Les limites de fonctions — Terminale Spé Maths

SOMMAIRE

1. Le prix d'un tote bag

Tu lances une petite marque de tote bags sérigraphiés. Préparer l'écran d'impression coûte 60 € — une seule fois — puis chaque sac imprimé coûte 4 €. Si tu en imprimes $x$, le coût par sac est donc :

$$f(x) = \dfrac{60 + 4x}{x} = 4 + \dfrac{60}{x}$$

Fais les comptes : 10 sacs → 10 € pièce. 30 sacs → 6 €. 60 sacs → 5 €. 300 sacs → 4,20 €. 1 200 sacs → 4,05 €… Plus la série est grande, plus les 60 € de départ se diluent : le prix par sac glisse vers 4 € — le coût incompressible de chaque sac — sans jamais l'atteindre. Et dans l'autre sens ? Imprimer 3 sacs coûte 24 € pièce, en imprimer 1 coûte 64 € : près de zéro, le prix explose.

Le coût par sac : 10 € pour 10 sacs, puis la courbe s'aplatit sur la droite $y = 4$ — et remonte en flèche près de zéro.

Deux comportements, deux questions. Que fait $f$ quand $x$ devient immense — et que signifie ce plancher à 4 € ? Que fait $f$ tout près de 0 — et comment décrire cette explosion ? Ce chapitre donne un nom aux deux : asymptote horizontale, asymptote verticale. Tu connais déjà les limites de suites ; ici la variable $x$ est réelle, mais les idées — et presque tous les théorèmes — sont les mêmes.

2. Vers l'infini : l'asymptote horizontale

Vérifie le plancher toi-même. Pousse $x$ au bout de la fenêtre… puis dézoome, et recommence. La bande autour de 4 joue le rôle que tu connais du chapitre sur les suites : si la courbe finit par y entrer pour toujours, quelle que soit sa largeur, alors 4 est la limite.

Ce que tu viens de faire avec la main, voilà comment on l'écrit.

DÉFINITION

Soit $f$ définie au voisinage de $+\infty$ et $L$ un réel. On dit que $f$ tend vers $L$ en $+\infty$ si tout intervalle ouvert contenant $L$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand. On note $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$, et la droite d'équation $y = L$ est alors asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $+\infty$.

On dit que $f$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$ si $f(x)$ dépasse tout plafond pour $x$ assez grand. (Définitions analogues en $-\infty$, et vers $-\infty$.)

MÉTHODE — DÉMONTRER UNE ASYMPTOTE HORIZONTALE

1.Calcule $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$. Une limite finie $L$ → la droite $y = L$ est asymptote.

2.Pour la position de la courbe par rapport à l'asymptote, étudie le signe de $f(x) - L$ : positif → courbe au-dessus, négatif → au-dessous.

EXEMPLE RÉSOLU — LE PLANCHER DES 4 €

Montrons que $y = 4$ est asymptote à la courbe du coût moyen $f(x) = 4 + \dfrac{60}{x}$ en $+\infty$, et situons la courbe.

Étape 1 — $\dfrac{60}{x} \to 0$ quand $x \to +\infty$, donc $f(x) \to 4$ : la droite $y = 4$ est asymptote horizontale en $+\infty$.

Étape 2 — $f(x) - 4 = \dfrac{60}{x} > 0$ pour $x > 0$ : la courbe reste au-dessus de son asymptote.

Conclusion : le prix par sac plonge vers 4 € en restant toujours au-dessus — les 60 € de l'écran ne disparaissent jamais tout à fait, ils se diluent.

Q1« $y = 2$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ » signifie que…

Q2$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(4 + \dfrac{60}{x}\right)$ ?

Q3Une courbe peut-elle traverser son asymptote horizontale ?

3. L'explosion près d'un point : l'asymptote verticale

Deuxième comportement du tote bag : près de $x = 0$, le prix explose. Pour l'étudier proprement, prends la fonction la plus simple qui explose : $g(x) = \dfrac{1}{x - 2}$, interdite en 2. Approche-toi de 2, d'un côté puis de l'autre — et regarde les deux destins.

DÉFINITION

Soit $a$ un réel. On dit que $f$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $a$ si $f(x)$ dépasse tout plafond dès que $x$ est assez proche de $a$. La droite d'équation $x = a$ est alors asymptote verticale à la courbe de $f$. (Définitions analogues vers $-\infty$, et pour une approche d'un seul côté, notée $x \to a^+$ ou $x \to a^-$.)

MÉTHODE — LIMITE EN UN POINT INTERDIT

1.Calcule la limite du numérateur et celle du dénominateur en $a$. Cas typique : numérateur → constante non nulle, dénominateur → 0.

2.Détermine le signe du dénominateur de chaque côté de $a$ (petit tableau de signes).

3.Conclus côté par côté avec la règle des signes : $\frac{+}{0^+} \to +\infty$, $\frac{+}{0^-} \to -\infty$, etc.

EXEMPLE RÉSOLU — LES DEUX CÔTÉS DE 2

Étudions les limites de $g(x) = \dfrac{1}{x-2}$ quand $x \to 2$.

Étape 1 — Le numérateur vaut 1 ; le dénominateur $x - 2$ tend vers 0. Explosion garantie — reste le signe.

Étape 2 — Pour $x > 2$, $x - 2 > 0$ ; pour $x < 2$, $x - 2 < 0$.

Étape 3 — $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} g(x) = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} g(x) = -\infty$. La droite $x = 2$ est asymptote verticale.

Conclusion : une seule asymptote verticale, deux comportements. Ne réponds jamais « $\infty$ » sans préciser le signe — et donc le côté.

Voici enfin le petit stock de limites qu'on utilise sans arrêt — celles des fonctions de référence. Tu les connais presque toutes de vue.

LIMITES DE RÉFÉRENCE À CONNAÎTRE PAR CŒUR

f(x)	en $-\infty$	en $+\infty$	en 0
$x^2$	$+\infty$	$+\infty$	—
$x^3$	$-\infty$	$+\infty$	—
$\sqrt{x}$	—	$+\infty$	—
$\dfrac{1}{x}$	$0$	$0$	$+\infty$ en $0^+$, $-\infty$ en $0^-$
$\dfrac{1}{x^2}$	$0$	$0$	$+\infty$ des deux côtés
$e^x$	$0$	$+\infty$	—

Q1$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x}$ ?

Q2$\displaystyle\lim_{x \to 2^-} \dfrac{5}{x - 2}$ ?

Q3La courbe du coût par sac $f(x) = 4 + \dfrac{60}{x}$ admet pour asymptote verticale…

4. Calculer : opérations, formes indéterminées, composée

Bonne nouvelle : les règles d'opérations et les quatre formes indéterminées sont exactement celles du chapitre sur les suites — somme, produit, quotient, et les mêmes quatre conflits à trancher en factorisant. Avant les méthodes, entraîne l'œil : cinq courbes, cinq limites en $+\infty$.

$f(x) = 5 + \dfrac{1}{x}$. Sa limite en $+\infty$ ?

PROPRIÉTÉ — OPÉRATIONS ET FORMES INDÉTERMINÉES

Somme, produit, quotient de limites : mêmes règles que pour les suites, dès que le calcul final a un sens — et ceci pour des limites en $+\infty$, en $-\infty$ ou en un point $a$. Les mêmes quatre conflits restent indéterminés :

$$\infty - \infty \qquad 0 \times \infty \qquad \dfrac{\infty}{\infty} \qquad \dfrac{0}{0}$$

Réflexe inchangé : factoriser par le terme dominant (en $\pm\infty$, la plus grande puissance de $x$).

EXEMPLE RÉSOLU — UNE LIMITE EN −∞

Limite de $f(x) = x^3 - 5x^2$ quand $x \to -\infty$ ?

Étape 1 — « $-\infty - (+\infty)$ »… attention, en $-\infty$, $x^3 \to -\infty$ mais $-5x^2 \to -\infty$ aussi : pas de conflit ici, tout tire vers le bas. Vérifions proprement en factorisant quand même.

Étape 2 — $f(x) = x^3\left(1 - \dfrac{5}{x}\right)$ ; en $-\infty$, $x^3 \to -\infty$ et la parenthèse tend vers 1.

Conclusion : $f(x) \to -\infty$. En $-\infty$, garde un œil sur les signes des puissances : $x^2 \to +\infty$, $x^3 \to -\infty$.

Nouveauté de Terminale : les fonctions s'emboîtent. $\sqrt{4 + \dfrac{1}{x}}$, $e^{-x^2}$… Pour une composée, on enchaîne les limites, de l'intérieur vers l'extérieur.

PROPRIÉTÉ — LIMITE D'UNE COMPOSÉE (admise)

Si $\displaystyle\lim_{x \to \alpha} u(x) = \beta$ et $\displaystyle\lim_{X \to \beta} g(X) = \gamma$, alors $\displaystyle\lim_{x \to \alpha} g\!\left(u(x)\right) = \gamma$ — où $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ sont des réels ou $\pm\infty$.

EXEMPLE RÉSOLU — UNE COMPOSÉE EN DEUX TEMPS

Limite de $f(x) = \sqrt{4 + \dfrac{1}{x}}$ quand $x \to +\infty$ ?

Étape 1 — L'intérieur d'abord : $u(x) = 4 + \dfrac{1}{x} \to 4$.

Étape 2 — L'extérieur ensuite : quand $X \to 4$, $\sqrt{X} \to \sqrt{4} = 2$.

Conclusion : $f(x) \to 2$. Pose toujours l'intérieur $u$, calcule sa limite, puis passe-la à la fonction extérieure.

Dernier outil de calcul : quand l'exponentielle affronte une puissance de $x$, le match est joué d'avance — tu l'as vu dans le jeu.

PROPRIÉTÉ — CROISSANCE COMPARÉE (admise)

Pour tout entier $n \geq 1$ : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty$ $\quad$ et $\quad$ $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^n e^{-x} = 0$. En $-\infty$ : $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x\,e^{x} = 0$.

En un mot : l'exponentielle écrase les puissances de $x$ — elle gagne tous les « $\infty/\infty$ » et tous les « $0 \times \infty$ » où elle joue.

Q1Laquelle de ces formes est indéterminée ?

Q2$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^2$ ?

Q3$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{4 + \dfrac{1}{x}}$ ?

Q4$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^{10}}$ ?

5. Comparer et encadrer des fonctions

Comme pour les suites, certaines fonctions échappent au calcul direct. Voici $f(x) = \dfrac{2 + \sin x}{x}$ : le sinus ondule sans fin, aucune règle d'opérations ne conclura. Mais $2 + \sin x$ est coincé entre 1 et 3… Pousse $x$ et regarde le couloir faire le travail.

PROPRIÉTÉ — COMPARAISON ET GENDARMES

Comparaison. Si $f(x) \geq u(x)$ pour $x$ assez grand et $u(x) \to +\infty$, alors $f(x) \to +\infty$. (De même vers $-\infty$, par au-dessous.)

Gendarmes. Si $u(x) \leq f(x) \leq v(x)$ pour $x$ assez grand et si $u$ et $v$ tendent vers le même réel $L$ en $+\infty$, alors $f(x) \to L$. (Valable aussi en $-\infty$ et en un point.)

EXEMPLE RÉSOLU — L'ENCADREMENT QUI CONCLUT

Montrons que $f(x) = \dfrac{2 + \sin x}{x} \to 0$ quand $x \to +\infty$.

Étape 1 — Pour tout $x$, $-1 \leq \sin x \leq 1$, donc $1 \leq 2 + \sin x \leq 3$.

Étape 2 — En divisant par $x > 0$ : $\dfrac{1}{x} \leq f(x) \leq \dfrac{3}{x}$.

Étape 3 — $\dfrac{1}{x} \to 0$ et $\dfrac{3}{x} \to 0$ : par le théorème des gendarmes, $f(x) \to 0$.

Conclusion : la courbe ondule jusqu'au bout — et tend vers 0 quand même. L'encadrement remplace le calcul impossible.

À RETENIR

Un morceau borné ($\sin$, $\cos$) dans une limite ? Encadre-le, propage l'encadrement, et laisse les gendarmes conclure.

Q1Sur $\left[1\;;\,+\infty\right[$, $-\dfrac{1}{x^2} \leq f(x) \leq \dfrac{1}{x^2}$. Alors en $+\infty$…

Q2Pour $x \geq 0$, $f(x) \geq x - 1$. Peut-on conclure en $+\infty$ ?

Q3$f(x) = \dfrac{2 + \sin x}{x}$ oscille jusqu'à l'infini. Sa limite en $+\infty$…

LES PIÈGES CLASSIQUES

Écrire « $1/0 = \infty$ » sans regarder le côté. Un dénominateur qui tend vers 0 fait exploser le quotient, mais le signe dépend du côté d'approche : $\frac{1}{x-2} \to +\infty$ en $2^+$ et $-\infty$ en $2^-$. Toujours le petit tableau de signes.

Traiter « $\infty - \infty$ » comme 0. Le même piège que chez les suites, version fonctions : $x^2 - 100x$ tend vers $+\infty$, pas vers 0 — factorise par le terme dominant.

Croire que la courbe ne peut pas couper son asymptote. L'asymptote décrit l'infini, pas la route pour y aller : $\frac{\sin x}{x}$ traverse $y = 0$ une infinité de fois.

En $-\infty$, perdre les signes des puissances. $x^2 \to +\infty$ mais $x^3 \to -\infty$ : un carré rend positif, un cube garde le signe. Vérifie chaque puissance avant de conclure.

Faire gagner $x^n$ contre $e^x$. « $x^{10}$, c'est énorme »… et pourtant $e^x/x^{10} \to +\infty$ : la croissance comparée est une question de nature, pas de taille. L'exponentielle gagne toujours son match contre les puissances.

L'ESSENTIEL EN 5 LIGNES

RÉFÉRENCES

En $+\infty$ : $x^2$, $x^3$, $\sqrt{x}$, $e^x \to +\infty$ et $\dfrac{1}{x} \to 0$. En $0^\pm$ : $\dfrac{1}{x} \to \pm\infty$ selon le côté.

ASYMPTOTES

Horizontale $y = L$ si $f(x) \to L$ en $\pm\infty$ (position : signe de $f(x) - L$) ; verticale $x = a$ si $f$ explose près de $a$, côté par côté.

FORMES IND.

« $\infty - \infty$ », « $0 \times \infty$ », « $\infty/\infty$ », « $0/0$ » : factoriser par le terme dominant.

COMPOSÉE

Pose $u$ = l'intérieur : limite de $u$, puis limite de la fonction extérieure en ce point. De l'intérieur vers l'extérieur.

THÉORÈMES

Comparaison (vers $\pm\infty$), gendarmes (vers $L$) ; croissance comparée : $e^x$ écrase $x^n$.

Exercices

15 corrigés

Commence par le niveau 1. Cherche vraiment avant d'ouvrir le corrigé — c'est là que ça rentre. Les exercices suivent l'ordre du cours : lecture d'asymptotes, limites de référence, asymptotes horizontales puis verticales, opérations et formes indéterminées, composée, croissance comparée, comparaison et gendarmes, et un problème pour finir.

EXERCICE 01 · lire des asymptotes niveau 1

Une fonction $f$ vérifie : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 3$, $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 3$, $\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$. Donne les asymptotes de sa courbe, puis dessine à main levée une allure possible.

EXERCICE 02 · limites de référence niveau 1

Donne, sans calcul : a. $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^3$ ; b. $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x}$ ; c. $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^x$ ; d. $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x^2}$.

EXERCICE 03 · asymptote horizontale niveau 2

Soit $f(x) = \dfrac{3x + 1}{x + 2}$ définie sur $\left]-2\;;\, +\infty\right[$. a. Détermine $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et interprète graphiquement. b. Montre que $f(x) - 3 = \dfrac{-5}{x+2}$ et situe la courbe par rapport à son asymptote.

EXERCICE 04 · asymptote verticale niveau 2

Soit $g(x) = \dfrac{x + 3}{x - 2}$. Détermine $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} g(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} g(x)$, et conclus sur l'asymptote.

EXERCICE 05 · opérations niveau 1

Détermine : a. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(x^2 + e^x\right)$ ; b. $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(x^3 + x\right)$ ; c. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3}{\sqrt{x} + 1}$ ; d. $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(5 + e^x\right)$.

EXERCICE 06 · FI · polynôme niveau 2

Détermine les limites de $f(x) = x^3 - 5x^2$ en $+\infty$ et en $-\infty$.

EXERCICE 07 · FI · quotient niveau 2

Détermine : a. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x^2 + 1}{x^2 - 3}$ ; b. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x + 2}{x^2 + 1}$ ; c. $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{2x^2 + 1}{x^2 - 3}$.

EXERCICE 08 · composée niveau 2

Détermine : a. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{9 + \dfrac{1}{x^2}}$ ; b. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^{-x^2}$.

EXERCICE 09 · croissance comparée niveau 2

Détermine : a. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^2}$ ; b. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^2 e^{-x}$ ; c. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(e^x - x^3\right)$.

EXERCICE 10 · comparaison niveau 2

Soit $f(x) = x + \cos(x)$. Montre que $f(x) \to +\infty$ quand $x \to +\infty$.

EXERCICE 11 · gendarmes niveau 2

Soit $f(x) = \dfrac{\cos(x)}{x^2}$ sur $\left[1\;;\, +\infty\right[$. a. Encadre $f(x)$. b. Déduis-en sa limite en $+\infty$.

EXERCICE 12 · étude d'asymptotes niveau 3

Soit $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$, définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$. a. Détermine les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$. b. Détermine les limites en $1^+$ et $1^-$. c. Donne les asymptotes de la courbe. d. Montre que $f(x) - 2 = \dfrac{3}{x-1}$ et situe la courbe par rapport à son asymptote horizontale.

EXERCICE 13 · synthèse avec exp niveau 3

Soit $f(x) = (x + 2)\,e^{-x}$, définie sur $\mathbb{R}$. a. Détermine $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$ (tu pourras écrire $f(x) = \dfrac{x}{e^x} + \dfrac{2}{e^x}$). b. Détermine $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$. c. Que peux-tu en déduire pour la courbe ?

EXERCICE 14 · problème niveau 3

Retour à l'atelier de tote bags : pour $x$ sacs imprimés ($x > 0$), le coût par sac est $f(x) = 4 + \dfrac{60}{x}$ (en euros). a. Calcule $f(10)$ et $f(600)$. b. Montre que $f$ est strictement décroissante sur $\left]0\;;\,+\infty\right[$. c. Détermine la limite de $f$ en $+\infty$ et interprète-la. d. Détermine la limite de $f$ en $0^+$ et interprète-la. e. À partir de combien de sacs le coût unitaire passe-t-il sous 4,10 € ?

VERS LE BAC — EXERCICE 15 ≈ 45 MIN · SANS CALCULATRICE

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{3x^2 - 3}{x^2 + 1}$, et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

PARTIE A

Détermine les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$. Que peut-on en déduire pour $\mathcal{C}$ ?
Montre que pour tout réel $x$, $f(x) - 3 = \dfrac{-6}{x^2 + 1}$. Situe $\mathcal{C}$ par rapport à son asymptote.
Résous $f(x) = 0$ et interprète graphiquement.

PARTIE B

Montre que pour tout réel $x$, $f'(x) = \dfrac{12x}{\left(x^2 + 1\right)^2}$.
Étudie le signe de $f'(x)$ et dresse le tableau de variations complet de $f$ (limites comprises).
Déduis-en que pour tout réel $x$, $-3 \leq f(x) < 3$.

CHAPITRE SUIVANT

La continuité et le TVI

Un point pas clair ? Écris-moi.

f(x)	en \(-\infty\)	en \(+\infty\)	en 0
\(x^2\)	\(+\infty\)	\(+\infty\)	—
\(x^3\)	\(-\infty\)	\(+\infty\)	—
\(\sqrt{x}\)	—	\(+\infty\)	—
\(\dfrac{1}{x}\)	\(0\)	\(0\)	\(+\infty\) en \(0^+\), \(-\infty\) en \(0^-\)
\(\dfrac{1}{x^2}\)	\(0\)	\(0\)	\(+\infty\) des deux côtés
\(e^x\)	\(0\)	\(+\infty\)	—