CE QUE TU DOIS SAVOIR FAIRE — reconnaître une fonction continue, rédiger l'existence puis l'unicité d'une solution de \(f(x) = k\) avec le théorème des valeurs intermédiaires, encadrer cette solution par balayage ou dichotomie — et trouver la limite d'une suite \(u_{n+1} = f(u_n)\) par le point fixe.
≈ 60 min de travail · 15 exercices corrigés · mis à jour août 2026
SOMMAIRE ▾
1. Le thermomètre et le parking
Ce matin il faisait 5 °C, cet après-midi 19 °C. Peux-tu affirmer qu'à un moment de la journée, il a fait exactement 12 °C ? Oui — la température ne saute pas : pour passer de 5 à 19, elle traverse forcément toutes les valeurs intermédiaires. Aucun thermomètre ne passe de 11,9 à 12,1 sans franchir 12.
Compare avec le parking en centre-ville : 2 € jusqu'à une heure, 3 € au-delà. Aucun ticket ne coûtera jamais 2,50 €. Le tarif saute — et dans le saut, toutes les valeurs intermédiaires sont perdues. Deux grandeurs qui varient, deux mondes : l'un traverse tout, l'autre enjambe. Voilà, en une image, la différence entre une fonction continue et une fonction qui ne l'est pas.
Une fonction qui saute en 1 : la droite arrive à hauteur 2 (point creux — la valeur n'est pas là), et la fonction reprend à hauteur \(f(1) = 1\). Entre les deux, des valeurs qu'elle ne prend jamais autour de 1.
Ce chapitre donne un nom précis à « ne pas sauter », puis en tire le théorème le plus utile de l'année pour les équations : si une courbe continue passe de dessous à dessus, elle a forcément traversé. Tu sauras prouver qu'une équation a une solution — puis la localiser aussi finement que tu veux, sans jamais la résoudre.
2. Une courbe sans saut : la continuité
La fonction de la figure saute en 1. À toi de la réparer : règle la hauteur de départ \(f(1)\) du rail de droite jusqu'à refermer le trou.
INTERACTIFReferme le trou
hauteur de départ f(1) du rail de droite
limite à gauche : 2,00valeur : f(1) = 1,00saut de 1,00 en 1
La droite arrive à hauteur 2, le rail démarre plus bas : le trou est béant, le crayon doit se lever. f n'est pas continue en 1.
Il n'y a qu'un seul réglage qui referme le trou : celui où la valeur f(1) égale la limite. C'est la définition ci-dessous.
Le mot d'abord, simplement : une fonction continue, c'est une fonction dont la courbe se trace sans lever le crayon. Et la version précise, que tu viens de manipuler :
DÉFINITION
Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\) contenant \(a\). On dit que \(f\) est continue en \(a\) si \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\) : la limite existe, et elle vaut la valeur.
\(f\) est continue sur \(I\) si elle est continue en chaque point de \(I\).
PROPRIÉTÉ — QUI EST CONTINU ?
Les fonctions polynômes, la fonction exponentielle, \(x \longmapsto \sqrt{x}\), ainsi que les sommes, produits, quotients (là où le dénominateur ne s'annule pas) et composées de fonctions continues : toutes continues sur leur ensemble de définition.
Et surtout : toute fonction dérivable est continue. (La réciproque est fausse : \(x \longmapsto |x|\) est continue en 0 mais n'y est pas dérivable — la courbe ne saute pas, mais elle fait un angle.)
POURQUOI ?
En pratique, tu ne redémontreras presque jamais une continuité à la main : les fonctions du bac sont fabriquées à partir des briques ci-dessus, donc continues sur leurs intervalles de définition. La phrase à savoir écrire : « \(f\) est dérivable sur \(I\), donc continue sur \(I\) ». Les fonctions qui sautent, elles, viennent presque toujours de la vraie vie : tarifs par paliers, impôts par tranches, frais de port.
TESTE-TOITrois questions, trente secondes
Q1« \(f\) est continue en \(a\) » signifie que…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — il faut les deux : que la limite existe, et qu'elle retombe pile sur la valeur. Être définie en \(a\) ne suffit pas — la fonction du graphique est définie en 1 et saute quand même.
Q2Toute fonction dérivable sur \(I\) est continue sur \(I\).
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — dérivable, c'est plus fort que continue. C'est la réciproque qui est fausse : \(|x|\) est continue en 0 sans y être dérivable — pas de saut, mais un angle.
Q3Le tarif du parking (2 € jusqu'à 1 h, 3 € au-delà) définit une fonction du temps qui est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — en 1 h, le tarif saute de 2 à 3 € sans passer par 2,50 € : limite à gauche 2, valeurs à droite 3 — pas de raccord. Être définie partout, ou monotone, n'a jamais empêché de sauter.
3. Le théorème des valeurs intermédiaires
Reprends l'idée du thermomètre, mais sur une courbe. Voici \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 1\), qui monte, descend, remonte. Choisis une altitude \(k\) : la ligne horizontale rencontre-t-elle la courbe ? Combien de fois ? Puis restreins-toi au morceau où \(f\) est strictement croissante, et compare.
INTERACTIFLa ligne que la courbe doit croiser
altitude k de la ligne
f(x) = k : 3 solutions
La courbe monte, descend, remonte : l'altitude k = 0 est franchie 3 fois. Le TVI garantit AU MOINS une solution — il n'a jamais promis l'unicité.
PROPRIÉTÉ — LE THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIAIRES (admis)
Soit \(f\) continue sur un intervalle \([a\;;\, b]\). Pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l'équation \(f(x) = k\) admet au moins une solution dans \([a\;;\, b]\).
COROLLAIRE — LA VERSION « SOLUTION UNIQUE »
Si de plus \(f\) est strictement monotone sur \([a\;;\, b]\), alors pour tout \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l'équation \(f(x) = k\) admet une unique solution dans \([a\;;\, b]\). C'est cette version que le bac te demandera le plus souvent.
POURQUOI ?
Chaque hypothèse fait un vrai travail. Continue : sans elle, la courbe peut enjamber \(k\) — le parking saute par-dessus 2,50 €. Strictement monotone : sans elle, la courbe peut retraverser — tu viens de voir trois solutions pour \(k = 0\). \(k\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\) : sans ça, la ligne passe au-dessus ou au-dessous de tout. Trois vérifications, trois lignes de rédaction.
MÉTHODE — RÉDIGER « UNE UNIQUE SOLUTION »
1.Continuité : « \(f\) est dérivable (ou polynôme, etc.) sur \([a\;;\,b]\), donc continue ».
2.Stricte monotonie : signe de \(f'\) sur l'intervalle — le tableau de variations du chapitre sur la dérivation.
3.Encadrement de \(k\) : calcule \(f(a)\) et \(f(b)\), vérifie que \(k\) est entre les deux.
4.Conclus : « d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, \(f(x) = k\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \([a\;;\,b]\) ».
EXEMPLE RÉSOLU — L'ÉQUATION QU'ON NE SAIT PAS RÉSOUDRE
Montrons que \(x^3 - 3x^2 + 1 = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \([2\;;\, 3]\).
Étape 1 — \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 1\) est un polynôme : continue sur \([2\;;\,3]\).
Étape 2 — \(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)\) : sur \(\left]2\;;\,3\right]\), les deux facteurs sont strictement positifs, donc \(f' > 0\) : \(f\) est strictement croissante sur \([2\;;\,3]\).
Étape 3 — \(f(2) = 8 - 12 + 1 = -3 < 0\) et \(f(3) = 27 - 27 + 1 = 1 > 0\) : 0 est bien compris entre \(f(2)\) et \(f(3)\).
Étape 4 — D'après le corollaire du TVI, l'équation admet une unique solution \(\alpha \in [2\;;\,3]\).
Conclusion : \(\alpha\) existe, est unique — et on ne connaît toujours pas sa valeur. C'est normal : la localiser précisément, c'est le travail de la section suivante.
TESTE-TOIQuatre questions sur le théorème
Q1Le TVI seul (sans monotonie) garantit…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — la courbe doit traverser, mais rien ne l'empêche de retraverser — tu as vu k = 0 franchi trois fois dans le graphique. L'unicité est le travail du corollaire.
Q2Une fonction NON continue passe de \(f(0) = -1\) à \(f(1) = 2\). L'équation \(f(x) = 0\) sur \([0\;;\,1]\)…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — sans continuité, la courbe peut sauter par-dessus 0 — comme le parking saute par-dessus 2,50 €. La continuité n'est pas une formule de politesse : c'est elle qui force la traversée.
Q3Pour garantir l'unicité de la solution, le corollaire exige en plus…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — strictement croissante ou strictement décroissante : une courbe qui ne fait que monter ne peut traverser une altitude qu'une fois. La dérivabilité sert souvent à le prouver, mais c'est la monotonie qui fait l'unicité.
Q4\(f\) est continue et strictement décroissante sur \([1\;;\,4]\), avec \(f(1) = 5\) et \(f(4) = -2\). L'équation \(f(x) = 0\)…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — le corollaire marche aussi en descendant : continue, strictement décroissante, et 0 compris entre −2 et 5 — une unique traversée. Le sens de la pente ne change rien au raisonnement.
4. Encadrer \(\alpha\) : balayage et dichotomie
Le TVI t'a donné un \(\alpha\) quelque part entre 0 et 1 — pour \(f(x) = x^3 + x - 1\), disons. « Quelque part », c'est vague. L'idée qui précise : couper l'intervalle en deux, regarder le signe de \(f\) au milieu, et garder la moitié où le changement de signe se cache. Fais-le toi-même, coupe après coupe.
INTERACTIFCoupe l'intervalle en deux
α ∈ [0 ; 1]largeur : 1/1
f(0) = −1 < 0 et f(1) = 1 > 0 : f, continue et strictement croissante, s'annule une seule fois entre 0 et 1. Coupe l'intervalle : chaque coupe divise l'incertitude par deux.
MÉTHODE — ENCADRER α À 10⁻ⁿ PRÈS PAR BALAYAGE
1.Parcours l'intervalle par pas de \(10^{-n}\) (à la calculatrice : table de valeurs).
2.Repère les deux valeurs consécutives où \(f\) change de signe.
3.Conclus : \(\alpha\) est entre les deux — un encadrement d'amplitude \(10^{-n}\).
EXEMPLE RÉSOLU — α AU CENTIÈME
Encadrons au centième la solution \(\alpha\) de \(x^3 + x - 1 = 0\) dans \([0\;;\,1]\).
Étape 2 — Au centième, entre 0,6 et 0,7 : \(f(0{,}68) \approx -0{,}006 < 0\) et \(f(0{,}69) \approx 0{,}019 > 0\).
Conclusion : \(0{,}68 < \alpha < 0{,}69\). Note bien : on ne « calcule » pas \(\alpha\), on le coince — et on peut le coincer aussi fort qu'on veut.
La dichotomie du graphique fait la même chose en plus malin : au lieu d'avancer à petits pas, elle divise l'incertitude par deux à chaque coupe. C'est un algorithme — le voici en Python, à savoir lire :
def dichotomie(a, b, n): # f continue, f(a) < 0 < f(b)
for _ in range(n): # n coupes
m = (a + b) / 2
if f(m) < 0: # le zéro est à droite de m
a = m
else: # le zéro est à gauche (ou en m)
b = m
return a, b # encadrement de largeur (b−a)/2**n
TESTE-TOIEncore trois sur la dichotomie
Q1À chaque coupe, la largeur de l'intervalle est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — on coupe au milieu : moitié gardée, moitié éliminée. C'est le balayage au pas de \(10^{-n}\) qui divise par 10 — mais lui doit tester dix valeurs à chaque étage.
Q2\(f\) est croissante avec \(f(a) < 0\). Au milieu \(m\), on trouve \(f(m) > 0\). Alors \(\alpha\)…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — le changement de signe (− puis +) se produit entre \(a\) et \(m\) : le zéro est là. La moitié \([m\;;\,b]\), où \(f\) reste positive, ne peut pas le contenir.
Q3Partant de \([0\;;\,1]\), quelle est la largeur de l'encadrement après 10 coupes ?
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — chaque coupe divise par 2, donc \(\frac{1}{2^{10}} = \frac{1}{1024}\) : mieux que le millième en dix étapes. La division répétée bat largement les petits pas — c'est pour ça que les machines l'utilisent.
5. Les suites \(u_{n+1} = f(u_n)\) et le point fixe
Dernier service que la continuité rend à l'année : retrouver la limite d'une suite récurrente. Souviens-toi de la dose du chapitre sur les suites : \(u_{n+1} = 0{,}7\,u_n + 3\). Dessine-la autrement — sur la droite \(y = f(x) = 0{,}7x + 3\) et la diagonale \(y = x\). Choisis n'importe quel départ et avance : où l'escalier se dirige-t-il ?
INTERACTIFL'escalier vers le point fixe
départ u₀ de la suite
u₀ = 1u₀ = 1,00
Choisis un départ, puis avance : chaque marche applique f (vertical), puis reporte le résultat en abscisse (horizontal, via la diagonale y = x).
Le coin où tout s'écrase est l'intersection de f et de la diagonale : le point où f(L) = L.
PROPRIÉTÉ — LA LIMITE EST UN POINT FIXE
Soit \((u_n)\) une suite définie par \(u_{n+1} = f(u_n)\). Si \((u_n)\) converge vers un réel \(L\) et si \(f\) est continue en \(L\), alors :
$$f(L) = L$$
La limite, si elle existe, est à chercher parmi les solutions de l'équation \(f(x) = x\).
POURQUOI ?
Passe à la limite dans \(u_{n+1} = f(u_n)\) : à gauche, \(u_{n+1} \to L\) ; à droite, comme \(u_n \to L\) et que \(f\) est continue, \(f(u_n) \to f(L)\). D'où \(L = f(L)\). C'est ici que la continuité travaille : sans elle, \(f(u_n)\) pourrait viser ailleurs que \(f(L)\) — et l'argument s'effondre.
MÉTHODE — LIMITE D'UNE SUITE \(u_{n+1} = f(u_n)\)
1.Prouve que la suite converge — en général : croissante et majorée (ou décroissante et minorée), souvent par récurrence. Sans cette étape, rien n'est permis.
2.Vérifie que \(f\) est continue, et résous \(f(x) = x\).
3.La limite est l'une des solutions ; élimine celles qui contredisent ce que tu sais de la suite (signe, encadrement, monotonie).
EXEMPLE RÉSOLU — LA DOSE, ÉPILOGUE
La suite de la dose (\(u_0 = 0\), \(u_{n+1} = 0{,}7\,u_n + 3\)) est croissante et majorée par 10 — on l'a prouvé au chapitre des suites. Retrouvons sa limite sans formule explicite.
Étape 1 — Croissante et majorée : \((u_n)\) converge vers un réel \(L\) (théorème de la limite monotone).
Étape 2 — \(f(x) = 0{,}7x + 3\) est continue sur \(\mathbb{R}\) (fonction affine). Point fixe : \(L = 0{,}7L + 3 \iff 0{,}3L = 3 \iff L = 10\).
Conclusion : \(\lim u_n = 10\) — le plateau du tout premier graphique du chapitre des suites, retrouvé par le point fixe. La boucle est bouclée.
TESTE-TOITrois questions pour finir
Q1\((u_n)\) définie par \(u_{n+1} = f(u_n)\) converge vers \(L\), et \(f\) est continue. Alors…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — en passant à la limite dans \(u_{n+1} = f(u_n)\), la continuité transforme \(f(u_n)\) en \(f(L)\) : la limite est un point fixe — le coin de l'escalier du graphique.
Q2Pour \(f(x) = 0{,}5x + 2\), les candidats-limites (solutions de \(f(x) = x\)) sont…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — \(0{,}5x + 2 = x \iff 2 = 0{,}5x \iff x = 4\). Le 2 tout seul, c'est \(f(0)\) — pas un point fixe.
Q3« J'ai trouvé \(f(L) = L\), donc la suite converge vers \(L\). »
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — le point fixe est un candidat, pas une preuve : la suite \(u_{n+1} = 2u_n\) a pour point fixe 0 et s'envole quand même vers l'infini dès que \(u_0 \neq 0\). D'abord la convergence (limite monotone), ensuite le point fixe.
LES PIÈGES CLASSIQUES
Appliquer le TVI sans continuité. C'est elle qui force la traversée : le tarif du parking passe de 2 € à 3 € sans jamais valoir 2,50 €. Toujours commencer la rédaction par « \(f\) est continue sur… ».
Faire dire au TVI l'unicité. Le théorème garantit au moins une solution — la courbe du graphique traverse \(k = 0\) trois fois. L'unicité exige la stricte monotonie : c'est le corollaire, et c'est lui qu'on rédige en quatre points.
Oublier de vérifier que \(k\) est entre \(f(a)\) et \(f(b)\). Une ligne trop haute ou trop basse ne rencontre rien du tout : sans cet encadrement, ni le TVI ni son corollaire ne s'appliquent. Deux calculs de valeurs, jamais facultatifs.
Confondre \(\alpha\) et ses valeurs approchées. \(\alpha\) n'est pas « 0,68 » : 0,68 est une borne d'un encadrement. On écrit \(0{,}68 < \alpha < 0{,}69\), et \(\alpha\) garde son nom — sa valeur exacte n'a souvent pas d'écriture simple.
Croire que \(f(L) = L\) prouve la convergence. Le point fixe désigne le seul candidat possible — il ne garantit pas qu'on l'atteint. La convergence se prouve à part (croissante + majorée), avant de passer à la limite.
L'ESSENTIEL EN 5 LIGNES
CONTINUITÉ
\(f\) continue en \(a\) : \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\). Polynômes, exp, racine, et toute fonction dérivable : continues.
TVI
\(f\) continue sur \([a\;;\,b]\) : tout \(k\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\) est atteint au moins une fois.
COROLLAIRE
Continue + strictement monotone + \(k\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\) \(\Rightarrow\) solution unique \(\alpha\).
ENCADRER
Balayage : pas de \(10^{-n}\), changement de signe. Dichotomie : largeur divisée par 2 à chaque coupe (\(1/2^n\)).
POINT FIXE
\(u_{n+1} = f(u_n)\) convergente + \(f\) continue \(\Rightarrow\) \(f(L) = L\). D'abord prouver la convergence, ensuite résoudre \(f(x) = x\).
Exercices
15 corrigés
Commence par le niveau 1. Cherche vraiment avant d'ouvrir le corrigé — c'est là que ça rentre. Les exercices suivent l'ordre du cours : continuité, TVI et son corollaire, lecture de tableaux, balayage et dichotomie, lecture de code, point fixe, et un problème pour finir.
EXERCICE 01 · continuiténiveau 1
Vrai ou faux, en justifiant : a. toute fonction polynôme est continue sur \(\mathbb{R}\) ; b. toute fonction dérivable sur \(I\) est continue sur \(I\) ; c. toute fonction continue sur \(I\) est dérivable sur \(I\) ; d. la fonction « prix du parking selon la durée » (2 € jusqu'à 1 h, 3 € au-delà) est continue.
CORRIGÉ
a. — Vrai : les polynômes font partie des fonctions de référence continues (et ils sont dérivables, ce qui suffit aussi).
b. — Vrai : c'est la propriété du cours — dérivable est plus fort que continue.
c. — Faux : \(x \longmapsto |x|\) est continue en 0 (pas de saut) mais pas dérivable en 0 (un angle : pente −1 à gauche, +1 à droite).
d. — Faux : en 1 h, le prix saute de 2 à 3 € — limite à gauche 2, valeurs à droite 3. Discontinuité en 1 h.
Conclusion : dérivable \(\Rightarrow\) continue, jamais l'inverse — et les fonctions « par paliers » de la vraie vie sont les grandes discontinues du quotidien.
EXERCICE 02 · continuité en un pointniveau 1
Soit \(f\) définie par \(f(x) = x^2\) si \(x < 1\) et \(f(x) = 3 - x\) si \(x \geq 1\), et \(g\) définie par \(g(x) = x^2\) si \(x < 1\) et \(g(x) = 2x - 1\) si \(x \geq 1\). Ces fonctions sont-elles continues en 1 ?
CORRIGÉ
Étape 1 — Pour \(f\) : à gauche de 1, \(x^2 \to 1\) ; et \(f(1) = 3 - 1 = 2\). Limite 1 ≠ valeur 2 : \(f\) n'est pas continue en 1 (saut de 1).
Étape 2 — Pour \(g\) : à gauche, \(x^2 \to 1\) ; \(g(1) = 2 - 1 = 1\) ; et à droite, \(2x - 1 \to 1\) aussi. Tout se raccorde en 1 : \(g\) est continue en 1.
Conclusion : pour un raccord, compare la limite de chaque morceau à la valeur au point — exactement le geste du curseur du graphique.
EXERCICE 03 · TVI · existenceniveau 2
Montre que l'équation \(x^3 + x - 1 = 0\) admet au moins une solution dans \([0\;;\,1]\).
CORRIGÉ
Étape 1 — \(f(x) = x^3 + x - 1\) est un polynôme, donc continue sur \([0\;;\,1]\).
Étape 2 — \(f(0) = -1 < 0\) et \(f(1) = 1 > 0\) : 0 est compris entre \(f(0)\) et \(f(1)\).
Étape 3 — D'après le théorème des valeurs intermédiaires, \(f(x) = 0\) admet au moins une solution dans \([0\;;\,1]\).
Conclusion : continuité + changement de signe = traversée garantie. Trois lignes, aucune résolution d'équation.
EXERCICE 04 · corollaire · uniciténiveau 2
On reprend \(f(x) = x^3 + x - 1\) sur \([0\;;\,1]\). Montre que la solution de l'exercice 03 est unique. On la note \(\alpha\).
CORRIGÉ
Étape 1 — \(f'(x) = 3x^2 + 1\) : strictement positif pour tout \(x\) (somme d'un positif et de 1).
Étape 2 — \(f\) est donc strictement croissante sur \([0\;;\,1]\) — en plus d'être continue, avec \(f(0) = -1 < 0 < 1 = f(1)\).
Étape 3 — D'après le corollaire du TVI, l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha \in [0\;;\,1]\).
Conclusion : l'existence venait du TVI, l'unicité vient de la stricte monotonie. Les deux exercices mis bout à bout forment LA rédaction type du bac.
EXERCICE 05 · corollaire · k ≠ 0niveau 2
Soit \(g(x) = e^x + x\). Montre que l'équation \(g(x) = 3\) admet une unique solution dans \([0\;;\,2]\).
CORRIGÉ
Étape 1 — \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) (somme de \(\exp\) et d'un polynôme), donc continue sur \([0\;;\,2]\).
Étape 3 — \(g(0) = 1\) et \(g(2) = e^2 + 2 \approx 9{,}39\) : 3 est bien compris entre les deux.
Étape 4 — Corollaire du TVI : \(g(x) = 3\) admet une unique solution dans \([0\;;\,2]\).
Conclusion : le théorème marche pour n'importe quelle altitude \(k\), pas seulement 0 — la rédaction ne change pas d'un mot.
EXERCICE 06 · tableau de variationsniveau 1
Une fonction \(f\), continue sur \([0\;;\,7]\), est strictement croissante de \(f(0) = -4\) à \(f(3) = 5\), puis strictement décroissante de \(f(3) = 5\) à \(f(7) = 1\). Combien l'équation \(f(x) = 2\) a-t-elle de solutions ? Et \(f(x) = 0\) ?
CORRIGÉ
Étape 1 — Sur \([0\;;\,3]\) : \(f\) va de −4 à 5 en croissant strictement. 2 est dans l'intervalle : une unique solution. Sur \([3\;;\,7]\) : de 5 à 1 en décroissant, 2 est entre 1 et 5 : une unique solution. \(f(x) = 2\) : 2 solutions.
Étape 2 — Pour \(f(x) = 0\) : sur \([0\;;\,3]\), 0 ∈ [−4 ; 5] : une solution. Sur \([3\;;\,7]\), 0 n'est pas entre 1 et 5 : aucune. \(f(x) = 0\) : 1 solution.
Conclusion : on applique le corollaire morceau monotone par morceau monotone, en vérifiant chaque fois que \(k\) est dans l'intervalle des valeurs. C'est la question de lecture de tableau favorite du bac.
EXERCICE 07 · balayageniveau 2
On note \(\alpha\) l'unique solution de \(x^3 + x - 1 = 0\) dans \([0\;;\,1]\) (exercice 04). Sachant que \(f(0{,}6) = -0{,}184\), \(f(0{,}7) = 0{,}043\), \(f(0{,}68) \approx -0{,}006\) et \(f(0{,}69) \approx 0{,}019\), encadre \(\alpha\) au dixième, puis au centième.
CORRIGÉ
Étape 1 — \(f(0{,}6) < 0\) et \(f(0{,}7) > 0\) : le changement de signe a lieu entre les deux, donc \(0{,}6 < \alpha < 0{,}7\).
Étape 2 — \(f(0{,}68) < 0\) et \(f(0{,}69) > 0\) : donc \(0{,}68 < \alpha < 0{,}69\).
Conclusion : le signe fait tout le travail. Et note la rédaction : on écrit un encadrement de \(\alpha\), jamais « \(\alpha = 0{,}68\) ».
EXERCICE 08 · dichotomie à la mainniveau 2
Toujours pour \(f(x) = x^3 + x - 1\) et \(\alpha \in [0\;;\,1]\) : effectue trois étapes de dichotomie à la main (calcule \(f\) au milieu, garde la bonne moitié) et donne l'encadrement obtenu. Quelle est sa largeur ?
Conclusion : largeur \(\dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8} = 0{,}125\). Trois coupes, trois signes — la machine du graphique ne fait rien d'autre, juste plus vite.
EXERCICE 09 · lecture de codeniveau 2
On considère la fonction Python suivante, où f est continue et strictement croissante avec f(a) < 0 < f(b) :
def dichotomie(a, b, n):
for _ in range(n):
m = (a + b) / 2
if f(m) < 0:
a = m
else:
b = m
return a, b
a. Que représente le test f(m) < 0 ? b. Que renvoie dichotomie(0, 1, 10), et quelle est la largeur de l'encadrement obtenu ? c. Pourquoi la valeur renvoyée encadre-t-elle bien la solution ?
CORRIGÉ
a. — Il teste de quel côté du milieu se trouve la solution : \(f(m) < 0\) (avec \(f\) croissante) signifie que le zéro est à droite de \(m\) — on remonte donc la borne basse (a = m).
b. — Un couple \((a\;;\,b)\) encadrant \(\alpha\), de largeur \(\dfrac{1 - 0}{2^{10}} = \dfrac{1}{1024} \approx 0{,}001\).
c. — À chaque tour, l'invariant \(f(a) < 0 < f(b)\) est conservé : le changement de signe — donc \(\alpha\), par le TVI — reste toujours entre \(a\) et \(b\).
Conclusion : ce programme, c'est le corrigé de l'exercice 08 automatisé. Savoir le lire, c'est comprendre l'invariant « le zéro reste dans \([a\;;\,b]\) ».
EXERCICE 10 · point fixeniveau 2
La suite définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 2\) est croissante et majorée par 4 (chapitre des suites, exercice 13). Justifie qu'elle converge et détermine sa limite par le point fixe.
CORRIGÉ
Étape 1 — Croissante et majorée : la suite converge vers un réel \(L\) (théorème de la limite monotone).
Étape 2 — \(f(x) = 0{,}5x + 2\) est affine, donc continue. Par le théorème du point fixe : \(L = 0{,}5L + 2\), d'où \(0{,}5L = 2\) et \(L = 4\).
Conclusion : convergence d'abord, équation \(f(x) = x\) ensuite. La limite 4 confirme la formule explicite \(u_n = 4 - 3 \times 0{,}5^n\) trouvée au chapitre des suites.
EXERCICE 11 · TVI avec expniveau 2
Soit \(h(x) = x\,e^x - 1\). Montre que l'équation \(h(x) = 0\) admet une unique solution dans \([0\;;\,1]\).
CORRIGÉ
Étape 1 — \(h\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) (produit et somme de fonctions dérivables), donc continue sur \([0\;;\,1]\).
Étape 2 — \(h'(x) = e^x + x\,e^x = (1 + x)\,e^x\) : sur \([0\;;\,1]\), \(1 + x > 0\) et \(e^x > 0\), donc \(h' > 0\) : \(h\) strictement croissante.
Étape 4 — Corollaire du TVI : une unique solution dans \([0\;;\,1]\).
Conclusion : la dérivée \((1+x)e^x\) vient tout droit du chapitre sur l'exponentielle — le TVI recycle tout ce que tu sais dériver.
EXERCICE 12 · nombre de solutions selon kniveau 3
Soit \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 1\) sur \(\mathbb{R}\). a. Étudie les variations de \(f\) et donne ses limites en \(\pm\infty\). b. Dresse le tableau de variations complet. c. Discute, selon la valeur du réel \(k\), le nombre de solutions de l'équation \(f(x) = k\).
CORRIGÉ
a. — \(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)\) : positif avant 0, négatif entre 0 et 2, positif après 2. \(f\) croît, décroît, recroît, avec \(f(0) = 1\) (maximum local) et \(f(2) = -3\) (minimum local). Limites : \(f(x) = x^3(1 - 3/x + 1/x^3)\), donc \(-\infty\) en \(-\infty\) et \(+\infty\) en \(+\infty\).
b. — Tableau : \(f\) croît de \(-\infty\) jusqu'à \(f(0) = 1\), décroît de 1 jusqu'à \(f(2) = -3\), puis croît de \(-3\) vers \(+\infty\).
c. — Sur chaque morceau monotone, le corollaire compte une solution quand \(k\) est dans l'intervalle des valeurs : si \(k < -3\) ou \(k > 1\) : 1 solution ; si \(k = -3\) ou \(k = 1\) : 2 solutions ; si \(-3 < k < 1\) : 3 solutions.
Conclusion : c'est exactement la ligne que tu faisais glisser dans le graphique de la section 3 — le tableau de variations permet de la faire glisser de tête.
EXERCICE 13 · suite récurrente complèteniveau 3
Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = \sqrt{3u_n + 4}\). a. Montre par récurrence que \(0 \leq u_n \leq 4\) pour tout \(n\). b. Montre par récurrence que \((u_n)\) est croissante. c. Justifie que \((u_n)\) converge. d. Détermine sa limite.
CORRIGÉ
a. — Initialisation : \(0 \leq 0 \leq 4\). Hérédité : si \(0 \leq u_n \leq 4\), alors \(4 \leq 3u_n + 4 \leq 16\), donc \(2 \leq u_{n+1} \leq 4\) (la racine est croissante), et en particulier \(0 \leq u_{n+1} \leq 4\). Par récurrence, \(0 \leq u_n \leq 4\) pour tout \(n\).
b. — Initialisation : \(u_1 = \sqrt{4} = 2 > 0 = u_0\). Hérédité : si \(u_{n+1} \geq u_n\), alors \(3u_{n+1} + 4 \geq 3u_n + 4\), et la racine (croissante) conserve l'inégalité : \(u_{n+2} \geq u_{n+1}\). La suite est croissante.
c. — Croissante et majorée par 4 : \((u_n)\) converge vers un réel \(L\) (limite monotone), avec \(0 \leq L \leq 4\).
d. — \(f(x) = \sqrt{3x + 4}\) est continue sur \([0\;;\,4]\). Point fixe : \(L = \sqrt{3L + 4}\), donc \(L^2 = 3L + 4\), soit \(L^2 - 3L - 4 = 0 = (L - 4)(L + 1)\) : \(L = 4\) ou \(L = -1\). Or \(L \geq 0\) : \(L = 4\).
Conclusion : récurrence (deux fois), limite monotone, point fixe, et un candidat éliminé par le signe — l'exercice complet de Terminale, celui que le bac adore.
EXERCICE 14 · problèmeniveau 3
Un petit atelier fabrique \(x\) centaines d'objets par semaine (\(x \in [0\;;\,2]\)). Son bénéfice hebdomadaire, en milliers d'euros, est modélisé par \(B(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 14\). a. Calcule \(B(0)\) et \(B(1)\), et interprète les signes. b. Montre que \(B'(x) = 3(x-2)(x-4)\) et déduis-en que \(B\) est strictement croissante sur \([0\;;\,2]\). c. Montre que l'équation \(B(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \([0\;;\,2]\) : le seuil de rentabilité. d. Sachant que \(B(0{,}8) \approx -0{,}05 < 0\) et \(B(0{,}9) \approx 1{,}04 > 0\), encadre \(\alpha\) au dixième et interprète.
CORRIGÉ
a. — \(B(0) = -14\) : sans production, l'atelier perd 14 000 € (coûts fixes). \(B(1) = 1 - 9 + 24 - 14 = 2\) : à 100 objets par semaine, il gagne 2 000 €.
b. — \(B'(x) = 3x^2 - 18x + 24 = 3(x^2 - 6x + 8) = 3(x-2)(x-4)\). Sur \([0\;;\,2[\), les deux facteurs sont strictement négatifs : leur produit est positif, donc \(B' > 0\) (nul seulement en 2) : \(B\) strictement croissante sur \([0\;;\,2]\).
c. — \(B\) est un polynôme (continue), strictement croissante sur \([0\;;\,2]\), avec \(B(0) = -14 < 0\) et \(B(2) = 8 - 36 + 48 - 14 = 6 > 0\) : par le corollaire du TVI, \(B(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha \in [0\;;\,2]\).
d. — Changement de signe entre 0,8 et 0,9 : \(0{,}8 < \alpha < 0{,}9\). L'atelier devient rentable quelque part entre 80 et 90 objets par semaine — en dessous, il perd de l'argent ; au-dessus, il en gagne.
Conclusion : le TVI ne t'a jamais donné \(\alpha\), et pourtant la décision de production est prise. Localiser suffit — c'est toute la philosophie du chapitre.
VERS LE BAC — EXERCICE 15≈ 45 MIN · CALCULATRICE UTILE
On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\).
PARTIE A
Détermine les limites de \(g\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\).
Montre que \(g'(x) = 3(x - 1)(x - 3)\), puis étudie le signe de \(g'\).
Dresse le tableau de variations complet de \(g\) (tu préciseras \(g(1)\) et \(g(3)\)).
PARTIE B
Montre que l'équation \(g(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(\mathbb{R}\).
Justifie que \(\alpha \in \left[-1\;;\, 0\right]\).
Donne un encadrement de \(\alpha\) d'amplitude \(0{,}1\).
Déduis de l'étude le signe de \(g(x)\) selon les valeurs de \(x\).
CORRIGÉ — LES GRANDES ÉTAPES
A.1 — \(g(x) = x^3\left(1 - \dfrac{6}{x} + \dfrac{9}{x^2} + \dfrac{1}{x^3}\right)\) : la parenthèse tend vers 1, donc \(g \to -\infty\) en \(-\infty\) et \(g \to +\infty\) en \(+\infty\).
A.2 — \(g'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)\) : positif avant 1, négatif entre 1 et 3, positif après 3.
A.3 — \(g\) croît de \(-\infty\) à \(g(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5\), décroît jusqu'à \(g(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1\), puis recroît vers \(+\infty\).
B.1 — Sur \(\left]-\infty\;;\,1\right]\) : \(g\) continue, strictement croissante, passe de \(-\infty\) à 5 : 0 est atteint une unique fois. Sur \([1\;;\,3]\) : \(g\) reste entre 1 et 5, jamais nulle. Sur \([3\;;\,+\infty[\) : \(g\) croît depuis \(g(3) = 1 > 0\), jamais nulle. Une unique solution \(\alpha\) sur \(\mathbb{R}\).
B.2 — \(g(-1) = -1 - 6 - 9 + 1 = -15 < 0\) et \(g(0) = 1 > 0\) : le changement de signe a lieu entre −1 et 0, donc \(\alpha \in [-1\;;\,0]\).
B.4 — \(g\) est strictement croissante avant \(\alpha\) puis ne repasse plus jamais sous 0 (minimum local 1 > 0) : \(g(x) < 0\) pour \(x < \alpha\), \(g(\alpha) = 0\), et \(g(x) > 0\) pour \(x > \alpha\).