La fonction logarithme népérien

SOMMAIRE

1. La question posée à l'envers

Tu places 2 000 € à 5 % par an. Le chapitre sur les suites te dit ce que tu auras dans $n$ années : $2\,000 \times 1{,}05^n$. Facile — dans ce sens-là. Mais la question que tout le monde pose vraiment, c'est l'inverse : en combien d'années mon argent double-t-il ? Il faut résoudre $1{,}05^n = 2$ : l'inconnue est dans l'exposant, et aucun outil de Première ne sait l'en faire sortir.

Même impasse avec l'exponentielle : tu sais calculer $e^x$ pour n'importe quel $x$, mais résoudre $e^x = 2$ ? Regarde la courbe : la solution existe, et elle est unique — la ligne $y = 2$ coupe la courbe en exactement un point, quelque part entre 0 et 1. Ce nombre a un nom.

Résoudre $e^x = 2$, c'est lire la courbe de l'exponentielle à l'envers : partir de la hauteur 2, redescendre vers l'axe. La réponse s'appelle $\ln 2 \approx 0{,}69$.

Ce chapitre construit la fonction qui répond à toutes les questions de ce genre d'un coup : le logarithme népérien. Une fonction-miroir de l'exponentielle — avec ses règles de calcul à elle, sa dérivée étonnamment simple, et le pouvoir de faire descendre les inconnues des exposants. À la fin, le placement qui double aura sa réponse exacte.

2. Le miroir de l'exponentielle

Lire une courbe à l'envers, c'est échanger les deux axes — donc échanger les coordonnées de chaque point. Fais-le toi-même : déplace A sur la courbe de l'exponentielle, et regarde où atterrit son reflet A′, obtenu en échangeant abscisse et ordonnée.

Ce que tu viens de dessiner point par point, voilà comment on le définit. L'exponentielle est continue et strictement croissante de $0$ à $+\infty$ : d'après le corollaire du TVI, pour chaque $x > 0$, l'équation $e^y = x$ a une unique solution — le chapitre précédent travaille pour celui-ci.

DÉFINITION

Pour tout réel $x > 0$, le logarithme népérien de $x$, noté $\ln x$, est l'unique réel dont l'exponentielle vaut $x$. Autrement dit, pour $x > 0$ :

$$y = \ln x \iff x = e^y$$

PROPRIÉTÉ — LES CONSÉQUENCES IMMÉDIATES

$\ln 1 = 0$ (car $e^0 = 1$) et $\ln e = 1$ (car $e^1 = e$).

Pour tout $x > 0$ : $e^{\ln x} = x$. Pour tout réel $x$ : $\ln\left(e^x\right) = x$. Les deux fonctions se défont l'une l'autre.

$\ln$ est strictement croissante sur $\left]0\;;\,+\infty\right[$ ; $\ln x < 0$ pour $0 < x < 1$, et $\ln x > 0$ pour $x > 1$.

EXEMPLE RÉSOLU — LES PREMIÈRES ÉQUATIONS

a. Résous $e^x = 5$.

Calcul — par définition, $x = \ln 5$ ($\approx 1{,}61$). C'est tout : $\ln 5$ est un nombre exact, comme $\sqrt{2}$.

b. Résous $e^{2x} = 3$.

Calcul — $2x = \ln 3$, donc $x = \dfrac{\ln 3}{2}$.

Conclusion : applique $\ln$ aux deux membres (positifs), puis libère l'inconnue. L'exposant n'est plus une prison.

À RETENIR

$\ln x$ répond à la question « $e$ puissance quoi vaut $x$ ? » — et cette question n'a de sens que pour $x > 0$.

Q1$\ln\left(e^7\right)$ vaut…

Q2$\ln x$ est défini pour…

Q3$\ln 1$ vaut…

3. Les règles de calcul

L'exponentielle transforme les additions en multiplications — tu le sais depuis la Première. Son miroir fait donc le chemin inverse : le logarithme transforme les multiplications en additions. Regarde-le à l'œuvre sur cette règle graduée un peu spéciale, où chaque valeur $v$ est placée à la distance $\ln v$ : mettre deux segments bout à bout, c'est multiplier les valeurs.

PROPRIÉTÉ — LA RELATION FONCTIONNELLE

Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ :

$$\ln(a b) = \ln a + \ln b$$

Et ses conséquences, pour $a, b > 0$ et $n$ entier : $\ln\!\dfrac{1}{a} = -\ln a$ ; $\quad \ln\!\dfrac{a}{b} = \ln a - \ln b$ ; $\quad \ln\left(a^n\right) = n \ln a$ ; $\quad \ln \sqrt{a} = \dfrac{1}{2}\ln a$.

POURQUOI ?

Tout sort du miroir. Pose $u = \ln a$ et $v = \ln b$ : alors $a b = e^u \times e^v = e^{u+v}$, donc $\ln(ab) = u + v = \ln a + \ln b$. La règle reine de l'exponentielle, lue à l'envers. Les conséquences s'enchaînent pareil — par exemple $\ln a + \ln\frac{1}{a} = \ln 1 = 0$ donne $\ln\frac{1}{a} = -\ln a$.

MÉTHODE — TOUT EXPRIMER AVEC ln 2 ET ln 3

1.Décompose le nombre en produit de facteurs simples : $12 = 4 \times 3 = 2^2 \times 3$.

2.Applique les règles : produit → somme, puissance → coefficient, quotient → différence.

3.Regroupe : $\ln 12 = 2\ln 2 + \ln 3$. Vérifie qu'il ne reste que des $\ln$ de nombres premiers.

EXEMPLES RÉSOLUS — LES RÈGLES EN ACTION

a. Simplifie $\ln 50 - \ln 2$.

Calcul — $\ln 50 - \ln 2 = \ln\dfrac{50}{2} = \ln 25 = \ln\left(5^2\right) = 2\ln 5$.

b. Exprime $\ln\dfrac{8}{9}$ en fonction de $\ln 2$ et $\ln 3$.

Calcul — $\ln\dfrac{8}{9} = \ln 8 - \ln 9 = \ln\left(2^3\right) - \ln\left(3^2\right) = 3\ln 2 - 2\ln 3$.

Conclusion : décomposer, transformer, regrouper — les logarithmes se calculent comme on range des facteurs.

Q1$\ln(a b)$, c'est…

Q2$\ln\dfrac{1}{a}$ vaut…

Q3$\ln \sqrt{a}$ vaut…

4. La pente $1/x$, les variations, les limites

L'exponentielle avait la plus belle dérivée du monde — elle-même. Son miroir a la deuxième plus belle : déplace A le long de la courbe et regarde le triangle de lecture. Avance de 1 : la tangente monte de $1/a$, exactement.

PROPRIÉTÉ — DÉRIVÉE ET VARIATIONS

La fonction $\ln$ est dérivable sur $\left]0\;;\,+\infty\right[$ et :

$$\left(\ln x\right)' = \dfrac{1}{x}$$

Comme $\dfrac{1}{x} > 0$ sur $\left]0\;;\,+\infty\right[$, $\ln$ est strictement croissante — et deux logarithmes se comparent comme leurs arguments : pour $a, b > 0$, $\ln a = \ln b \iff a = b$ et $\ln a < \ln b \iff a < b$.

EXEMPLES RÉSOLUS — DÉRIVER AVEC ln

a. Dérive $f(x) = x \ln x$ sur $\left]0\;;\,+\infty\right[$.

Calcul — produit $u\,v$ avec $u = x$ et $v = \ln x$ : $f'(x) = 1 \times \ln x + x \times \dfrac{1}{x} = \ln x + 1$.

b. Détermine la tangente à la courbe de $\ln$ au point d'abscisse 1.

Calcul — $\ln 1 = 0$ et pente $\dfrac{1}{1} = 1$ : $T : y = x - 1$.

Conclusion : $y = x - 1$, le miroir exact de la tangente $y = x + 1$ de l'exponentielle en 0. Les deux courbes se répondent jusque dans leurs tangentes.

Reste les extrémités du domaine. Tu l'as senti au triangle : près de 0 la pente explose, loin à droite elle s'écrase. Voilà les deux limites — et le duel perdu d'avance contre $x$.

PROPRIÉTÉ — LIMITES ET CROISSANCE COMPARÉE (admises)

$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$ (l'axe des ordonnées est asymptote verticale) $\quad$ et $\quad$ $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$.

Croissance comparée : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$ $\quad$ et $\quad$ $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$. Face à une puissance de $x$, le logarithme perd toujours — il est aussi lent que l'exponentielle est rapide.

Q1$\left(\ln x\right)'$ vaut…

Q2$\ln 0{,}5$ est…

Q3$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}$ ?

5. Équations, inéquations et seuils

Voici enfin l'outil au travail — là où il gagne sa place au bac. Première mission : les seuils. L'activité d'un médicament est divisée par 2 chaque heure : il en reste $0{,}5^n$ après $n$ heures. À partir de quand passe-t-elle sous 1 % ? Sous 0,1 % ? Le graphique répond — et la ligne de calcul montre comment.

MÉTHODE — RÉSOUDRE $q^n \leq s$ (OU $\geq$)

1.Applique $\ln$ aux deux membres (strictement positifs) : la croissance stricte conserve l'inégalité, et $\ln\left(q^n\right) = n \ln q$.

2.Isole $n$ en divisant par $\ln q$ — en changeant le sens si $0 < q < 1$ (car alors $\ln q < 0$).

3.Conclus avec le premier entier qui convient — et vérifie-le par un calcul direct.

EXEMPLE RÉSOLU — LE PLACEMENT QUI DOUBLE, ENFIN

En combien d'années un placement à 5 % double-t-il ? On résout $1{,}05^n \geq 2$.

Étape 1 — $\ln\left(1{,}05^n\right) \geq \ln 2$, c'est-à-dire $n \ln 1{,}05 \geq \ln 2$.

Étape 2 — $\ln 1{,}05 > 0$ (car $1{,}05 > 1$) : on divise sans changer le sens. $n \geq \dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}05} \approx 14{,}2$.

Étape 3 — Le premier entier qui convient est $n = 15$. Vérification : $1{,}05^{14} \approx 1{,}98 < 2$ et $1{,}05^{15} \approx 2{,}08 \geq 2$.

Conclusion : 15 ans. La question qui ouvrait le chapitre a maintenant une réponse exacte — et une méthode réutilisable pour tous les seuils.

Deuxième mission : les équations où l'inconnue vit dans le logarithme. Un réflexe avant tout calcul : $\ln$ n'accepte que du strictement positif — cherche le domaine d'abord, sinon tu fabriqueras des solutions fantômes.

MÉTHODE — ÉQUATION AVEC ln

1.Domaine : écris les conditions « chaque argument de $\ln$ est $> 0$ » et résous-les.

2.Ramène-toi à $\ln A = \ln B$ (avec les règles de calcul), puis utilise $\ln A = \ln B \iff A = B$.

3.Résous, puis confronte chaque solution au domaine : seules celles qui y vivent comptent.

EXEMPLE RÉSOLU — LE DOMAINE QUI FILTRE

Résous $\ln(x + 2) = \ln(3x - 4)$.

Étape 1 — Domaine : $x + 2 > 0$ et $3x - 4 > 0$, c'est-à-dire $x > \dfrac{4}{3}$.

Étape 2 — Sur ce domaine, $\ln(x+2) = \ln(3x-4) \iff x + 2 = 3x - 4 \iff x = 3$.

Étape 3 — $3 > \dfrac{4}{3}$ : la solution est bien dans le domaine.

Conclusion : $x = 3$. Le domaine n'a rien filtré cette fois — mais il n'était pas décoratif : change le $+2$ en $-8$ et il éliminerait tout.

À RETENIR

Équation ou inéquation avec $\ln$ : le domaine d'abord, toujours. Et diviser par $\ln q$ change le sens quand $0 < q < 1$.

Q1La solution de $e^x = 10$ est…

Q2$\ln(x - 2)$ est défini si et seulement si…

Q3Pour résoudre $0{,}9^n < 0{,}5$, on divise par $\ln 0{,}9$. Que fait l'inégalité ?

Q4Pour $a, b > 0$, $\ln a = \ln b$ équivaut à…

LES PIÈGES CLASSIQUES

Écrire $\ln(a + b) = \ln a + \ln b$. La règle transforme les produits en sommes : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$. Pour $\ln(a+b)$, il n'existe aucune formule — c'est le miroir exact du piège $e^{a+b}$ de Première.

Oublier le domaine. Résoudre $\ln(x+2) = \ln(3x-4)$ sans exiger $x > \frac{4}{3}$, c'est risquer des solutions fantômes que $\ln$ ne peut pas digérer. Le domaine se cherche avant de calculer, jamais après.

Diviser par $\ln q$ sans regarder son signe. Pour $0 < q < 1$, $\ln q$ est négatif : l'inégalité change de sens. C'est l'erreur n° 1 des exercices de seuils — 0,5ⁿ < 0,01 donne $n > 6{,}64$, pas $n < 6{,}64$.

Croire que $\ln x < 0$ est impossible. Entre 0 et 1, le logarithme est négatif — $\ln 0{,}5 \approx -0{,}69$. Négatif ne veut pas dire interdit : c'est l'argument qui doit être positif, pas le résultat.

Confondre $\ln\left(x^2\right)$ et $\left(\ln x\right)^2$. Le premier vaut $2\ln x$ (pour $x > 0$) ; le second est un carré de logarithme, tout autre chose. La puissance ne descend en coefficient que si elle est dans le $\ln$.

L'ESSENTIEL EN 5 LIGNES

DÉFINITION

Pour $x > 0$ : $y = \ln x \iff x = e^y$. $\ln 1 = 0$, $\ln e = 1$, $e^{\ln x} = x$, $\ln(e^x) = x$.

RÈGLES

$\ln(ab) = \ln a + \ln b$ ; $\ln\frac{1}{a} = -\ln a$ ; $\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b$ ; $\ln(a^n) = n\ln a$ ; $\ln\sqrt{a} = \frac{1}{2}\ln a$.

ANALYSE

$\left(\ln x\right)' = \dfrac{1}{x}$ ; strictement croissante sur $\left]0\;;\,+\infty\right[$ ; tangente en 1 : $y = x - 1$.

LIMITES

$\ln x \to -\infty$ en $0^+$ et $+\infty$ en $+\infty$ ; croissance comparée : $\dfrac{\ln x}{x} \to 0$ et $x \ln x \to 0$ en $0^+$.

ÉQUATIONS

Domaine d'abord ; $\ln a = \ln b \iff a = b$ ; seuils $q^n$ : appliquer $\ln$, et changer le sens si $0 < q < 1$.

Exercices

15 corrigés

Commence par le niveau 1. Cherche vraiment avant d'ouvrir le corrigé — c'est là que ça rentre. Les exercices suivent l'ordre du cours : définition et premières équations, règles de calcul, équations et inéquations, dérivées et variations, limites, seuils, et un problème pour finir.

EXERCICE 01 · définition niveau 1

Donne, sans calculatrice : a. $\ln 1$ ; b. $\ln e$ ; c. $\ln\dfrac{1}{e}$ ; d. $e^{\ln 5}$ ; e. $\ln\left(e^3\right)$.

EXERCICE 02 · équations eˣ = k niveau 1

Résous dans $\mathbb{R}$ : a. $e^x = 5$ ; b. $e^x = 1$ ; c. $e^{2x} = 3$ ; d. $e^x = -2$.

EXERCICE 03 · règles de calcul niveau 1

Simplifie : a. $\ln 8 + \ln 2$ ; b. $\ln 50 - \ln 2$ ; c. $\ln\dfrac{1}{9}$ ; d. $\ln\sqrt{5}$.

EXERCICE 04 · avec ln 2 et ln 3 niveau 2

Exprime en fonction de $\ln 2$ et $\ln 3$ : a. $\ln 12$ ; b. $\ln\dfrac{8}{9}$ ; c. $\ln 1{,}5$ ; d. $\ln 36$.

EXERCICE 05 · équations avec ln niveau 2

Résous, en précisant le domaine à chaque fois : a. $\ln x = 3$ ; b. $\ln(2x - 1) = 0$ ; c. $\ln(x + 2) = \ln(3x - 4)$.

EXERCICE 06 · inéquations niveau 2

Résous : a. $\ln x \leq 0$ ; b. $\ln(x - 1) > 1$ ; c. $e^x < 4$.

EXERCICE 07 · dérivées niveau 2

Dérive sur $\left]0\;;\,+\infty\right[$ : a. $f(x) = 3\ln x + x^2$ ; b. $g(x) = x\ln x$ ; c. $h(x) = \dfrac{\ln x}{x}$.

EXERCICE 08 · tangentes niveau 2

Détermine l'équation de la tangente à la courbe de $\ln$ : a. au point d'abscisse 1 ; b. au point d'abscisse $e$.

EXERCICE 09 · variations · preuve niveau 2

Soit $f(x) = x - \ln x$ sur $\left]0\;;\,+\infty\right[$. a. Étudie les variations de $f$. b. Déduis-en que pour tout $x > 0$, $\ln x < x$.

EXERCICE 10 · limites niveau 2

Détermine : a. $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \ln x$ ; b. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}$ ; c. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(x - \ln x\right)$ ; d. $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x\ln x$.

EXERCICE 11 · seuil qⁿ niveau 2

Une voiture perd 20 % de sa valeur chaque année : après $n$ années, il en reste $0{,}8^n$. À partir de quelle année sa valeur passe-t-elle sous 1 % de la valeur initiale ?

EXERCICE 12 · étude de fonction niveau 3

Soit $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$ sur $\left]0\;;\,+\infty\right[$. a. Détermine les limites de $f$ en $0^+$ et en $+\infty$. b. Montre que $f'(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$ et étudie son signe. c. Dresse le tableau de variations et précise le maximum de $f$.

EXERCICE 13 · le placement qui double niveau 3

On place un capital à 5 % par an : après $n$ années, il est multiplié par $1{,}05^n$. a. Écris l'inéquation qui traduit « le capital a au moins doublé ». b. Résous-la à l'aide du logarithme. c. Conclus, puis vérifie ta réponse par un calcul direct. d. Même question pour un triplement : qu'observe-t-on ?

EXERCICE 14 · problème niveau 3

Le carbone 14 d'un organisme mort se désintègre : la proportion restante après $t$ années est $N(t) = e^{-\lambda t}$, et sa demi-vie est de 5 730 ans (au bout de 5 730 ans, il en reste la moitié). a. Montre que $\lambda = \dfrac{\ln 2}{5\,730}$. b. Un parchemin contient 25 % du carbone 14 initial : quel est son âge exact ? c. Un os en contient 10 % : donne son âge arrondi à la centaine d'années.

VERS LE BAC — EXERCICE 15 ≈ 45 MIN · CALCULATRICE UTILE

On considère la fonction $h$ définie sur $\left]0\;;\,+\infty\right[$ par $h(x) = \ln x - \dfrac{1}{x}$, et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

PARTIE A

Détermine les limites de $h$ en $0^+$ et en $+\infty$.
Montre que pour tout $x > 0$, $h'(x) = \dfrac{x + 1}{x^2}$.
Déduis-en le sens de variation de $h$ sur $\left]0\;;\,+\infty\right[$.

PARTIE B

Montre que l'équation $h(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\left]0\;;\,+\infty\right[$.
Justifie que $\alpha \in \left[1\;;\,2\right]$, puis donne un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0{,}1$.
Déduis de l'étude le signe de $h(x)$ selon les valeurs de $x$.
Montre que $\ln \alpha = \dfrac{1}{\alpha}$.

CHAPITRE SUIVANT

La convexité

Un point pas clair ? Écris-moi.

1. La question posée à l'envers

2. Le miroir de l'exponentielle

3. Les règles de calcul

4. La pente \(1/x\), les variations, les limites

5. Équations, inéquations et seuils

Exercices