Les variables aléatoires — Première Spé Maths

SOMMAIRE

1. La roue de la kermesse : bonne affaire ?

Kermesse du lycée. Le stand le plus bruyant, c'est la roue : 2 € la partie, tu la fais tourner, et le secteur qui s'arrête devant la flèche te dit ce que la caisse te rend. Cinq secteurs affichent 0 €, trois affichent 2 €, deux affichent 5 €. Ton pote sort de là avec 5 € et un grand sourire : « franchement, ce jeu est rentable. » Toi, tu viens de perdre trois fois de suite. Qui a raison ?

Personne, pour l'instant : une partie ne prouve rien, trois non plus. Pour juger le jeu, il faut le regarder en entier — toutes les issues possibles, avec leurs chances. La roue a dix secteurs identiques : dix issues équiprobables, comme les six faces d'un dé équilibré. Ça, tu sais le faire depuis la Seconde.

La roue du stand : dix secteurs égaux, donc équiprobables. Le nombre affiché est ce que la caisse te rend — mais toi, tu as déjà payé 2 €.

Attention au détail qui change tout : le nombre affiché n'est pas ce que tu gagnes. Tu as payé 2 € pour jouer. Si la roue s'arrête sur « 2 € », tu récupères exactement ta mise : opération blanche. Sur « 5 € », tu empoches 3 € de plus qu'en arrivant. Sur « 0 € », tu en as perdu 2. Ce qui t'intéresse vraiment, c'est le gain net — appelons-le X :

DU NOMBRE AFFICHÉ AU GAIN NET MISE : 2 €

	5 secteurs	3 secteurs	2 secteurs
la caisse te rend	0 €	2 €	5 €
ton gain net X	−2 €	0 €	+3 €

Dix issues, mais seulement trois valeurs possibles pour X : −2, 0 ou +3. Et chaque secteur a la même chance de sortir, donc tout se compte comme en Seconde :

$$P = \frac{\text{nombre de secteurs favorables}}{\text{nombre total de secteurs}}$$

La question du chapitre tient en une phrase : peut-on résumer ce jeu par un nombre qui dise s'il est intéressant ? Réponse en deux étapes : d'abord organiser les valeurs et leurs chances (section 2), puis les moyenner intelligemment (section 3).

2. La loi de probabilité : trois nombres qui disent tout

Fais-le toi-même. Sur le graphique, choisis une valeur de X : la roue n'éclaire que les secteurs qui la produisent. Compte-les. Tu es en train de faire le geste central du chapitre : regrouper les issues qui donnent le même nombre.

Ce que tu viens de faire avec la main, voilà comment on l'écrit.

DÉFINITION

Une variable aléatoire X est une grandeur numérique dont la valeur dépend du résultat d'une expérience aléatoire : à chaque issue, elle associe un nombre. Donner la loi de probabilité de X, c'est donner toutes les valeurs possibles $x_1, x_2, \dots, x_n$, et pour chacune la probabilité $P(X = x_i)$.

« X = 3 » est un raccourci de langage : c'est l'événement « la roue s'arrête sur une issue qui donne un gain net de 3 € ». La loi se présente toujours en tableau — le voici pour notre roue :

LA LOI DE PROBABILITÉ DE X GAIN NET, EN €

valeur $x_i$	−2	0	+3	total
$P(X = x_i)$	0,5	0,3	0,2	1

PROPRIÉTÉ — LE CONTRÔLE-RÉFLEXE

Les probabilités d'une loi somment toujours à 1 :

$$P(X = x_1) + P(X = x_2) + \dots + P(X = x_n) = 1$$

Chaque issue donne exactement une valeur de X : rien ne manque, rien n'est compté deux fois. Une loi qui ne somme pas à 1 contient une erreur, cherche-la.

MÉTHODE — ÉTABLIR LA LOI D'UNE VARIABLE ALÉATOIRE

1.Liste les valeurs possibles de X — les gains nets s'il y a une mise : pense à la soustraire.

2.Pour chaque valeur, regroupe les issues qui la produisent — le geste du graphique.

3.Calcule chaque $P(X = x_i)$ et présente le tout en tableau.

4.Contrôle-réflexe : la somme des probabilités doit faire 1.

EXEMPLE RÉSOLU — LA MÉTHODE EN ACTION

On lance un dé équilibré. Si le 6 sort, tu reçois 4 € ; si le résultat est 2 ou 4, tu reçois 1 € ; sinon, rien. La partie coûte 1 €. Donne la loi de X, le gain net.

Étape 1 — gains nets possibles : $4 - 1 = 3$, $1 - 1 = 0$, $0 - 1 = -1$. Donc X prend les valeurs 3, 0 et −1.

Étape 2 — regroupe les issues : X = 3 pour {6} ; X = 0 pour {2 ; 4} ; X = −1 pour {1 ; 3 ; 5}.

Étape 3 — dé équilibré, donc $P(X = 3) = \dfrac{1}{6}$, $P(X = 0) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$, $P(X = -1) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.

Contrôle : $\dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{6} + \dfrac{3}{6} = 1$. La loi est bonne — garde ce dé en tête, il revient à la section suivante.

Q1Une variable aléatoire, c'est…

Q2Sur la roue du chapitre, $P(X = 0)$ vaut…

Q3Dans toute loi de probabilité, la somme des $P(X = x_i)$ vaut…

3. L'espérance : ce que le jeu te coûte vraiment

Retour à la dispute de la kermesse. Ton pote a gagné une fois, tu as perdu trois fois — deux anecdotes. Pour juger le jeu, il faudrait jouer beaucoup. Cent fois ? Mille fois ? Personne n'a ce budget… sauf le graphique ci-dessous. Joue, rejoue, et surveille le gain moyen par partie : au début il gigote, puis il se calme quelque part. Où, exactement ?

POURQUOI ?

D'où sort ce −0,40 € ? Imagine 1 000 parties « idéales », où chaque valeur sort exactement à sa fréquence théorique : 500 fois −2 €, 300 fois 0 €, 200 fois +3 €. Gain total : $500 \times (-2) + 300 \times 0 + 200 \times 3 = -400$ €. Par partie : −0,40 €. Divise chaque effectif par 1 000 et regarde ce qui reste : $(-2) \times 0{,}5 + 0 \times 0{,}3 + 3 \times 0{,}2$. C'est une moyenne des valeurs, pondérée par les probabilités. Ce nombre porte un nom.

DÉFINITION

L'espérance de X est la moyenne de ses valeurs, pondérée par leurs probabilités :

$$E(X) = x_1\,P(X = x_1) + x_2\,P(X = x_2) + \dots + x_n\,P(X = x_n)$$

Et son interprétation, celle que le graphique vient de te montrer : quand on répète l'expérience un grand nombre de fois, la moyenne des valeurs observées se rapproche de E(X). C'est le nombre que cherchait la section 1 : pour notre roue, $E(X) = -0{,}40$ € — chaque partie te coûte 40 centimes en moyenne. Ton pote a eu de la chance, c'est tout ; le stand, lui, joue mille fois par après-midi, et encaisse.

À RETENIR

E(X) se lit « en moyenne, par partie, sur un grand nombre de parties ». E(X) < 0 : le jeu te fait perdre ; E(X) = 0 : jeu équitable ; E(X) > 0 : le jeu te rapporte.

MÉTHODE — CALCULER ET INTERPRÉTER UNE ESPÉRANCE

1.Écris la loi de X en tableau (méthode de la section 2).

2.Multiplie chaque valeur par sa probabilité — ligne du haut fois ligne du bas, colonne par colonne.

3.Additionne tout : c'est E(X). Garde les signes !

4.Conclus par une phrase avec « en moyenne » et l'unité — jamais un nombre sec.

EXEMPLE RÉSOLU — LE DÉ DE LA SECTION 2

Le dé de tout à l'heure : X vaut −1, 0 ou 3 avec les probabilités $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{1}{6}$. Ce jeu est-il favorable ?

Étape 1 — $E(X) = (-1) \times \dfrac{1}{2} + 0 \times \dfrac{1}{3} + 3 \times \dfrac{1}{6}$.

Étape 2 — $E(X) = -\dfrac{1}{2} + 0 + \dfrac{1}{2} = 0$.

Conclusion : E(X) = 0, le jeu est équitable : sur un grand nombre de parties, personne ne gagne ni ne perd en moyenne. Rare dans la vraie vie — la roue de la kermesse, elle, finance le voyage scolaire.

Q1$E(X) = -0{,}40$ € signifie…

Q2X vaut −1, 1 ou 3 avec les probabilités 0,5 ; 0,25 ; 0,25. De tête, $E(X) =$…

Q3L'espérance de X est forcément l'une des valeurs possibles de X.

4. Deux jeux, même moyenne : variance et écart type

L'année suivante, la kermesse a deux stands de roue côte à côte. La roue sage : on perd 2 € trois fois sur dix, on est remboursé six fois sur dix, on gagne 2 € une fois sur dix. La roue folle : on perd sa mise neuf fois sur dix… mais une fois sur dix, jackpot, +14 €. Calcule leurs espérances : −0,40 € toutes les deux. Les mêmes ? Vraiment ? Rejoue 100 parties de chaque et regarde les deux histoires.

DEUX ROUES, DEUX LOIS GAIN NET, EN €

valeur $x_i$	−2	0	+2	+14
roue sage	0,3	0,6	0,1	—
roue folle	0,9	—	—	0,1

L'espérance ne voit pas la différence entre ces deux jeux : elle résume le centre, pas les secousses. Pour mesurer les secousses, on regarde les écarts à la moyenne, $x_i - E(X)$… mais leur moyenne pondérée vaut toujours zéro (les écarts positifs compensent exactement les négatifs). L'astuce : mettre les écarts au carré avant de les moyenner — plus de compensation possible.

DÉFINITION

La variance de X est la moyenne pondérée des carrés des écarts à l'espérance ; l'écart type $\sigma(X)$ est sa racine carrée :

$$V(X) = P(X = x_1)\,\big(x_1 - E(X)\big)^2 + \dots + P(X = x_n)\,\big(x_n - E(X)\big)^2 \qquad \sigma(X) = \sqrt{V(X)}$$

Pourquoi deux mesures pour la même idée ? Une question d'unité. Si X est en euros, V(X) est en… euros au carré — invendable dans une phrase. La racine carrée remet tout en euros : σ se compare directement aux valeurs du jeu. Grand σ = valeurs dispersées loin de la moyenne = jeu à sensations ; petit σ = jeu régulier.

PROPRIÉTÉ — LA FORMULE DE CALCUL RAPIDE

$$V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$$

« La moyenne des carrés, moins le carré de la moyenne. » $E(X^2)$ se calcule comme une espérance ordinaire, en remplaçant chaque valeur par son carré — les probabilités, elles, ne changent pas. En développant $\big(x_i - E(X)\big)^2$ dans la définition, tout se simplifie jusqu'à cette formule : même nombre, moitié moins de calculs.

MÉTHODE — CALCULER V(X) ET σ(X)

1.Calcule d'abord E(X) — tout le reste s'appuie dessus.

2.Calcule $E(X^2)$ : mets chaque valeur au carré, garde les probabilités, additionne.

3.$V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$. Attention : c'est le carré de l'espérance qu'on soustrait, pas l'espérance elle-même.

4.$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$, avec l'unité de X. Contrôle : une variance est toujours positive ou nulle.

EXEMPLE RÉSOLU — LA ROUE DU CHAPITRE

X vaut −2, 0 ou 3 avec les probabilités 0,5 ; 0,3 ; 0,2, et $E(X) = -0{,}4$. Calcule V(X) et σ(X).

Étape 1 — $E(X^2) = 0{,}5 \times (-2)^2 + 0{,}3 \times 0^2 + 0{,}2 \times 3^2 = 2 + 0 + 1{,}8 = 3{,}8$.

Étape 2 — $V(X) = 3{,}8 - (-0{,}4)^2 = 3{,}8 - 0{,}16 = 3{,}64$.

Étape 3 — $\sigma(X) = \sqrt{3{,}64} \approx 1{,}91$ €.

Conclusion : en une partie, le gain s'écarte « typiquement » d'environ 1,91 € de la moyenne. Vérification au passage avec la définition : $0{,}5 \times (-1{,}6)^2 + 0{,}3 \times 0{,}4^2 + 0{,}2 \times 3{,}4^2 = 1{,}28 + 0{,}048 + 2{,}312 = 3{,}64$ — même résultat, plus de calculs.

Q1Deux jeux ont la même espérance. Ce qui peut encore les distinguer, c'est…

Q2Si X est en euros, l'écart type σ(X) s'exprime…

Q3Pour la roue du chapitre, $E(X^2) = 3{,}8$ et $E(X) = -0{,}4$. Alors $V(X) =$…

5. Le chamboule-tout : répéter une épreuve

Dernier stand de la kermesse : le chamboule-tout. Un lancer, deux issues possibles — la pyramide de boîtes tombe (succès), ou elle reste debout (échec). Disons que tu la fais tomber 3 fois sur 10 : un lancer se résume à un seul nombre, $p = 0{,}3$. Une expérience à deux issues comme celle-là porte un nom : une épreuve de Bernoulli.

Le forfait du stand, c'est trois lancers — et la pyramide est rebâtie à l'identique entre chaque. Même situation, mêmes chances, et ton deuxième lancer ne dépend pas du premier : on répète des épreuves identiques et indépendantes. Compte X, le nombre de pyramides tombées : voilà une variable aléatoire, et l'outil pour trouver sa loi, tu le connais depuis le chapitre des probabilités conditionnelles — l'arbre. Choisis une valeur de X sous le graphique et regarde quels chemins s'allument.

DÉFINITION

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues : succès, de probabilité p, et échec, de probabilité $1 - p$. Répéter n fois cette épreuve dans les mêmes conditions, les répétitions étant indépendantes les unes des autres, s'appelle une succession de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

POURQUOI ?

Pourquoi a-t-on le droit d'écrire la même probabilité p à tous les étages de l'arbre ? C'est exactement l'indépendance : la pyramide rebâtie ne se souvient pas du lancer précédent, donc « sachant que le premier lancer a réussi » ne change rien au deuxième. Compare avec le tirage sans remise du chapitre précédent, où chaque étage devait être recalculé. Ici, l'arbre est paresseux : p et $1-p$ partout.

MÉTHODE — TROUVER P(X = k) AVEC L'ARBRE

1.Vérifie le cadre : deux issues par essai, même p à chaque fois, essais indépendants. Dis-le sur ta copie — c'est ce qui autorise l'arbre paresseux.

2.Dessine l'arbre (n = 2, 3, voire 4 étages) avec p et $1-p$ sur chaque branche.

3.Repère tous les chemins qui réalisent « X = k » — c'est-à-dire exactement k succès. Il y en a souvent plusieurs !

4.Multiplie le long de chaque chemin, puis additionne les chemins. Astuce : leurs produits sont tous égaux, donc « nombre de chemins × produit d'un chemin ».

EXEMPLE RÉSOLU — UN JOUEUR MOINS ADROIT

Ton petit frère fait tomber la pyramide avec la probabilité $p = 0{,}2$ et tente trois lancers. a. Calcule $P(X = 1)$. b. Calcule la probabilité qu'il fasse tomber au moins une pyramide.

a. — trois chemins donnent exactement un succès (SEE, ESE, EES), chacun de probabilité $0{,}2 \times 0{,}8 \times 0{,}8 = 0{,}128$. Donc $P(X = 1) = 3 \times 0{,}128 = 0{,}384$.

b. — « au moins une », passe par le contraire : l'événement opposé est « aucune pyramide », c'est-à-dire le chemin EEE. $P(X = 0) = 0{,}8^3 = 0{,}512$, donc $P(X \geqslant 1) = 1 - 0{,}512 = 0{,}488$.

Conclusion : même maladroit, il repart avec au moins une peluche presque une fois sur deux. Le « au moins un = 1 − aucun » est un réflexe à garder pour le bac.

À RETENIR

Épreuves identiques et indépendantes : p partout sur l'arbre. $P(X = k)$ = (nombre de chemins à k succès) × (produit le long d'un chemin). Et « au moins un succès » = $1 - P(X = 0)$.

Q1On répète 3 fois une épreuve de Bernoulli avec $p = 0{,}5$. La probabilité de 3 succès vaut…

Q2Pour 3 lancers, $P(X = 2)$ vaut…

Q3Pourquoi a-t-on le droit de multiplier les probabilités le long d'un chemin ?

Q4Quatre lancers, $p = 0{,}1$. « Au moins un succès » se calcule par…

LES PIÈGES CLASSIQUES

Confondre le nombre affiché et le gain net. « La roue affiche 5 €, donc X = 5. » Non : tu as payé 2 €, donc X = 3. Dès qu'un énoncé contient une mise, un billet ou un forfait, soustrais-le avant d'écrire la loi.

Prendre E(X) pour « la valeur la plus probable » — ou pour une valeur possible. E(X) = −0,40 € n'apparaît sur aucun secteur de la roue. L'espérance est une moyenne pondérée, un centre de gravité : elle peut très bien n'être aucune des valeurs de X.

Une loi qui ne somme pas à 1. Une valeur oubliée, une probabilité mal recopiée, et tout le reste s'écroule. Additionner les $P(X = x_i)$ prend cinq secondes et rattrape la moitié des erreurs — fais-le systématiquement, même quand on ne le demande pas.

Dans $V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$, mélanger $E(X^2)$ et $\big(E(X)\big)^2$. $E(X^2)$ : on met les valeurs au carré, puis on moyenne. $\big(E(X)\big)^2$ : on moyenne, puis on met le résultat au carré. Pour la roue : 3,8 d'un côté, 0,16 de l'autre — vraiment pas pareil.

Écrire $P(X = 2) = p^2$ pour trois lancers. Deux oublis d'un coup : le facteur $1 - p$ du lancer raté, et les trois chemins qui mènent à deux succès. La bonne écriture : $3\,p^2(1-p)$. Compter les chemins d'abord, multiplier ensuite.

L'ESSENTIEL EN 5 LIGNES

LOI

Toutes les valeurs $x_i$ de X avec leurs probabilités $P(X = x_i)$ — et la somme fait 1, toujours.

ESPÉRANCE

$E(X) = x_1 p_1 + \dots + x_n p_n$ : la moyenne par partie, sur un grand nombre de parties.

VARIANCE

$V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$ : la dispersion autour de la moyenne, en unité au carré.

ÉCART TYPE

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$, dans l'unité de X : petit σ, jeu régulier ; grand σ, jeu à secousses.

BERNOULLI

Épreuves identiques et indépendantes : arbre avec p partout ; $P(X = k)$ = nombre de chemins × produit d'un chemin.

Exercices

15 corrigés

Commence par le niveau 1. Cherche vraiment avant d'ouvrir le corrigé — c'est là que ça rentre. Les exercices suivent l'ordre du cours : loi de probabilité, espérance, variance et écart type, épreuves de Bernoulli répétées, puis deux problèmes de synthèse. Beaucoup se font sans calculatrice — entraîne-toi comme ça, l'épreuve de fin de Première le demande.

EXERCICE 01 · variable aléatoire niveau 1

On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. X vaut 3 si la carte est un as, 1 si c'est une figure (roi, dame ou valet), 0 sinon. a. Quelles valeurs prend X ? b. Établis la loi de probabilité de X. c. Vérifie ta loi.

EXERCICE 02 · compléter une loi niveau 1

X prend les valeurs −5, 0, 5 et 10 avec $P(X = -5) = 0{,}1$, $P(X = 0) = 0{,}45$ et $P(X = 10) = 0{,}2$. a. Calcule $P(X = 5)$. b. Calcule $P(X \geqslant 5)$.

EXERCICE 03 · la tombola niveau 1

Une tombola vend 100 tickets à 2 €. Un ticket gagne 20 €, quatre gagnent 5 €, quinze gagnent 2 €, les autres ne gagnent rien. Tu achètes un ticket ; X est ton gain net. a. Établis la loi de X. b. Calcule la probabilité de ne pas perdre d'argent.

EXERCICE 04 · gain brut, gain net niveau 2

À la pêche aux canards, il y a 12 canards : 2 marqués « 9 € », 4 marqués « 3 € », 6 sans marque. La partie coûte 3 € et on attrape un canard au hasard. X est le gain net. a. Établis la loi de X. b. Quelle est la probabilité de perdre de l'argent ?

EXERCICE 05 · espérance niveau 1

Une appli de fidélité offre une récompense surprise à chaque passage en caisse : rien avec la probabilité 0,3, un bon de 5 € avec la probabilité 0,5, un bon de 10 € avec la probabilité 0,2. X est le montant reçu. a. Calcule E(X). b. Interprète ce nombre par une phrase.

EXERCICE 06 · jeu équitable niveau 2

On reprend la pêche aux canards de l'exercice 04 (loi de X : −3, 0, 6 avec $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{1}{6}$). a. Calcule E(X) et interprète. b. À quel prix faudrait-il vendre la partie pour que le jeu soit équitable ?

EXERCICE 07 · paramètre inconnu niveau 2

X prend les valeurs −1, 2 et 4 avec $P(X = -1) = p$, $P(X = 2) = 0{,}3$ et $P(X = 4) = 0{,}1$. a. Détermine p. b. Calcule E(X). c. Le jeu est-il favorable au joueur ?

EXERCICE 08 · variance et écart type niveau 2

Une borne d'arcade rend des tickets de manège : X vaut 2, 4 ou 6 tickets avec les probabilités 0,25 ; 0,5 ; 0,25. a. Calcule E(X). b. Calcule V(X) avec la formule $V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$. c. Retrouve V(X) avec la définition, puis donne σ(X).

EXERCICE 09 · comparer deux jeux niveau 2

Retrouve à la main ce que le graphique de la section 4 montrait. Roue sage : X vaut −2, 0, +2 avec 0,3 ; 0,6 ; 0,1. Roue folle : Y vaut −2, +14 avec 0,9 ; 0,1. a. Vérifie que E(X) = E(Y) = −0,4. b. Calcule V(X), V(Y), puis les deux écarts types. c. Un joueur déteste les mauvaises surprises : quelle roue lui conseilles-tu ?

EXERCICE 10 · Bernoulli, n = 2 niveau 2

Une joueuse réussit ses tirs au but avec la probabilité 0,7, et ses tirs sont supposés indépendants. Elle tire deux fois ; X est le nombre de buts. a. Dessine l'arbre. b. Établis la loi de X. c. Calcule E(X). Que remarques-tu ?

EXERCICE 11 · au moins un succès niveau 2

Dans un jeu vidéo, chaque coffre contient un objet rare avec la probabilité 0,2, indépendamment des autres. Tu ouvres trois coffres ; X est le nombre d'objets rares. a. Calcule la probabilité d'obtenir au moins un objet rare. b. Calcule $P(X = 1)$.

EXERCICE 12 · quatre répétitions niveau 3

Un QCM compte 4 questions à 4 réponses possibles chacune. Un élève répond entièrement au hasard ; X est son nombre de bonnes réponses. a. Justifie qu'il s'agit d'une succession d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, et précise p. b. Calcule $P(X = 0)$ et $P(X = 4)$ sous forme de fractions. c. Montre que la probabilité d'avoir au moins une bonne réponse vaut $\dfrac{175}{256}$.

EXERCICE 13 · lecture de code Python niveau 2

On a écrit ce programme Python (la fonction random() renvoie un nombre au hasard entre 0 et 1) :

from random import random

def partie():
    r = random()
    if r < 0.5:
        return -2
    elif r < 0.8:
        return 0
    else:
        return 3

def moyenne(N):
    total = 0
    for i in range(N):
        total = total + partie()
    return total / N

a. Justifie que partie() simule une partie de la roue du chapitre. b. Que calcule moyenne(1000) ? c. Autour de quelle valeur se stabilise moyenne(N) quand N devient très grand ?

EXERCICE 14 · problème : l'assurance niveau 3

Un assureur propose une assurance casse pour smartphone à 25 € par an. Il estime qu'un client casse son écran dans l'année avec la probabilité 0,2 ; la réparation, à sa charge, coûte alors 90 €. X est le gain annuel de l'assureur pour un contrat. a. Établis la loi de X. b. Calcule E(X) et interprète pour 10 000 contrats. c. Du point de vue du client, l'espérance est de −7 € : pourquoi accepte-t-il un jeu défavorable ?

VERS LE BAC — EXERCICE 15 ≈ 45 MIN · SANS CALCULATRICE

Pour financer le voyage de fin d'année, le foyer du lycée vend des tickets de grattage à 2 €, imprimés en très grand nombre : 5 % des tickets rapportent 12 €, 20 % rapportent 4 €, les autres ne rapportent rien. On note X le gain net (montant rapporté moins prix du ticket) d'un acheteur.

PARTIE A — UN TICKET

Justifie que X prend les valeurs 10, 2 et −2, puis établis la loi de probabilité de X.
Calcule E(X) et interprète ce résultat pour un acheteur.
Le foyer espère vendre 200 tickets. Quelle recette moyenne peut-il prévoir grâce à ce jeu ?
Calcule V(X), puis montre, sans calculatrice, que $2{,}9 < \sigma(X) < 3$.

PARTIE B — TROIS TICKETS

Un ticket est « gagnant » s'il rapporte un lot. Trois élèves achètent chacun un ticket. Justifie que le nombre Y de tickets gagnants suit le cadre d'une succession de trois épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, avec $p = \dfrac{1}{4}$.
Calcule $P(Y = 0)$, puis la probabilité qu'au moins un des trois tickets soit gagnant. On donnera les résultats sous forme de fractions.
Montre que $P(Y = 1) = P(Y = 0)$. Étonnant, non ?

CHAPITRE SUIVANT

Les statistiques

Un point pas clair ? Écris-moi.