CE QUE TU DOIS SAVOIR FAIRE — reconnaître une courbe convexe ou concave, calculer une dérivée seconde, lire la convexité sur le signe de \(f''\), repérer et justifier un point d'inflexion — et dériver les composées \(e^u\), \(\ln u\), \(u^n\), \(\sqrt{u}\) sans oublier le \(u'\).
≈ 60 min de travail · 15 exercices corrigés · mis à jour août 2026
SOMMAIRE ▾
1. Ça monte encore… et pourtant ça va mieux
Tu as déjà vécu cette scène. Une épidémie, le total des cas affiché chaque soir : il monte, tous les jours, sans exception. Et pourtant, un soir, on annonce que « ça va mieux ». Comment une courbe qui monte peut-elle aller mieux ? Ce n'est pas une contradiction — c'est une information que tes outils actuels ne savent pas encore lire.
Regarde la courbe du total des cas. Au début, elle grimpe de plus en plus vite : chaque jour apporte plus de cas que la veille, le virage tourne vers le haut. Puis, passé un certain jour, elle grimpe encore — mais de moins en moins vite : le virage s'est retourné vers le bas. La direction n'a pas changé. La forme du virage, si. C'est elle que le mot « mieux » désigne.
Le total monte du début à la fin. Ce qui change au point marqué, ce n'est pas la direction — c'est le sens du virage : la croissance accélère avant, ralentit après.
Tu sais déjà tout dire sur la direction d'une courbe : c'est le travail de \(f'\), depuis la Première. Ce chapitre construit l'outil qui lit la forme du virage : la dérivée seconde. Au passage, tu gagneras le vocabulaire officiel — convexe, concave, point d'inflexion — et le dernier outil de dérivation qui te manquait, la dérivée d'une composée. Le jour du « mieux » aura alors un nom mathématique précis.
2. Le sens du virage : convexe ou concave
Reprends la courbe que tu connais le mieux — \(f(x) = x^3 - 3x\), celle du chapitre sur la dérivation. Tu sais lire sa pente. Cette fois, ne regarde pas la valeur de la pente : regarde comment elle évolue quand tu avances. Déplace A de gauche à droite, doucement, et surveille le chip de pente.
INTERACTIFLe sens du virage
a = −1,60pente : f′(a) = 4,68pente en baisse — f est concave ici
Avance doucement vers la droite : la pente f′(a) diminue à chaque pas, et la tangente reste au-dessus de la courbe. Le virage tourne vers le bas — f est concave sur cette partie.
La tangente change de côté : au-dessus de la courbe à gauche, en dessous à droite. C'est le même renseignement que le sens d'évolution de la pente.
Ce que tu viens de sentir avec la main, voilà comment on le dit. Deux formes possibles, deux mots officiels — et deux lectures équivalentes, par la tangente ou par la pente.
DÉFINITION
Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\). On dit que \(f\) est convexe sur \(I\) si sa courbe est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes. On dit que \(f\) est concave sur \(I\) si sa courbe est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes.
$$f \text{ convexe sur } I \iff f' \text{ croissante sur } I$$
POURQUOI ?
Les deux lectures racontent le même geste. Si la pente augmente quand on avance, la tangente pivote toujours dans le même sens — vers le haut — et la courbe s'en décolle par au-dessus : c'est la convexité. Si la pente diminue, tout se retourne : la tangente coiffe la courbe. Et retiens l'image inverse aussi : \(f\) concave sur \(I\) \(\iff\) \(f'\) décroissante sur \(I\).
Sur les courbes que tu connais, le vocabulaire se place tout seul : \(x \mapsto x^2\) et \(\exp\) sont convexes sur \(\mathbb{R}\) (leurs pentes ne font qu'augmenter) ; \(\sqrt{x}\) et \(\ln\) sont concaves sur leur domaine (elles montent, mais en s'essoufflant). Monter n'a rien à voir avec être convexe : \(\ln\) monte et est concave.
EXEMPLE RÉSOLU — LA CONVEXITÉ QUI DÉMONTRE UNE INÉGALITÉ
Montre que pour tout réel \(x\), \(e^x \geq x + 1\).
Étape 1 — \(\exp\) est convexe sur \(\mathbb{R}\) : sa dérivée est \(\exp\) elle-même, strictement croissante.
Étape 2 — Sa tangente au point d'abscisse 0 a pour équation \(y = e^0(x - 0) + e^0 = x + 1\).
Étape 3 — Convexe = courbe au-dessus de chacune de ses tangentes : donc \(e^x \geq x + 1\) pour tout \(x\).
Conclusion : trois lignes, zéro calcul de tableau. La position « courbe au-dessus de la tangente » est un outil de démonstration — le bac adore cette question.
TESTE-TOITrois questions, trente secondes
Q1Une fonction est convexe sur \(I\) quand sa courbe est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — la convexité parle de la forme de la courbe, pas de sa direction ni de son signe. Une courbe convexe peut monter, descendre, être négative — mais ses tangentes restent toujours dessous.
Q2\(f\) est convexe sur \(I\) si et seulement si…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — c'est la pente qui doit augmenter, pas la fonction. « \(f'\) positive » dirait que \(f\) monte — c'est la leçon de Première, pas celle-ci. Convexe = la pente ne fait qu'augmenter.
Q3La fonction \(\ln\), qui monte en s'essoufflant, est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — sa pente \(1/x\) diminue quand \(x\) augmente : \(\ln\) est concave. Et elle monte quand même — la preuve vivante que monter et être convexe sont deux questions indépendantes.
3. La dérivée seconde
« \(f'\) croissante »… mais comment le vérifier par le calcul ? Tu connais déjà la réponse depuis la Première : pour savoir si une fonction croît, on regarde le signe de sa dérivée. Il suffit d'appliquer ce réflexe à \(f'\) elle-même — c'est-à-dire de dériver une deuxième fois. Regarde les deux étages : en haut \(f\), en bas la courbe de \(f'\), et un seul point pour les deux.
INTERACTIFLes deux étages : f en haut, f ′ en bas
f′(a) = 3,75f″(a) = −9,00f″(a) < 0 — f′ descend : f est concave
En bas, la courbe de f′ descend : sa pente f″(a) est négative. Traduction à l'étage du dessus : la pente de f diminue, f est concave.
La petite tangente du bas est la pente de f′ — c'est elle qu'on appelle f″. Le signe de f″, en bas, commande la forme de f, en haut.
DÉFINITION
Soit \(f\) deux fois dérivable sur \(I\). La dérivée seconde de \(f\), notée \(f''\), est la dérivée de la dérivée : \(f'' = \left(f'\right)'\). Elle mesure la vitesse à laquelle la pente évolue — comme l'accélération mesure la vitesse à laquelle la vitesse évolue.
PROPRIÉTÉ — LE CRITÈRE DE CONVEXITÉ
$$f'' \geq 0 \text{ sur } I \iff f \text{ convexe sur } I \qquad\qquad f'' \leq 0 \text{ sur } I \iff f \text{ concave sur } I$$
Rien de neuf sous le capot : c'est le théorème de Première « signe de la dérivée = sens de variation », appliqué à la fonction \(f'\). Si \(f'' \geq 0\), alors \(f'\) croît, donc \(f\) est convexe.
MÉTHODE — ÉTUDIER LA CONVEXITÉ D'UNE FONCTION
1.Dérive \(f\) deux fois de suite : \(f'\), puis \(f''\).
2.Étudie le signe de \(f''(x)\) — factorise si besoin, exactement comme pour un signe de \(f'\).
Exemple complet avec \(f(x) = x^4 - 6x^2\). On dérive deux fois : \(f'(x) = 4x^3 - 12x\), puis \(f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x-1)(x+1)\). Le signe de \(f''\) se lit dans un tableau, colonne par colonne — le même geste que pour les signes de \(f'\).
TABLEAU DE CONVEXITÉf″(x) = 12(x−1)(x+1)
x
−∞
−1
1
+∞
x + 1
−
0
+
+
x − 1
−
−
0
+
f″(x)
+
0
−
0
+
Conclusion de l'étude : \(f\) est convexe sur \(\left]-\infty\;;\,-1\right]\), concave sur \(\left[-1\;;\,1\right]\), convexe sur \(\left[1\;;\,+\infty\right[\). Et en \(-1\) et \(1\), là où \(f''\) s'annule en changeant de signe, il se passe quelque chose de spécial — c'est justement l'objet de la section suivante.
TESTE-TOIEncore trois sur f″
Q1\(f''\), c'est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — on dérive, puis on dérive le résultat : \(f'' = (f')'\). Les deux primes se lisent comme deux étages de dérivation, pas comme une puissance.
Q2\(f'' \geq 0\) sur \(I\). Donc sur \(I\)…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — chaque étage a son théorème : le signe de \(f'\) commande les variations de \(f\), le signe de \(f''\) commande sa forme. \(f'' \geq 0\) dit que la pente monte — pas la fonction, ni son signe.
Q3\(f(x) = x^3\), donc \(f''(x) = 6x\). Sur quel intervalle \(f\) est-elle convexe ?
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — \(6x \geq 0\) pour \(x \geq 0\) : convexe à droite de 0, concave à gauche. Une même courbe peut changer de forme — c'est même ce qui rend la suite intéressante.
4. Le point d'inflexion
Reviens un instant à l'épidémie. Le jour du « mieux », la courbe passait de « virage vers le haut » à « virage vers le bas » : de convexe à concave. Ce point de bascule a un nom — et une signature graphique très reconnaissable : la tangente y traverse la courbe, au lieu de rester d'un seul côté.
DÉFINITION
Un point d'inflexion de la courbe de \(f\) est un point où la courbe traverse sa tangente — c'est-à-dire un point où \(f\) change de forme : convexe d'un côté, concave de l'autre.
PROPRIÉTÉ — REPÉRER UNE INFLEXION PAR LE CALCUL
La courbe de \(f\) admet un point d'inflexion au point d'abscisse \(a\) si et seulement si \(f''\) s'annule en \(a\) en changeant de signe.
Attention à la deuxième moitié de la phrase : \(f''(a) = 0\) seul ne suffit pas. Il faut le changement de signe — tu vas le vérifier toi-même sur la quatrième courbe du jeu ci-dessous.
À toi de jouer. Quatre courbes, un point marqué sur chacune, sa tangente en pointillé : convexe, concave, ou point d'inflexion ? La dernière est un piège assumé — le préféré des correcteurs.
INTERACTIFConvexe, concave… ou point d'inflexion ?
COURBE 1/4
Au point marqué (tangente en pointillé), la courbe est…
PAS ENCORE — regarde de quel côté de la tangente vit la courbe : dessus, dessous… ou les deux ?
EXACT — la tangente est entièrement sous la courbe, et la pente augmente quand on avance : convexe. C'est une parabole tournée vers le haut : \(f''(x) = 2 > 0\) partout.
EXACT — cette fois la tangente coiffe la courbe : concave. \(f(x) = 2 - x^2\) donne \(f''(x) = -2 < 0\) partout — la parabole tournée vers le bas.
EXACT — au point marqué, la tangente traverse la courbe : concave à gauche, convexe à droite. Point d'inflexion — \(f''(x) = 6x\) s'annule en 0 en changeant de signe.
EXACT — piège déjoué. \(f(x) = x^4 - 2\) a bien \(f''(0) = 0\)… mais \(f''(x) = 12x^2\) est positive des deux côtés : pas de changement de signe, pas d'inflexion. La tangente reste sous la courbe : convexe.
MÉTHODE — TROUVER LES POINTS D'INFLEXION
1.Calcule \(f''\) et résous \(f''(x) = 0\) : tu obtiens les abscisses candidates.
2.Vérifie le changement de signe de \(f''\) de part et d'autre de chaque candidate (tableau de signes).
3.Pour chaque abscisse retenue \(a\), donne le point : \(\left(a\;;\,f(a)\right)\) — le bac demande les deux coordonnées.
EXEMPLE RÉSOLU — L'INFLEXION D'UNE CUBIQUE
Détermine le point d'inflexion de la courbe de \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\).
Étape 1 — \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\), puis \(f''(x) = 6x - 12\), qui s'annule en \(x = 2\).
Étape 2 — \(6x - 12\) est négatif avant 2, positif après : le signe change bien. \(f\) est concave sur \(\left]-\infty\;;\,2\right]\), convexe ensuite.
Étape 3 — \(f(2) = 8 - 24 + 18 + 1 = 3\) : le point d'inflexion est \(\left(2\;;\,3\right)\).
Conclusion : candidate par \(f'' = 0\), confirmation par le changement de signe, réponse en coordonnées complètes. Trois étapes, trois points au barème.
À RETENIR
Point d'inflexion : \(f''\) s'annule en changeant de signe — et la tangente traverse la courbe. \(f''(a) = 0\) tout seul ne prouve rien : pense à \(x^4\).
TESTE-TOITrois sur l'inflexion
Q1En un point d'inflexion, la tangente…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — la courbe change de côté : dessous d'un côté, dessus de l'autre. La tangente peut être horizontale ou pas — ce n'est pas le critère. Le critère, c'est la traversée.
Q2\(f''(a) = 0\). Peut-on conclure que la courbe a une inflexion en \(a\) ?
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — \(f'' = 0\) donne des candidates, le changement de signe donne le verdict. \(x^4\) en 0 : \(f''(0) = 0\), mais \(12x^2\) reste positive — aucune inflexion.
Q3Au point d'inflexion de la courbe de l'épidémie, qu'est-ce qui est maximal ?
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — avant ce jour la croissance accélérait, après elle ralentit : c'est le jour où \(f'\) — les nouveaux cas quotidiens — passe par son maximum. Le total, lui, continue de monter : l'inflexion est un extremum de la pente, pas de \(f\).
5. La dérivée d'une composée
Il reste un trou dans ta boîte à outils. Dériver \(e^{-2x}\), \(\ln(x^2+1)\), \(\sqrt{2x+1}\) : aucune règle de Première — somme, produit, quotient — ne s'applique. Ces fonctions sont des composées : deux fonctions branchées en série, la sortie de l'une devient l'entrée de l'autre. Pour les dériver, suis le chemin d'un pas de \(x\) à travers les deux étages.
INTERACTIFLes pentes se multiplient
x
f′(1) = u′ × g′(u) = 2 × 6 = 12
u = 2x + 1 = 3y = u² = 9pente totale : 12
Le premier étage multiplie toujours par 2. Le deuxième multiplie par g′(u) = 2u, la pente de la parabole à l'endroit exact où le point est arrivé. Pente totale : le produit des deux.
Suis le fil : x entre en haut, u = 2x + 1 en sort — et devient l'entrée t du bas. La pente du bas se lit donc en t = u, jamais en x.
Voilà toute la règle : chaque étage multiplie le pas par sa propre pente, et les pentes se multiplient. Une seule subtilité, que le graphique t'a montrée : la pente du deuxième étage se lit là où le point est arrivé — en \(u(x)\), pas en \(x\).
PROPRIÉTÉ — DÉRIVÉE D'UNE COMPOSÉE (admise)
Si \(u\) est dérivable sur \(I\) et \(g\) dérivable sur un intervalle contenant les valeurs de \(u\), alors \(x \mapsto g\!\left(u(x)\right)\) est dérivable sur \(I\) et :
Étape 3 — \(g\) est convexe sur \(\left[-1\;;\,1\right]\), concave à l'extérieur ; deux points d'inflexion, \(\left(-1\;;\,\ln 2\right)\) et \(\left(1\;;\,\ln 2\right)\).
Conclusion : composée, dérivée seconde, inflexions — les trois outils du chapitre en une seule fonction. C'est exactement le format d'une question de bac.
À RETENIR
Une composée se dérive en deux temps : \(g'(u)\) — en gardant \(u\) — fois \(u'\). Le \(u'\) oublié est l'erreur de dérivation n° 1 en Terminale.
TESTE-TOIQuatre questions pour finir
Q1\(\left(e^{2x}\right)'\) vaut…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — \(u = 2x\), \(u' = 2\) : le \(u'\) sort en facteur. Sans lui, tu as dérivé \(e^x\) ; et \(2x\,e^{2x-1}\), c'est la règle des puissances appliquée à une exponentielle — deux mondes différents.
EXACT — \(\dfrac{u'}{u} = \dfrac{3}{3x} = \dfrac{1}{x}\). Logique : \(\ln(3x) = \ln 3 + \ln x\), et la constante \(\ln 3\) disparaît en dérivant. \(\dfrac{1}{3x}\), c'est le \(u'\) oublié.
Q3\(\left(\sqrt{2x+1}\right)'\) vaut…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — \(\dfrac{u'}{2\sqrt{u}} = \dfrac{2}{2\sqrt{2x+1}} = \dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}\) : le \(u' = 2\) simplifie le 2 du dénominateur. La première réponse est la formule sans le \(u'\) — le piège classique.
Q4Pour trouver un point d'inflexion, on cherche où…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — \(f' = 0\) donne les extremums de \(f\), \(f\) qui change de signe donne les points où la courbe coupe l'axe. L'inflexion, elle, vit à l'étage de \(f''\) — chaque étage a son théorème.
LES PIÈGES CLASSIQUES
Confondre « croissante » et « convexe ». La croissance parle de la direction, la convexité parle du virage. \(\ln\) est croissante et concave ; \(e^{-x}\) est décroissante et convexe. Les deux questions sont indépendantes — et le bac aime les croiser.
Conclure à une inflexion dès que \(f''(a) = 0\). Il faut le changement de signe. Contre-exemple à connaître par cœur : \(f(x) = x^4\) en 0 — \(f''(0) = 0\), mais \(f'' = 12x^2\) reste positive, la courbe est convexe, aucune inflexion.
Mélanger les étages \(f'\) et \(f''\). Le signe de \(f'\) dit si \(f\) monte ou descend ; le signe de \(f''\) dit si la courbe est convexe ou concave. « \(f'' \geq 0\) donc \(f\) croissante » est un non-sens — c'est \(f'\) qui croît.
Oublier le \(u'\) dans une composée. \(\left(e^{2x}\right)' = 2e^{2x}\), pas \(e^{2x}\). Réflexe de vérification : après chaque dérivée de composée, cherche le \(u'\) dans ta réponse. S'il n'y est pas, elle est fausse.
Prendre un point d'inflexion pour un extremum. Au point d'inflexion, c'est la pente \(f'\) qui passe par un extremum — pas \(f\). La courbe de l'épidémie continue de monter après son inflexion : seul le rythme change.
L'ESSENTIEL EN 5 LIGNES
CONVEXE
Courbe au-dessus de ses tangentes \(\iff\) \(f'\) croissante. Concave : en dessous \(\iff\) \(f'\) décroissante.
f″
\(f'' = \left(f'\right)'\), la dérivée de la dérivée ; \(f'' \geq 0\) sur \(I\) \(\iff\) \(f\) convexe sur \(I\).
INFLEXION
\(f''\) s'annule en changeant de signe ; la tangente traverse la courbe ; donner le point \(\left(a\;;\,f(a)\right)\).
Convexité = signe de \(f''\) : dérive deux fois, tableau de signes, conclus — et vérifie le changement de signe avant de parler d'inflexion.
Exercices
15 corrigés
Commence par le niveau 1. Cherche vraiment avant d'ouvrir le corrigé — c'est là que ça rentre. Les exercices suivent l'ordre du cours : convexité et tangentes, dérivée seconde, points d'inflexion, composées, et un problème pour finir.
EXERCICE 01 · convexe ou concaveniveau 1
Pour chaque fonction, dis si elle est convexe ou concave sur son domaine, en justifiant d'une phrase : a. \(x \mapsto x^2\) ; b. \(x \mapsto e^x\) ; c. \(x \mapsto \sqrt{x}\) ; d. \(x \mapsto \ln x\).
CORRIGÉ
a. — \(\left(x^2\right)'' = 2 > 0\) : convexe sur \(\mathbb{R}\).
b. — \(\left(e^x\right)'' = e^x > 0\) : convexe sur \(\mathbb{R}\).
c. — la pente \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) diminue quand \(x\) augmente : concave sur \(\left]0\;;\,+\infty\right[\).
d. — \(\left(\ln x\right)'' = \left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2} < 0\) : concave sur \(\left]0\;;\,+\infty\right[\).
Conclusion : les deux qui accélèrent (\(x^2\), \(e^x\)) sont convexes, les deux qui s'essoufflent (\(\sqrt{x}\), \(\ln x\)) sont concaves — quatre références à garder en tête.
EXERCICE 02 · position et tangenteniveau 2
Soit \(f(x) = x^2\). a. Détermine l'équation de la tangente \(T\) à la courbe de \(f\) au point d'abscisse 1. b. Montre par le calcul que la courbe est au-dessus de \(T\) sur \(\mathbb{R}\) tout entier. c. Quel mot du chapitre ce résultat illustre-t-il ?
CORRIGÉ
a. — \(f(1) = 1\), \(f'(x) = 2x\) donc \(f'(1) = 2\) : \(T : y = 2(x - 1) + 1 = 2x - 1\).
b. — \(f(x) - (2x - 1) = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \geq 0\) : la courbe est au-dessus de \(T\), avec égalité seulement au point de contact \(x = 1\).
c. — La convexité : \(x^2\) est convexe, donc au-dessus de chacune de ses tangentes — celle-ci en particulier.
Conclusion : « courbe moins tangente » qui se factorise en un carré — c'est la signature algébrique de la convexité, et une question de bac très classique.
EXERCICE 03 · l'inégalité par convexiténiveau 2
a. Détermine l'équation de la tangente à la courbe de \(\exp\) au point d'abscisse 1. b. Déduis-en que pour tout réel \(x\), \(e^x \geq e\,x\).
CORRIGÉ
a. — \(e^1 = e\) et \(\left(e^x\right)' = e^x\) donne une pente \(e\) en 1 : \(T : y = e(x - 1) + e = e\,x\). La tangente passe par l'origine.
b. — \(\exp\) est convexe sur \(\mathbb{R}\) (sa dérivée seconde est \(e^x > 0\)) : sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes, donc \(e^x \geq e\,x\) pour tout \(x\), avec égalité en \(x = 1\).
Conclusion : même méthode que \(e^x \geq x + 1\) vue en cours, avec une autre tangente. Une tangente bien choisie + la convexité = une inégalité démontrée en deux lignes.
EXERCICE 04 · calculer f″niveau 1
Calcule la dérivée seconde de chaque fonction : a. \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x\) ; b. \(g(x) = x^4\) ; c. \(h(x) = \dfrac{1}{x}\) sur \(\left]0\;;\,+\infty\right[\) ; d. \(k(x) = x\,e^x\).
CORRIGÉ
a. — \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 5\), puis \(f''(x) = 6x - 6\).
b. — \(g'(x) = 4x^3\), puis \(g''(x) = 12x^2\).
c. — \(h'(x) = -\dfrac{1}{x^2}\), puis \(h''(x) = \dfrac{2}{x^3}\).
d. — produit : \(k'(x) = e^x + x\,e^x = (1 + x)\,e^x\), puis \(k''(x) = e^x + (1+x)\,e^x = (2 + x)\,e^x\).
Conclusion : dériver deux fois, c'est appliquer deux fois les règles que tu connais déjà — aucun outil nouveau, juste un étage de plus.
EXERCICE 05 · lire le signe de f″niveau 1
Une fonction \(f\), deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\), vérifie : \(f''(x) < 0\) sur \(\left]-\infty\;;\,1\right[\), \(f''(1) = 0\), et \(f''(x) > 0\) sur \(\left]1\;;\,+\infty\right[\). a. Donne la forme de la courbe de \(f\) sur chacun des deux intervalles. b. Que se passe-t-il au point d'abscisse 1 ?
CORRIGÉ
a. — \(f'' < 0\) avant 1 : \(f\) y est concave. \(f'' > 0\) après : \(f\) y est convexe.
b. — \(f''\) s'annule en 1 en changeant de signe : la courbe admet un point d'inflexion au point d'abscisse 1 — elle y traverse sa tangente.
Conclusion : tout le vocabulaire du chapitre se lit sur le seul signe de \(f''\) — sans jamais connaître \(f\).
EXERCICE 06 · étude de convexiténiveau 2
Soit \(f(x) = x^3 - 6x^2\). a. Calcule \(f''(x)\). b. Étudie la convexité de \(f\) sur \(\mathbb{R}\). c. La courbe admet-elle un point d'inflexion ? Si oui, donne ses coordonnées.
CORRIGÉ
a. — \(f'(x) = 3x^2 - 12x\), puis \(f''(x) = 6x - 12\).
b. — \(6x - 12 \leq 0 \iff x \leq 2\) : \(f\) est concave sur \(\left]-\infty\;;\,2\right]\) et convexe sur \(\left[2\;;\,+\infty\right[\).
c. — \(f''\) s'annule en 2 en changeant de signe : point d'inflexion en \(x = 2\), et \(f(2) = 8 - 24 = -16\) : le point \(\left(2\;;\,-16\right)\).
Conclusion : dérive deux fois, signe, conclusion en intervalles — puis le point complet, avec ses deux coordonnées. C'est le déroulé attendu au bac, à la ligne près.
EXERCICE 07 · le piège f″(a) = 0niveau 2
Soit \(f(x) = x^4\) et \(g(x) = x^3\). a. Vérifie que \(f''(0) = 0\) et \(g''(0) = 0\). b. L'une des deux courbes a un point d'inflexion en 0, l'autre non : laquelle, et pourquoi ?
CORRIGÉ
a. — \(f''(x) = 12x^2\) et \(g''(x) = 6x\) : les deux s'annulent bien en 0.
b. — Tout se joue sur le changement de signe. \(g''(x) = 6x\) est négative avant 0, positive après : changement de signe, la courbe de \(g\) a un point d'inflexion en \(\left(0\;;\,0\right)\). \(f''(x) = 12x^2\) est positive des deux côtés : pas de changement, \(f\) reste convexe, pas d'inflexion — la courbe de \(x^4\) est juste très aplatie en 0.
Conclusion : \(f''(a) = 0\) désigne une candidate, jamais une conclusion. Le verdict appartient au changement de signe.
EXERCICE 08 · deux inflexionsniveau 2
Soit \(f(x) = x^4 - 4x^3\). a. Montre que \(f''(x) = 12x(x - 2)\). b. Dresse le tableau de signes de \(f''\) et étudie la convexité de \(f\). c. Donne les coordonnées des points d'inflexion.
CORRIGÉ
a. — \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2\), puis \(f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x - 2)\).
b. — Produit de deux facteurs qui s'annulent en 0 et 2 : \(f''\) est positive avant 0 (deux facteurs négatifs), négative entre 0 et 2, positive après 2. Donc \(f\) est convexe sur \(\left]-\infty\;;\,0\right]\), concave sur \(\left[0\;;\,2\right]\), convexe sur \(\left[2\;;\,+\infty\right[\).
c. — Changement de signe en 0 et en 2 : deux points d'inflexion. \(f(0) = 0\) et \(f(2) = 16 - 32 = -16\) : les points \(\left(0\;;\,0\right)\) et \(\left(2\;;\,-16\right)\).
Conclusion : une courbe peut changer de forme plusieurs fois — un tableau de signes complet évite d'en oublier une.
EXERCICE 09 · l'étude complèteniveau 2
Reprends \(f(x) = x^3 - 3x\), la fonction des graphiques du cours, et refais l'étude à la main : a. variations de \(f\) (signe de \(f'\), extremums) ; b. convexité de \(f\) (signe de \(f''\)) ; c. point d'inflexion et tangente en ce point.
CORRIGÉ
a. — \(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)\) : positive à l'extérieur de \(\left[-1\;;\,1\right]\), négative dedans. \(f\) croît, décroît, croît ; maximum local \(f(-1) = 2\), minimum local \(f(1) = -2\).
b. — \(f''(x) = 6x\) : \(f\) est concave sur \(\left]-\infty\;;\,0\right]\), convexe sur \(\left[0\;;\,+\infty\right[\).
c. — \(f''\) change de signe en 0 : point d'inflexion \(\left(0\;;\,0\right)\). Tangente en 0 : pente \(f'(0) = -3\), donc \(y = -3x\) — et la courbe la traverse, comme tu l'as vu dans le jeu.
Conclusion : variations à l'étage \(f'\), forme à l'étage \(f''\) — les deux études se posent côte à côte et ne se mélangent jamais.
EXERCICE 10 · dériver des composéesniveau 1
Dérive chaque fonction en identifiant \(u\) d'abord : a. \(f(x) = e^{3x}\) ; b. \(g(x) = (2x+1)^4\) ; c. \(h(x) = \ln(3x)\) sur \(\left]0\;;\,+\infty\right[\) ; d. \(k(x) = \sqrt{x^2+1}\).
Conclusion : quatre composées, quatre \(u'\) écrits noir sur blanc. Prends l'habitude de nommer \(u\) par écrit — c'est l'assurance anti-oubli.
EXERCICE 11 · composée et convexiténiveau 2
a. Montre que \(f(x) = e^{-2x}\) est décroissante et convexe sur \(\mathbb{R}\). b. Montre que \(g(x) = \sqrt{2x+1}\) est croissante et concave sur \(\left]-\frac{1}{2}\;;\,+\infty\right[\). c. Que retenir de ces deux exemples ?
CORRIGÉ
a. — \(f'(x) = -2\,e^{-2x} < 0\) : décroissante. \(f''(x) = 4\,e^{-2x} > 0\) : convexe. La courbe descend en s'aplatissant.
b. — \(g'(x) = \dfrac{2}{2\sqrt{2x+1}} = \dfrac{1}{\sqrt{2x+1}} > 0\) : croissante. En dérivant encore (composée puissance) : \(g''(x) = -\dfrac{1}{\left(2x+1\right)\sqrt{2x+1}} < 0\) : concave. La courbe monte en s'essoufflant.
c. — Sens de variation et convexité sont deux informations indépendantes : toutes les combinaisons existent.
Conclusion : quand un énoncé demande « variations et convexité », il attend deux études séparées — une à chaque étage de dérivation.
EXERCICE 12 · étude avec exponentielleniveau 3
Soit \(f(x) = x\,e^{-x}\) sur \(\mathbb{R}\). a. Montre que \(f'(x) = (1 - x)\,e^{-x}\) et dresse le tableau de variations de \(f\). b. Montre que \(f''(x) = (x - 2)\,e^{-x}\). c. Étudie la convexité de \(f\) et donne le point d'inflexion.
CORRIGÉ
a. — Produit avec \(\left(e^{-x}\right)' = -e^{-x}\) : \(f'(x) = e^{-x} - x\,e^{-x} = (1 - x)\,e^{-x}\). Comme \(e^{-x} > 0\), \(f'\) est du signe de \(1 - x\) : \(f\) croît sur \(\left]-\infty\;;\,1\right]\), décroît ensuite ; maximum \(f(1) = \dfrac{1}{e}\).
c. — \(f''\) est du signe de \(x - 2\) : concave sur \(\left]-\infty\;;\,2\right]\), convexe sur \(\left[2\;;\,+\infty\right[\). Changement de signe en 2 : point d'inflexion \(\left(2\;;\,\dfrac{2}{e^2}\right)\).
Conclusion : le facteur \(e^{-x}\), toujours positif, se met en facteur et sort du signe — le réflexe qui rend toutes ces études rapides.
EXERCICE 13 · avec un paramètreniveau 3
Soit \(f(x) = x^3 + a\,x^2 + 3x\), où \(a\) est un réel. a. Calcule \(f''(x)\) en fonction de \(a\). b. Détermine \(a\) pour que la courbe de \(f\) admette un point d'inflexion au point d'abscisse 1. c. Pour cette valeur de \(a\), donne les coordonnées du point d'inflexion.
CORRIGÉ
a. — \(f'(x) = 3x^2 + 2a\,x + 3\), puis \(f''(x) = 6x + 2a\).
b. — Il faut \(f''(1) = 0\) : \(6 + 2a = 0\), donc \(a = -3\). Et \(f''(x) = 6x - 6\), fonction affine croissante, change bien de signe en 1 : l'inflexion est confirmée, pas seulement candidate.
c. — Avec \(a = -3\) : \(f(1) = 1 - 3 + 3 = 1\) : le point \(\left(1\;;\,1\right)\).
Conclusion : la condition \(f''(1) = 0\) donne \(a\), mais la rédaction complète vérifie aussi le changement de signe — le correcteur regarde cette ligne-là.
EXERCICE 14 · problèmeniveau 3
Une appli lancée un lundi cumule \(N(t) = -t^3 + 9t^2\) milliers de téléchargements au bout de \(t\) jours, pour \(t \in \left[0\;;\,6\right]\). a. Montre que \(N\) est croissante sur \(\left[0\;;\,6\right]\). b. Étudie le signe de \(N''(t)\) et la convexité de \(N\). c. Montre que le rythme des téléchargements — c'est-à-dire \(N'(t)\) — est maximal le jour de l'inflexion, et calcule ce rythme. d. L'équipe parle du « jour où la hype est retombée » : lequel est-ce, et pourquoi les téléchargements continuent-ils pourtant d'augmenter ?
CORRIGÉ
a. — \(N'(t) = -3t^2 + 18t = 3t(6 - t)\) : positif sur \(\left[0\;;\,6\right]\) (les deux facteurs y sont positifs). \(N\) est croissante sur tout l'intervalle.
b. — \(N''(t) = -6t + 18\) : positif avant \(t = 3\), négatif après. \(N\) est convexe sur \(\left[0\;;\,3\right]\) (la croissance accélère), concave sur \(\left[3\;;\,6\right]\) (elle ralentit) ; inflexion en \(t = 3\), avec \(N(3) = -27 + 81 = 54\).
c. — \(N'\) a pour dérivée \(N''\), qui s'annule en 3 en passant du positif au négatif : \(N'\) est maximal en \(t = 3\). \(N'(3) = -27 + 54 = 27\) : 27 000 téléchargements ce jour-là, le record.
d. — Le jour 3 : après lui, chaque journée apporte moins que la précédente — c'est le sens de la concavité. Mais chaque journée apporte encore du positif (\(N' > 0\)) : le total monte toujours. La hype, c'est \(N'\) ; le compteur, c'est \(N\).
Conclusion : exactement l'histoire de l'épidémie du début du chapitre — l'inflexion est le jour où le rythme culmine, pas le total. Tu sais maintenant le démontrer.
VERS LE BAC — EXERCICE 15≈ 45 MIN · SANS CALCULATRICE
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (1 + x)\,e^{-x}\), et \(\mathcal{C}\) sa courbe représentative. On admet que \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x\,e^{-x} = 0\).
PARTIE A
Montre que pour tout réel \(x\), \(f'(x) = -x\,e^{-x}\).
Dresse le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) (limite en \(+\infty\) comprise) et précise son maximum.
Déduis-en que pour tout réel \(x\), \((1 + x)\,e^{-x} \leq 1\).
PARTIE B
Montre que pour tout réel \(x\), \(f''(x) = (x - 1)\,e^{-x}\).
Étudie la convexité de \(f\) et montre que \(\mathcal{C}\) admet un unique point d'inflexion, dont tu donneras les coordonnées.
Détermine l'équation de la tangente \(T\) à \(\mathcal{C}\) au point d'inflexion.
Justifie que sur \(\left[1\;;\,+\infty\right[\), \(\mathcal{C}\) est au-dessus de \(T\).
A.2 — \(e^{-x} > 0\) : \(f'\) est du signe de \(-x\). \(f\) croît sur \(\left]-\infty\;;\,0\right]\), décroît sur \(\left[0\;;\,+\infty\right[\) ; maximum \(f(0) = 1\). En \(+\infty\) : \(f(x) = e^{-x} + x\,e^{-x} \to 0\) (limite admise) ; en \(-\infty\), \(f(x) \to -\infty\) (produit d'un facteur qui tend vers \(-\infty\) et d'une exponentielle qui explose).
A.3 — Le maximum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) vaut 1 : pour tout \(x\), \(f(x) \leq 1\), c'est exactement l'inégalité demandée.
B.2 — \(f''\) est du signe de \(x - 1\) : \(f\) est concave sur \(\left]-\infty\;;\,1\right]\), convexe sur \(\left[1\;;\,+\infty\right[\). Changement de signe en 1 : unique point d'inflexion \(\left(1\;;\,\dfrac{2}{e}\right)\).
B.4 — Sur \(\left[1\;;\,+\infty\right[\), \(f\) est convexe : sa courbe y est au-dessus de chacune de ses tangentes, en particulier de \(T\), sa tangente au point d'abscisse 1.