Les suites : récurrence et limites

SOMMAIRE

1. La dose qui se stabilise

Un patient prend 3 mg d'un médicament chaque matin. Son corps, lui, élimine 30 % de ce qui est présent dans le sang entre deux prises. Note $u_n$ la quantité dans le sang juste après la prise du jour $n$ : chaque matin, il reste 70 % de la veille, plus les 3 mg du jour. Tu sais l'écrire depuis le chapitre sur les suites :

$$u_0 = 0 \qquad u_{n+1} = 0{,}7\,u_n + 3$$

Calcule les premiers termes : $u_1 = 3$, $u_2 = 5{,}1$, $u_3 = 6{,}57$, $u_4 \approx 7{,}60$… La quantité monte, de moins en moins vite, et semble se tasser sous une valeur plafond, autour de 10 mg. Regarde le nuage de points : il raconte exactement ça.

La dose jour après jour : les points grimpent vers le plateau à 10 mg — sans jamais le toucher.

Ce dessin pose les deux questions du chapitre. D'abord : la quantité restera-t-elle sous 10 mg pour toujours ? Vérifier les 15 premiers jours ne prouve rien pour le 16ᵉ — il te faut un raisonnement capable de couvrir une infinité de rangs d'un coup. Ensuite : que veut dire, proprement, « la dose se rapproche de 10 » ? Elle ne vaut jamais 10, et pourtant tout le monde sent bien qu'elle « y tend ». Ce chapitre fabrique les deux outils : la récurrence, puis la limite.

2. Le raisonnement par récurrence

Commence par l'outil de preuve. L'image à avoir en tête : une file infinie de dominos, un par entier naturel. Le domino $n$ porte une affirmation $P(n)$ — par exemple « $u_n < 10$ ». Fais tomber toute la file : de quoi as-tu besoin, exactement ? Essaie les réglages, en particulier celui où personne ne pousse le premier domino.

rien n'est démontré

Ce que tu viens de faire avec la main, voilà comment on l'écrit. Il faut les deux ingrédients : une poussée de départ, et une transmission de proche en proche.

DÉFINITION

Soit $P(n)$ une propriété qui dépend d'un entier naturel $n$, et $n_0$ un entier naturel. Le raisonnement par récurrence repose sur le principe suivant : si

Initialisation — $P(n_0)$ est vraie ;

Hérédité — pour tout entier $n \geq n_0$, si $P(n)$ est vraie, alors $P(n+1)$ est vraie ;

alors $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_0$.

POURQUOI ?

Dans l'hérédité, on ne suppose pas que $P(n)$ est vraie pour tout $n$ — ce serait supposer ce qu'on veut démontrer. On suppose $P(n)$ vraie pour un rang $n$ quelconque, et on montre que la vérité se transmet au rang suivant. C'est le geste du domino : on ne fait pas tomber toute la file à la main, on vérifie qu'une chute en entraîne une autre. La poussée initiale fait le reste.

MÉTHODE — RÉDIGER UNE RÉCURRENCE

1.Nomme la propriété : « pour $n \geq n_0$, on note $P(n)$ la propriété : … ». Une phrase précise, qui dépend de $n$.

2.Initialisation : vérifie $P(n_0)$ par un calcul direct.

3.Hérédité : suppose $P(n)$ vraie pour un entier $n \geq n_0$ fixé (l'hypothèse de récurrence), et démontre $P(n+1)$. Pars de l'hypothèse, transforme-la jusqu'à la propriété au rang $n+1$.

4.Conclusion : « par récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_0$ ».

EXEMPLE RÉSOLU — LA FORMULE EXPLICITE DE LA DOSE

Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 10 - 10 \times 0{,}7^n$ — la formule explicite de la suite de la dose.

Étape 1 — Pour $n \geq 0$, on note $P(n)$ la propriété : « $u_n = 10 - 10 \times 0{,}7^n$ ».

Étape 2 — Initialisation : $10 - 10 \times 0{,}7^0 = 10 - 10 = 0 = u_0$. $P(0)$ est vraie.

Étape 3 — Hérédité : soit $n$ un entier tel que $P(n)$ est vraie. Alors $u_{n+1} = 0{,}7\,u_n + 3 = 0{,}7\left(10 - 10 \times 0{,}7^n\right) + 3 = 7 - 10 \times 0{,}7^{n+1} + 3 = 10 - 10 \times 0{,}7^{n+1}$ : c'est $P(n+1)$.

Étape 4 — Conclusion : par récurrence, $u_n = 10 - 10 \times 0{,}7^n$ pour tout entier naturel $n$.

Conclusion : la formule est démontrée pour une infinité de rangs — en quatre lignes. Note le geste clé de l'hérédité : partir de $u_{n+1} = 0{,}7\,u_n + 3$ et y injecter l'hypothèse de récurrence.

À RETENIR

Une récurrence sans initialisation ne démontre rien ; une initialisation sans hérédité non plus. Les deux, puis conclure.

Q1L'hérédité est démontrée, mais pas l'initialisation. Que peut-on conclure ?

Q2Une récurrence initialisée au rang 3 démontre $P(n)$…

Q3Dans l'hérédité, on suppose que…

3. Tendre vers 10 : la limite d'une suite

Deuxième outil. « La dose se rapproche de 10 » : d'accord, mais $u_n$ ne vaut jamais 10 — alors qu'est-ce qu'on affirme, au juste ? Voici le test qui rend l'idée précise. Trace une bande autour de 10, aussi étroite que tu veux : si la suite tend vers 10, alors à partir d'un certain rang $N$, tous les termes sont dans la bande — et aucun n'en ressort. Resserre la bande, change de suite, et regarde le rang $N$ répondre.

Tu viens de manipuler la définition. La voici, mot pour mot.

DÉFINITION

Soit $(u_n)$ une suite et $L$ un réel. On dit que $(u_n)$ tend vers $L$ (ou converge vers $L$) si tout intervalle ouvert contenant $L$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On note $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = L$, et la suite est dite convergente. Sa limite est alors unique.

On dit que $(u_n)$ tend vers $+\infty$ si tout intervalle $\left]A\;;\, +\infty\right[$ contient tous les termes à partir d'un certain rang — aucun plafond ne retient la suite. (Définition analogue pour $-\infty$.)

Une suite qui ne converge pas est dite divergente : soit elle tend vers $\pm\infty$, soit elle n'a pas de limite du tout, comme $\left((-1)^n\right)$.

POURQUOI ?

Remarque ce que la définition ne demande pas : que la suite atteigne $L$. La dose ne vaut jamais 10, et tend vers 10 quand même — le test de la bande réussit pour n'importe quel rayon, c'est tout ce qui compte. Et le rang $N$ a le droit de dépendre du rayon : plus la bande est étroite, plus $N$ est grand. Tu l'as vu au curseur.

À RETENIR

Tendre vers $L$, c'est réussir le test de la bande pour tous les rayons. Atteindre $L$ n'est pas demandé.

Q1« $(u_n)$ tend vers 10 » signifie que…

Q2La suite $u_n = (-1)^n$…

Q3Une suite tend vers $+\infty$ quand…

4. Calculer une limite : opérations et $q^n$

La définition dit ce qu'est une limite ; elle est pénible pour la calculer. Au quotidien, tu combineras des limites connues avec des règles d'opérations — et presque toutes sont celles que le bon sens suggère. Mais d'abord, muscle ton œil : voici cinq suites, à toi de trouver leur limite. Méfie-toi, le dessin ne dit pas tout.

$u_n = 3 + 4 \times 0{,}5^n$. Sa limite ?

PROPRIÉTÉ — OPÉRATIONS SUR LES LIMITES

Les limites se combinent comme on l'espère : la limite d'une somme est la somme des limites, idem pour un produit ou un quotient — chaque fois que le calcul final a un sens. Par exemple, si $u_n \to 2$ et $v_n \to +\infty$, alors $u_n + v_n \to +\infty$, $u_n \times v_n \to +\infty$ et $\dfrac{u_n}{v_n} \to 0$.

Quatre situations ne se décident pas par les règles — les formes indéterminées :

$$\infty - \infty \qquad 0 \times \infty \qquad \dfrac{\infty}{\infty} \qquad \dfrac{0}{0}$$

« Indéterminée » ne veut pas dire « sans limite » : chaque cas particulier a peut-être une limite, mais il faut transformer l'écriture pour la voir.

MÉTHODE — LEVER UNE FORME INDÉTERMINÉE

1.Repère le terme dominant : la plus grande puissance de $n$ (ou le $q^n$ le plus fort).

2.Factorise par ce terme (dans un quotient : haut et bas).

3.Les morceaux restants sont des $\dfrac{c}{n^k}$ qui tendent vers 0 : conclus avec les opérations.

EXEMPLES RÉSOLUS — DEUX INDÉTERMINATIONS LEVÉES

a. Limite de $u_n = n^2 - 5n$ ?

Étape 1 — « $\infty - \infty$ » : forme indéterminée. Le terme dominant est $n^2$.

Étape 2 — $u_n = n^2\left(1 - \dfrac{5}{n}\right)$, et $\dfrac{5}{n} \to 0$.

Conclusion : $n^2 \to +\infty$ et $1 - \dfrac{5}{n} \to 1$, donc $u_n \to +\infty$.

b. Limite de $v_n = \dfrac{2n+1}{n+3}$ ?

Étape 1 — « $\infty/\infty$ » : indéterminée. Divise haut et bas par $n$.

Étape 2 — $v_n = \dfrac{2 + 1/n}{1 + 3/n}$, et les deux $1/n$ tendent vers 0.

Conclusion : $v_n \to \dfrac{2}{1} = 2$.

Reste la famille que tu connais le mieux : les suites géométriques. Leur destin ne dépend que de la position de $q$ par rapport à $-1$ et $1$.

PROPRIÉTÉ — LIMITE DE $q^n$

Si $-1 < q < 1$ : $q^n \to 0$. $\quad$ Si $q > 1$ : $q^n \to +\infty$. $\quad$ Si $q = 1$ : $q^n = 1 \to 1$.

Si $q \leq -1$ : $(q^n)$ n'a pas de limite — les termes sautent d'un signe à l'autre sans se calmer.

Q1$\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\,(n^2 - n)$ ?

Q2$\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\, 5 \times 0{,}8^n$ ?

Q3$\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\,(-2)^n$ ?

5. Comparer, encadrer, conclure

Dernière famille d'outils, pour les suites dont on ne sait pas calculer la limite directement. L'idée : coincer la suite. Voici $u_n = \dfrac{\sin(n)}{n}$ — le numérateur saute dans tous les sens, aucune règle d'opération ne s'applique. Mais fais glisser $n$ et regarde le couloir : la suite vit entre $-\dfrac{1}{n}$ et $\dfrac{1}{n}$, deux gendarmes qui se referment sur 0.

PROPRIÉTÉ — COMPARAISON ET GENDARMES

Comparaison. Si $u_n \geq v_n$ à partir d'un certain rang et $v_n \to +\infty$, alors $u_n \to +\infty$. (Et de même vers $-\infty$, par au-dessous.)

Gendarmes. Si $v_n \leq u_n \leq w_n$ à partir d'un certain rang et si $(v_n)$ et $(w_n)$ tendent vers le même réel $L$, alors $u_n \to L$.

MÉTHODE — ENCADRER POUR CONCLURE

1.Repère le morceau borné : $-1 \leq \sin(n) \leq 1$, $-1 \leq (-1)^n \leq 1$…

2.Encadre $u_n$ tout entier à partir de là (attention au sens des inégalités si tu multiplies par un négatif).

3.Calcule la limite des deux bornes : mêmes limites $L$ → gendarmes ; borne inférieure vers $+\infty$ → comparaison.

EXEMPLE RÉSOLU — LES GENDARMES EN ACTION

Montrons que $u_n = \dfrac{\sin(n)}{n} \to 0$.

Étape 1 — Pour tout $n \geq 1$, $-1 \leq \sin(n) \leq 1$.

Étape 2 — En divisant par $n > 0$ : $-\dfrac{1}{n} \leq \dfrac{\sin(n)}{n} \leq \dfrac{1}{n}$.

Étape 3 — $-\dfrac{1}{n} \to 0$ et $\dfrac{1}{n} \to 0$ : par le théorème des gendarmes, $u_n \to 0$.

Conclusion : on n'a jamais eu besoin de savoir ce que vaut $\sin(n)$ — seulement de savoir qu'il est coincé. C'est toute la force du théorème.

Un dernier théorème, et il boucle le chapitre. Reviens à la dose : tu as prouvé par récurrence qu'elle reste sous 10, et on vérifie de même qu'elle monte. Croissante et plafonnée… peut-elle faire autre chose que se stabiliser ?

DÉFINITION

Une suite $(u_n)$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que $u_n \leq M$ pour tout $n$ ; minorée s'il existe $m$ tel que $u_n \geq m$ pour tout $n$ ; bornée si elle est les deux.

PROPRIÉTÉ — THÉORÈME DE LA LIMITE MONOTONE (admis)

Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge.

Et si une suite croissante n'est pas majorée, elle tend vers $+\infty$.

POURQUOI ?

Attention à ce que le théorème ne dit pas : il garantit que la limite existe, pas qu'elle vaut le majorant. La dose est croissante et majorée par 10, donc elle converge — mais aussi majorée par 11, par 50… Le théorème seul dit « limite $\leq 10$ » ; c'est la formule explicite $u_n = 10 - 10 \times 0{,}7^n$ et la limite de $0{,}7^n$ qui donnent la valeur : exactement 10.

Q1Pour tout $n$, $u_n \geq n^2$. Peut-on conclure ?

Q2Une suite croissante et majorée par 10…

Q3Pour tout $n \geq 1$, $-\dfrac{1}{n} \leq u_n \leq \dfrac{1}{n}$. Alors…

Q4La dose est croissante et $u_n < 10$ pour tout $n$. Le théorème de la limite monotone garantit que sa limite $L$ vérifie…

LES PIÈGES CLASSIQUES

Oublier l'initialisation. L'hérédité seule ne démontre rien — les dominos restent debout si personne ne pousse le premier. Exemple parlant : « $3^n$ est pair » est héréditaire (si $3^n$ est pair, $3^{n+1} = 3 \times 3^n$ l'est aussi)… et faux pour tout $n$.

Croire qu'une suite croissante tend vers $+\infty$. La dose croît et reste sous 10 toute sa vie. Croissante + majorée = convergente — c'est même un théorème du chapitre.

Traiter « $\infty - \infty$ » comme 0. Les deux infinis ne se « compensent » pas : $n^2 - n \to +\infty$, $n - n^2 \to -\infty$, $(n+3) - n \to 3$. Trois destins pour la même forme — c'est bien pour ça qu'elle est indéterminée : factorise.

Garder une inégalité stricte à la limite. De $u_n < 10$ pour tout $n$, on déduit $\lim u_n \leq 10$ — pas $<$. Témoin : $\dfrac{1}{n} > 0$ pour tout $n$, et pourtant sa limite vaut 0.

« Elle ne l'atteint jamais, donc ce n'est pas sa limite. » Faux : la définition ne demande pas d'atteindre $L$, seulement de réussir le test de la bande pour tous les rayons. La dose ne vaut jamais 10 et tend vers 10.

L'ESSENTIEL EN 5 LIGNES

RÉCURRENCE

Initialisation ($P(n_0)$ vraie) + hérédité ($P(n) \Rightarrow P(n+1)$) $\Rightarrow$ $P(n)$ vraie pour tout $n \geq n_0$.

LIMITE

$u_n \to L$ : tout intervalle ouvert contenant $L$ capture tous les termes à partir d'un rang. $u_n \to +\infty$ : tout plafond est dépassé définitivement.

qⁿ

$-1 < q < 1 \Rightarrow q^n \to 0$ ; $q > 1 \Rightarrow q^n \to +\infty$ ; $q \leq -1 \Rightarrow$ pas de limite ; $q = 1 \Rightarrow q^n \to 1$.

FORMES IND.

« $\infty - \infty$ », « $0 \times \infty$ », « $\infty/\infty$ », « $0/0$ » : factoriser par le terme dominant.

THÉORÈMES

Comparaison (vers $\pm\infty$) ; gendarmes (vers $L$) ; croissante + majorée $\Rightarrow$ convergente (limite monotone).

Exercices

15 corrigés

Commence par le niveau 1. Cherche vraiment avant d'ouvrir le corrigé — c'est là que ça rentre. Les exercices suivent l'ordre du cours : récurrence, définition de la limite, opérations et formes indéterminées, $q^n$, comparaison et encadrement, limite monotone, et un problème pour finir.

EXERCICE 01 · principe de récurrence niveau 1

Vrai ou faux, en justifiant : a. si l'hérédité est vraie mais pas l'initialisation, $P(n)$ peut être fausse pour tout $n$ ; b. une récurrence initialisée au rang 5 démontre $P(n)$ pour tout $n \geq 0$ ; c. dans l'hérédité, on suppose $P(n)$ vraie pour tout entier $n$.

EXERCICE 02 · récurrence · formule explicite niveau 2

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 2u_n - 3$. Montre par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 3 - 2^n$.

EXERCICE 03 · récurrence · inégalité niveau 2

La suite de la dose vérifie $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = 0{,}7\,u_n + 3$. Montre par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0 \leq u_n < 10$.

EXERCICE 04 · récurrence · divisibilité niveau 3

Montre par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $4^n - 1$ est divisible par 3.

EXERCICE 05 · définition de la limite niveau 1

Vrai ou faux, en justifiant : a. si $(u_n)$ tend vers 5, alors $u_n = 5$ à partir d'un certain rang ; b. si tous les termes de $(u_n)$ sont dans $\left]4{,}9\;;\, 5{,}1\right[$ à partir du rang 200, alors $(u_n)$ tend vers 5 ; c. la suite $u_n = (-1)^n$ est divergente.

EXERCICE 06 · opérations niveau 1

Détermine les limites suivantes : a. $\displaystyle\lim\left(5 + \dfrac{3}{n}\right)$ ; b. $\displaystyle\lim\left(n^2 + n\right)$ ; c. $\displaystyle\lim \dfrac{4}{n^2 + 1}$ ; d. $\displaystyle\lim\left(2 - \dfrac{1}{n}\right)\left(3 + \dfrac{1}{n^2}\right)$.

EXERCICE 07 · forme indéterminée · polynôme niveau 2

Détermine les limites de $u_n = n^2 - 7n + 3$ et de $v_n = 3n - n^3$.

EXERCICE 08 · forme indéterminée · quotient niveau 2

Détermine les limites de $u_n = \dfrac{3n - 1}{2n + 5}$ et de $v_n = \dfrac{n + 5}{n^2 + 1}$.

EXERCICE 09 · limite de qⁿ niveau 1

Détermine les limites : a. $0{,}3^n$ ; b. $5 \times 1{,}2^n$ ; c. $(-0{,}5)^n$ ; d. $7 - 2 \times 0{,}9^n$.

EXERCICE 10 · comparaison niveau 2

Soit $u_n = n + \sin(n)$. Montre que $(u_n)$ tend vers $+\infty$.

EXERCICE 11 · gendarmes niveau 2

Soit $u_n = \dfrac{3 + (-1)^n}{n}$ pour $n \geq 1$. a. Encadre $u_n$. b. Déduis-en sa limite.

EXERCICE 12 · limite monotone niveau 2

On reprend la dose : $u_0 = 0$, $u_{n+1} = 0{,}7\,u_n + 3$, et on sait (exercice 03) que $0 \leq u_n < 10$ pour tout $n$. a. Montre que $(u_n)$ est croissante. b. Justifie que $(u_n)$ converge. c. Détermine sa limite à l'aide de la formule explicite $u_n = 10 - 10 \times 0{,}7^n$.

EXERCICE 13 · étude complète niveau 3

Soit $u_n = \dfrac{3n + 1}{n + 2}$ pour $n \geq 0$. a. Montre que $u_{n+1} - u_n = \dfrac{5}{(n+3)(n+2)}$ et déduis-en le sens de variation. b. Montre que $3 - u_n = \dfrac{5}{n+2}$ et déduis-en que $(u_n)$ est majorée par 3. c. Justifie que $(u_n)$ converge, puis détermine sa limite.

EXERCICE 14 · problème niveau 3

Une commune replante une forêt : chaque année, 5 % des arbres meurent et 400 nouveaux arbres sont plantés. Elle compte 2 000 arbres au départ. On note $u_n$ le nombre d'arbres après $n$ années, et on admet que $u_n = 8\,000 - 6\,000 \times 0{,}95^n$. a. Justifie que $u_{n+1} = 0{,}95\,u_n + 400$, puis calcule $u_1$. b. Montre par récurrence que $u_n < 8\,000$ pour tout $n$. c. Montre que $(u_n)$ est croissante. d. Détermine la limite de $(u_n)$ et interprète-la concrètement.

VERS LE BAC — EXERCICE 15 ≈ 45 MIN · CALCULATRICE UTILE

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 8$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0{,}75\,u_n + 1$.

PARTIE A

Calcule $u_1$ et $u_2$.
Montre par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n > 4$.
Montre que la suite $(u_n)$ est décroissante.
Justifie que $(u_n)$ converge.

PARTIE B

On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n = u_n - 4$.

Montre que $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}75$, et précise $v_0$.
Exprime $v_n$, puis $u_n$, en fonction de $n$.
Détermine la limite de la suite $(u_n)$.

CHAPITRE SUIVANT

Les limites de fonctions

Un point pas clair ? Écris-moi.

1. La dose qui se stabilise

2. Le raisonnement par récurrence

3. Tendre vers 10 : la limite d'une suite

4. Calculer une limite : opérations et \(q^n\)

5. Comparer, encadrer, conclure

Exercices