pi)\) : un demi-tour, à gauche, en \((-1\;;\, 0)\).
Conclusion : positif → sens inverse des aiguilles, négatif → sens des aiguilles ; et repère-toi aux quatre points cardinaux \(0\), \(\dfrac{\pi}{2}\), \(\pi\), \(-\dfrac{\pi}{2}\).
EXERCICE 03 · mesure principaleniveau 2
a. Montre que \(\dfrac{13\pi}{6}\) et \(\dfrac{\pi}{6}\) repèrent le même point du cercle. b. Détermine la mesure principale de \(\dfrac{17\pi}{4}\), puis celle de \(-\dfrac{7\pi}{6}\).
CORRIGÉ
a. — \(\dfrac{13\pi}{6} - 2\pi = \dfrac{13\pi}{6} - \dfrac{12\pi}{6} = \dfrac{\pi}{6}\) : les deux réels diffèrent d'un tour complet, le point est le même.
b. — \(\dfrac{17\pi}{4} - 2\pi = \dfrac{9\pi}{4}\), puis \(\dfrac{9\pi}{4} - 2\pi = \dfrac{\pi}{4} \in \left]-\pi\;;\, \pi\right]\) : mesure principale \(\dfrac{\pi}{4}\) (deux tours retranchés). Pour \(-\dfrac{7\pi}{6}\) : \(-\dfrac{7\pi}{6} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{6} \in \left]-\pi\;;\, \pi\right]\) : mesure principale \(\dfrac{5\pi}{6}\).
Conclusion : ajouter ou retrancher \(2\pi\) (écrit au bon dénominateur) jusqu'à tomber dans \(\left]-\pi\;;\, \pi\right]\).
EXERCICE 04 · signes de cos et sinniveau 1
Sans rien calculer, donne le signe de \(\cos t\) et de \(\sin t\) pour : a. \(t = \dfrac{2\pi}{3}\) ; b. \(t = -\dfrac{\pi}{6}\) ; c. \(t = \dfrac{4\pi}{3}\).
CORRIGÉ
a. — \(\dfrac{2\pi}{3}\) est entre \(\dfrac{\pi}{2}\) et \(\pi\) : M en haut à gauche, donc \(\cos t < 0\) et \(\sin t > 0\).
b. — \(-\dfrac{\pi}{6}\) : M en bas à droite, donc \(\cos t > 0\) et \(\sin t < 0\).
c. — \(\dfrac{4\pi}{3}\) est entre \(\pi\) et \(\dfrac{3\pi}{2}\) : M en bas à gauche, donc \(\cos t < 0\) et \(\sin t < 0\).
Conclusion : place le point, lis les signes. Il n'existe aucune formule plus rapide que ce croquis.
EXERCICE 05 · vrai ou fauxniveau 2
Vrai ou faux, en justifiant : a. il existe un réel \(t\) tel que \(\cos t = 1{,}2\) ; b. il existe un réel \(t\) tel que \(\sin t = -1\) ; c. si \(\cos t = 0\), alors \(\sin t = 1\) ; d. pour tout réel \(t\), \(\cos(t + 2\pi) = \cos t\).
CORRIGÉ
a. — Faux : un cosinus vit dans \([-1\;;\, 1]\), et \(1{,}2\) est dehors.
b. — Vrai : \(t = -\dfrac{\pi}{2}\) convient — M est tout en bas, en \((0\;;\, -1)\).
c. — Faux : \(\cos t = 0\) place M tout en haut ou tout en bas : \(\sin t = 1\) ou \(\sin t = -1\). Contre-exemple : \(t = -\dfrac{\pi}{2}\).
d. — Vrai : \(t + 2\pi\) repère le même point (un tour de plus), donc même abscisse.
Conclusion : toutes les réponses se lisent sur le cercle — coordonnées bornées, tour complet invisible.
EXERCICE 06 · cos²t + sin²t = 1niveau 2
On sait que \(\cos t = 0{,}6\) et que \(t \in \left[-\dfrac{\pi}{2}\;;\, 0\right]\). Calcule \(\sin t\).
CORRIGÉ
Étape 1 — \(\sin^2 t = 1 - \cos^2 t = 1 - 0{,}36 = 0{,}64\).
Étape 2 — \(\sin t = 0{,}8\) ou \(\sin t = -0{,}8\).
Étape 3 — \(t \in \left[-\dfrac{\pi}{2}\;;\, 0\right]\) : M en bas à droite, ordonnée négative.
Conclusion : \(\sin t = -0{,}8\). L'identité donne la valeur, le cercle donne le signe — toujours dans cet ordre.
EXERCICE 07 · cos²t + sin²t = 1niveau 2
On sait que \(\sin t = \dfrac{1}{3}\) et que \(t \in \left[\dfrac{\pi}{2}\;;\, \pi\right]\). Calcule la valeur exacte de \(\cos t\).
Conclusion : \(\cos\dfrac{\pi}{6} = \sin\dfrac{\pi}{3}\), et ce n'est pas un hasard : \(\dfrac{\pi}{6}\) et \(\dfrac{\pi}{3}\) sont complémentaires (section 5).
EXERCICE 09 · calcul exactniveau 2
Calcule la valeur exacte de : a. \(A = \cos\dfrac{\pi}{3} + \sin\dfrac{\pi}{6}\) ; b. \(B = \cos^2\dfrac{\pi}{4} + \sin^2\dfrac{\pi}{6}\) ; c. \(C = \sin\dfrac{\pi}{3} \times \cos\dfrac{\pi}{6}\).
CORRIGÉ
a. — \(A = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1\).
b. — \(B = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\). Attention : les deux angles sont différents, donc pas de \(\cos^2 + \sin^2 = 1\) ici !
c. — \(C = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3}{4}\).
Conclusion : l'identité \(\cos^2 t + \sin^2 t = 1\) ne vaut que pour un même angle \(t\) — la question b. est là pour te le rappeler.
EXERCICE 10 · angles associésniveau 2
Exprime en fonction de \(\cos t\) ou \(\sin t\) : a. \(\cos(-t)\) ; b. \(\sin(\pi - t)\) ; c. \(\cos(\pi + t)\) ; d. \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - t\right)\).
CORRIGÉ
a. — \(\cos(-t) = \cos t\) : symétrie d'axe horizontal, l'abscisse ne bouge pas.
b. — \(\sin(\pi - t) = \sin t\) : symétrie d'axe vertical, la hauteur ne bouge pas.
c. — \(\cos(\pi + t) = -\cos t\) : symétrie de centre O, tout change de signe.
d. — \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - t\right) = \cos t\) : symétrie par rapport à la diagonale, les coordonnées s'échangent.
Conclusion : quatre réponses, quatre croquis. Aucune formule apprise par cœur ne vaut le dessin.
EXERCICE 11 · angles associésniveau 2
Calcule la valeur exacte de : a. \(\cos\dfrac{2\pi}{3}\) ; b. \(\sin\dfrac{5\pi}{6}\) ; c. \(\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\) ; d. \(\sin\dfrac{4\pi}{3}\).
Conclusion : angle de référence pour la valeur, croquis pour le signe — la méthode de la section 5, quatre fois de suite.
EXERCICE 12 · lire le cercleniveau 3
À l'aide du cercle trigonométrique, détermine tous les réels \(t\) de \(\left]-\pi\;;\, \pi\right]\) tels que : a. \(\cos t = \dfrac{1}{2}\) ; b. \(\sin t = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
CORRIGÉ
a. — chercher \(\cos t = \dfrac{1}{2}\), c'est chercher les points du cercle d'abscisse \(\dfrac{1}{2}\) : la verticale \(x = \dfrac{1}{2}\) coupe le cercle en deux points, symétriques par rapport à l'axe horizontal. Celui du haut est \(M\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\), celui du bas \(M\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\). Solutions : \(t = \dfrac{\pi}{3}\) ou \(t = -\dfrac{\pi}{3}\).
b. — l'horizontale \(y = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) coupe le cercle en deux points du bas, symétriques par rapport à l'axe vertical : \(t = -\dfrac{\pi}{4}\) et \(t = -\pi + \dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{3\pi}{4}\).
Conclusion : une valeur de cosinus (ou de sinus) correspond en général à deux points sur un tour — un seul aux extrêmes \(\pm 1\).
EXERCICE 13 · synthèseniveau 3
Soit \(t \in \left[\dfrac{\pi}{2}\;;\, \pi\right]\) tel que \(\cos t = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). a. Détermine \(t\). b. Donne \(\sin t\). c. Calcule \(\sin(-t)\) et \(\cos(\pi + t)\).
CORRIGÉ
a. — la valeur de référence \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) va avec \(\dfrac{\pi}{6}\) ; un cosinus négatif en haut à gauche désigne \(t = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}\), qui est bien dans \(\left[\dfrac{\pi}{2}\;;\, \pi\right]\).
b. — \(\sin\dfrac{5\pi}{6} = \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\) (symétrie d'axe vertical — ou l'identité, avec le signe lu sur le cercle).
c. — \(\sin(-t) = -\sin t = -\dfrac{1}{2}\) ; \(\cos(\pi + t) = -\cos t = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
Conclusion : valeurs remarquables, quadrants et angles associés dans un même exercice — le trio gagnant du chapitre.
EXERCICE 14 · problèmeniveau 3
La grande roue d'une fête foraine a un rayon de 20 m ; son axe est à 22 m du sol. Ta cabine part du point le plus bas, et la roue tourne dans le sens direct à vitesse constante : un tour complet dure 12 minutes. a. Quelle distance ta cabine parcourt-elle pendant un tour complet ? b. De quel angle, en radians, la roue a-t-elle tourné après 2 minutes ? après 3 minutes ? c. Montre qu'après une rotation d'angle \(t\), la hauteur de la cabine au-dessus du sol vaut \(h(t) = 22 - 20\cos t\). d. Calcule la hauteur de la cabine après 2 minutes, puis après 6 minutes.
CORRIGÉ
a. — le périmètre : \(2\pi \times 20 = 40\pi \approx 125{,}7\) m.
b. — 2 minutes = \(\dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}\) de tour, donc \(t = \dfrac{2\pi}{6} = \dfrac{\pi}{3}\) ; 3 minutes = un quart de tour, \(t = \dfrac{\pi}{2}\).
c. — place un cercle de rayon 20 centré sur l'axe. Quand la roue a tourné de \(t\), l'angle entre la verticale descendante et la cabine vaut \(t\) : dans le triangle rectangle, la cabine est à \(20\cos t\) sous l'axe. Sa hauteur vaut donc \(22 - 20\cos t\).
d. — \(h\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 22 - 20 \times \dfrac{1}{2} = 12\) m ; après 6 minutes, \(t = \pi\) (demi-tour) : \(h(\pi) = 22 - 20 \times (-1) = 42\) m — le sommet de la roue.
Conclusion : le radian mesure le chemin parcouru (a., b.), le cosinus place la cabine (c., d.) : tout le chapitre tient dans une roue.
VERS LE BAC — EXERCICE 15≈ 45 MIN · SANS CALCULATRICE
Les deux parties sont indépendantes. Toutes les valeurs demandées sont exactes — aucune calculatrice n'est nécessaire, comme à l'épreuve.
PARTIE A
Place sur le cercle trigonométrique les points repérés par \(\dfrac{3\pi}{4}\) et \(-\dfrac{5\pi}{6}\).
Donne les valeurs exactes de \(\cos\dfrac{3\pi}{4}\) et \(\sin\dfrac{3\pi}{4}\).
Détermine la mesure principale de \(\dfrac{29\pi}{6}\).
PARTIE B
Soit \(t \in \left[0\;;\, \dfrac{\pi}{2}\right]\) tel que \(\sin t = \dfrac{3}{5}\).
Calcule \(\cos t\).
Déduis-en \(\cos(\pi - t)\) et \(\sin(\pi + t)\).
Montre que \((\cos t + \sin t)^2 = 1 + 2\sin t \cos t\), puis calcule la valeur exacte de \((\cos t + \sin t)^2\).
CORRIGÉ — LES GRANDES ÉTAPES
A.1 — \(\dfrac{3\pi}{4} = \pi - \dfrac{\pi}{4}\) : en haut à gauche, à 45° de chaque axe. \(-\dfrac{5\pi}{6} = -\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right)\) : en bas à gauche, proche du point \((-1\;;\, 0)\).
A.2 — référence \(\dfrac{\pi}{4}\), point en haut à gauche : \(\cos\dfrac{3\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\sin\dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
A.3 — \(\dfrac{29\pi}{6} - 2\pi = \dfrac{17\pi}{6}\), puis \(\dfrac{17\pi}{6} - 2\pi = \dfrac{5\pi}{6} \in \left]-\pi\;;\, \pi\right]\) : mesure principale \(\dfrac{5\pi}{6}\).
B.1 — \(\cos^2 t = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}\), et \(t \in \left[0\;;\, \dfrac{\pi}{2}\right]\) donne un cosinus positif : \(\cos t = \dfrac{4}{5}\).
B.2 — \(\cos(\pi - t) = -\cos t = -\dfrac{4}{5}\) ; \(\sin(\pi + t) = -\sin t = -\dfrac{3}{5}\).
B.3 — développe : \((\cos t + \sin t)^2 = \cos^2 t + 2\sin t \cos t + \sin^2 t = 1 + 2\sin t \cos t\) grâce à l'identité. Puis \(1 + 2 \times \dfrac{3}{5} \times \dfrac{4}{5} = 1 + \dfrac{24}{25} = \dfrac{49}{25}\). Vérification directe : \(\left(\dfrac{4}{5} + \dfrac{3}{5}\right)^2 = \left(\dfrac{7}{5}\right)^2 = \dfrac{49}{25}\).