CE QUE TU DOIS SAVOIR FAIRE — passer du cercle trigonométrique aux courbes, exploiter la périodicité et la parité, dériver avec \((\sin x)' = \cos x\) et \((\cos x)' = -\sin x\) (composées comprises), étudier les variations sur une période — et résoudre \(\cos x = a\) et \(\sin x = a\) sans oublier la deuxième famille de solutions.
≈ 60 min de travail · 15 exercices corrigés · mis à jour août 2026
SOMMAIRE ▾
1. La grande roue, vue dans le temps
Remonte dans la grande roue de Première — celle qui t'a fait découvrir le radian, dans le chapitre sur la trigonométrie. Cette fois, la roue tourne sans s'arrêter, à vitesse constante : un tour dure exactement \(2\pi\) unités de temps, et on mesure ta hauteur par rapport au centre, en rayons. Chaque tour te fait vivre la même histoire : tu montes, tu culmines, tu redescends, tu passes au plus bas, tu remontes.
Maintenant, trace cette hauteur en fonction du temps. Il apparaît une vague — régulière, lisse, qui se répète à l'identique à chaque tour. Cette vague, tu la connais de nom depuis la Première : c'est la courbe du sinus. Ce qui change cette année, c'est le point de vue : \(\sin\) n'est plus seulement une coordonnée sur un cercle, c'est une fonction, avec sa courbe, sa dérivée, ses variations et ses équations.
La roue à gauche, le temps à droite : la hauteur du point M, reportée tour après tour, dessine une vague. C'est le graphique interactif de la section suivante, figé à \(t = \pi/3\).
Tout ce que tu sais du cercle — les radians, les valeurs remarquables, les angles associés — va se traduire en propriétés de courbes : la répétition des tours deviendra la périodicité, les symétries du cercle deviendront la parité, et la vitesse de rotation donnera les dérivées. À la fin, tu sauras résoudre les équations que le cercle pose — \(\cos x = a\) — proprement, avec toutes leurs solutions.
2. Dérouler le cercle
Le geste fondateur du chapitre : prendre le cercle de Première et le dérouler dans le temps. Fais tourner M sur le cercle, et regarde le point accent construire la courbe — sa hauteur est l'ordonnée de M (mode sinus) ou son abscisse (mode cosinus). Fais un tour complet.
INTERACTIFDérouler le cercle
t = π/3sin t = 0,87
La hauteur du point de la courbe, c'est l'ordonnée de M — rien d'autre. Fais un tour complet pour tracer toute la courbe.
Les graduations de l'axe sont en radians : π/2, π, 3π/2, 2π. Sur un angle remarquable, la légende affiche la valeur exacte.
Ce que tu viens de tracer à la main, voilà comment on le dit : à chaque réel \(x\), le cercle associe un point — et ce point fournit deux nombres.
DÉFINITION
Pour tout réel \(x\), on note \(M(x)\) le point du cercle trigonométrique repéré par l'angle \(x\) (en radians). La fonction cosinus associe à \(x\) l'abscisse de \(M(x)\) ; la fonction sinus lui associe son ordonnée. Toutes deux sont définies sur \(\mathbb{R}\).
$$M(x) = \left(\cos x\;;\,\sin x\right)$$
PROPRIÉTÉ — CE QUE LE CERCLE IMPOSE AUX COURBES
Pour tout réel \(x\) : \(-1 \leq \cos x \leq 1\) et \(-1 \leq \sin x \leq 1\) — les courbes vivent dans une bande de hauteur 2, et les bornes sont atteintes.
Et toujours \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\) : le rayon du cercle vaut 1, où que soit \(M\).
LES VALEURS REMARQUABLESà savoir sans hésiter
x
0
\(\dfrac{\pi}{6}\)
\(\dfrac{\pi}{4}\)
\(\dfrac{\pi}{3}\)
\(\dfrac{\pi}{2}\)
\(\sin x\)
\(0\)
\(\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(1\)
\(\cos x\)
\(1\)
\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\dfrac{1}{2}\)
\(0\)
TESTE-TOITrois questions, trente secondes
Q1\(\sin\dfrac{\pi}{2}\) vaut…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — à l'angle \(\pi/2\), M est tout en haut du cercle : ordonnée 1. C'est le sommet de la vague du sinus — et \(\sin x\) ne dépasse jamais 1.
Q2Sur le cercle, \(\cos x\) est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — cosinus = abscisse, sinus = ordonnée — dans cet ordre, comme les coordonnées \((x\;;\,y)\). La longueur d'arc, c'est l'angle \(x\) lui-même : c'est la définition du radian.
Q3Les valeurs de \(\sin x\) sont comprises…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — l'ordonnée d'un point d'un cercle de rayon 1 reste entre −1 et 1. Le sinus est bien négatif sous l'axe — la moitié du temps. Et \(\pi\) borne les angles principaux, pas les valeurs.
3. Périodicité et parité : la courbe se répète
Un tour de plus sur le cercle, et rien ne change : \(M(x + 2\pi) = M(x)\), le même point exactement. Que devient cette évidence du cercle, côté courbes ? Prends le calque et vérifie de tes mains : décale la copie d'un tour complet, puis retourne-la.
INTERACTIFLe calque
le calque est posé sur la courbe
Le calque (en accent) est posé exactement sur la courbe. Décale-le d'un tour complet, ou retourne-le : que va-t-il se passer ?
PROPRIÉTÉ — PÉRIODICITÉ ET PARITÉ
Périodicité. Pour tout réel \(x\) : \(\cos(x + 2\pi) = \cos x\) et \(\sin(x + 2\pi) = \sin x\). Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période \(2\pi\) : leurs courbes sont invariantes par translation de \(2\pi\) le long de l'axe des abscisses.
Parité. Pour tout réel \(x\) : \(\cos(-x) = \cos x\) — cosinus est paire, sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Et \(\sin(-x) = -\sin x\) — sinus est impaire, sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.
POURQUOI ?
Tout vient du cercle. \(x + 2\pi\), c'est le même point après un tour complet : mêmes coordonnées, donc mêmes cosinus et sinus. Et \(-x\), c'est le point symétrique par rapport à l'axe des abscisses : même abscisse (d'où \(\cos(-x) = \cos x\)), ordonnée opposée (d'où \(\sin(-x) = -\sin x\)). Les angles associés de Première, relus comme des propriétés de fonctions.
MÉTHODE — RÉDUIRE LE DOMAINE D'ÉTUDE
1.Par périodicité, restreins l'étude à un intervalle de longueur \(2\pi\), par exemple \(\left[-\pi\;;\,\pi\right]\) : le reste s'en déduit par translations.
2.Par parité, coupe encore en deux : il suffit d'étudier sur \(\left[0\;;\,\pi\right]\), puis de compléter par la symétrie (axe des ordonnées pour \(\cos\), origine pour \(\sin\)).
3.Rédige-le : « \(f\) est \(2\pi\)-périodique et paire/impaire, on l'étudie donc sur \(\left[0\;;\,\pi\right]\) » — cette phrase vaut des points.
TESTE-TOIEncore trois sur les symétries
Q1\(\sin(x + 2\pi)\) vaut…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — \(x + 2\pi\), c'est un tour complet de plus : M revient au même point, le sinus ne bouge pas. C'est la périodicité — le calque qui retombe sur la courbe.
Q2\(\cos(-x)\) vaut…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — \(x\) et \(-x\) repèrent deux points symétriques par rapport à l'axe des abscisses : même abscisse, donc même cosinus, pour tout \(x\). C'est \(\sin\) qui change de signe, pas \(\cos\).
Q3\(\sin(x + \pi)\) vaut…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — un demi-tour envoie M sur le point diamétralement opposé : les deux coordonnées changent de signe. La période est \(2\pi\), pas \(\pi\) — le calque décalé d'un demi-tour retombe la tête en bas.
4. Les dérivées de sinus et cosinus
Des courbes lisses, sans angles ni ruptures : elles méritent une dérivée. Et celle du sinus est une célébrité. Déplace A le long de la vague et regarde la tangente — puis regarde le point accent, posé sur l'autre courbe : sa hauteur suit exactement la pente.
INTERACTIFLa pente de la sinusoïde
a = π/3pente : cos a = 0,50cos a > 0 — sin monte ici
Point remarquable : la pente en a = π/3 vaut cos(π/3) = 1/2. Le point accent, sur la courbe de cos, est à cette hauteur exacte.
La courbe accent est le relevé de toutes les pentes de la courbe du sinus — et ce relevé est la courbe du cosinus.
PROPRIÉTÉ — LES DÉRIVÉES (admises)
Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur \(\mathbb{R}\), et pour tout réel \(x\) :
Et avec la dérivée de composée du chapitre précédent, pour \(u\) dérivable : \(\left(\sin u\right)' = u' \cos u\) et \(\left(\cos u\right)' = -u' \sin u\). Par exemple \(\left(\sin(2x)\right)' = 2\cos(2x)\).
POURQUOI ?
Regarde les moments clés du graphique. Aux sommets et aux creux de la vague (\(x = \pi/2\), \(3\pi/2\)…), la tangente est horizontale — et c'est exactement là que \(\cos\) s'annule. Entre les deux, le sinus grimpe le plus fort en \(x = 0\), avec une pente qui vaut 1 — et \(\cos 0 = 1\). La courbe des pentes passe par tous les points de la courbe du cosinus : c'est elle. Attention au signe de l'autre formule : \((\cos x)' = -\sin x\), avec le moins.
Le signe de \(\cos\) commande donc les variations de \(\sin\) — le théorème de Première, appliqué aux nouvelles venues. Sur un tour complet :
TABLEAU DE VARIATIONSf(x) = sin x sur [0 ; 2π]
x
0
π/2
3π/2
2π
cos x
+
0
−
0
+
sin
0
1
−1
0
EXEMPLES RÉSOLUS — DÉRIVER AVEC sin ET cos
a. Dérive \(f(x) = x \sin x\).
Calcul — produit : \(f'(x) = 1 \times \sin x + x \times \cos x = \sin x + x\cos x\).
b. Détermine la tangente à la courbe du sinus au point d'abscisse 0.
Calcul — \(\sin 0 = 0\) et pente \(\cos 0 = 1\) : \(T : y = x\). Près de 0, la vague se confond avec cette droite — tu peux le vérifier sur le graphique.
Conclusion : les règles de dérivation de Première tournent sans changement — seules deux lignes s'ajoutent au tableau des dérivées.
TESTE-TOITrois sur les dérivées
Q1\(\left(\cos x\right)'\) vaut…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — le signe moins est le piège n° 1 du chapitre. Vérifie sur la courbe : juste après 0, \(\cos\) descend alors que \(\sin x\) est positif — la pente est bien \(-\sin x\).
Q2\(\left(\sin(3x)\right)'\) vaut…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — composée avec \(u = 3x\) : \(u' = 3\) sort en facteur, et le \(3x\) reste dans le cosinus. Sans le 3, tu as oublié \(u'\) ; sans le \(3x\), tu as cassé l'étage intérieur.
Q3La pente de la courbe du sinus en \(x = \dfrac{\pi}{2}\) vaut…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — \(\cos\frac{\pi}{2} = 0\) : tangente horizontale, au sommet de la vague. Les extremums du sinus vivent exactement aux zéros du cosinus — tu l'as vu sur le graphique.
5. Résoudre \(\cos x = a\) et \(\sin x = a\)
Reste à savoir résoudre les équations que ces fonctions posent. Le danger est connu : une équation trigonométrique n'a presque jamais une solution — elle en a des familles entières. Le cercle les montre toutes d'un coup. Choisis l'équation, règle \(a\), et lis.
INTERACTIFRésoudre sur le cercle
a
cos x = 1/2 → x = π/3 + 2kπ ou x = −π/3 + 2kπ
2 solutions par tour
α = π/3, lu sur le cercle de Première. Les deux points ont la même abscisse 1/2 : mêmes cosinus, angles opposés. D'où les deux familles : α + 2kπ et −α + 2kπ.
Le curseur s'aimante sur les valeurs remarquables (±1, ±√3/2, ±√2/2, ±1/2, 0) : l'angle α s'écrit alors en exact.
PROPRIÉTÉ — LES DEUX FAMILLES DE SOLUTIONS
Pour \(a \in \left[-1\;;\,1\right]\), si \(\alpha\) est une solution de l'équation, alors pour \(k\) entier relatif :
$$\cos x = \cos \alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \;\text{ ou }\; x = -\alpha + 2k\pi$$
$$\sin x = \sin \alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \;\text{ ou }\; x = \pi - \alpha + 2k\pi$$
Retiens la différence par le cercle : mêmes cosinus = angles opposés (\(-\alpha\)) ; mêmes sinus = angles symétriques par rapport à l'axe vertical (\(\pi - \alpha\)).
MÉTHODE — RÉSOUDRE \(\cos x = a\) OU \(\sin x = a\)
1.Trouve un angle \(\alpha\) qui convient — valeurs remarquables d'abord, calculatrice sinon. Dessine le cercle et place la droite (verticale pour \(\cos\), horizontale pour \(\sin\)).
2.Écris les deux familles avec leur « \(+\,2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\) » : \(\pm\alpha\) pour un cosinus, \(\alpha\) et \(\pi - \alpha\) pour un sinus.
3.Si un intervalle est imposé, passe les familles en revue et garde les valeurs de \(k\) qui y tombent — compte-les sur le cercle pour vérifier (deux par tour, en général).
EXEMPLE RÉSOLU — LES DEUX FAMILLES AU TRAVAIL
Résous \(\cos x = \dfrac{1}{2}\) dans \(\mathbb{R}\), puis dans \(\left]-\pi\;;\,\pi\right]\).
Étape 1 — \(\alpha = \dfrac{\pi}{3}\) convient : c'est la valeur remarquable \(\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\).
Étape 2 — Dans \(\mathbb{R}\) : \(x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\) ou \(x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\), avec \(k \in \mathbb{Z}\).
Étape 3 — Dans \(\left]-\pi\;;\,\pi\right]\), chaque famille n'y dépose qu'une valeur (celle de \(k = 0\)) : les solutions sont \(-\dfrac{\pi}{3}\) et \(\dfrac{\pi}{3}\).
Conclusion : d'abord toutes les solutions, ensuite le tri par l'intervalle. Dans l'autre sens, on en oublie toujours.
À RETENIR
Une équation trigonométrique se résout sur le cercle, en deux familles « \(+\,2k\pi\) » : \(\pm\alpha\) pour \(\cos\), \(\alpha\) et \(\pi - \alpha\) pour \(\sin\). Une seule famille écrite = la moitié des solutions perdue.
TESTE-TOIQuatre questions pour finir
Q1Pour \(\cos x = \dfrac{1}{2}\), un angle \(\alpha\) qui convient est…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — \(\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\). Le \(\frac{\pi}{6}\) est le réflexe inversé (\(\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\)), et \(\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}\) : mauvais signe. Le tableau des valeurs, encore et toujours.
Q2Les solutions de \(\cos x = a\) (avec \(0 < a < 1\) et \(\alpha\) une solution) sont…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — même abscisse = angles opposés : \(\pm\alpha\), à \(2k\pi\) près. Le \(\pi - \alpha\), c'est la famille du sinus — les mélanger est l'erreur classique de ce chapitre.
Q3\(\sin x = \sin \alpha\) équivaut à \(x = \alpha + 2k\pi\) ou…
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — même ordonnée = points symétriques par rapport à l'axe vertical : \(\alpha\) et \(\pi - \alpha\). Le \(-\alpha\) a un sinus opposé, et \(+\,k\pi\) mélangerait les tours et les demi-tours.
Q4Combien l'équation \(\cos x = 0{,}3\) a-t-elle de solutions dans \(\left[0\;;\,2\pi\right[\) ?
PAS ENCORE — élimine cette réponse et réessaie.
EXACT — la droite verticale \(x = 0{,}3\) coupe le cercle en deux points : deux solutions par tour. L'infinité, c'est dans \(\mathbb{R}\) — l'intervalle imposé ne garde qu'un tour.
LES PIÈGES CLASSIQUES
Travailler en degrés. Toutes les formules de ce chapitre — les dérivées en tête — ne valent qu'en radians. Une calculatrice restée en mode degrés donne \(\sin 30 \approx -0{,}99\) au lieu de \(0{,}5\) : vérifie le mode avant tout calcul.
Croire que \(\sin(x + \pi) = \sin x\). La période est \(2\pi\), pas \(\pi\) : un demi-tour envoie M à l'opposé, et \(\sin(x + \pi) = -\sin x\). Le calque décalé d'un demi-tour retombe la tête en bas.
Oublier le « \(+\,2k\pi\) ». \(\cos x = \frac{1}{2}\) n'a pas deux solutions mais deux familles de solutions. Sans le \(+\,2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\), tu n'as résolu l'équation que sur un seul tour.
Mélanger les deuxièmes familles. Cosinus égaux = angles opposés (\(-\alpha\)) ; sinus égaux = angles symétriques par rapport à l'axe vertical (\(\pi - \alpha\)). Les intervertir donne des solutions fausses — dessine le cercle plutôt que de réciter.
Écrire \((\cos x)' = \sin x\). Il y a un signe moins : \((\cos x)' = -\sin x\). Vérifie sur la courbe : juste après 0, \(\cos\) descend, sa dérivée doit être négative. Et dans les composées, le \(u'\) reste obligatoire : \((\sin(2x))' = 2\cos(2x)\).
L'ESSENTIEL EN 5 LIGNES
COURBES
\(\cos\) et \(\sin\) sont définies sur \(\mathbb{R}\), à valeurs dans \(\left[-1\;;\,1\right]\), périodiques de période \(2\pi\) ; \(\cos\) est paire, \(\sin\) est impaire.
Le signe de \(\cos\) commande \(\sin\) : sommets de la vague aux zéros de la dérivée ; sur \(\left[0\;;\,2\pi\right]\), \(\sin\) monte à 1, descend à −1, remonte à 0.
ÉQUATIONS
\(\cos x = \cos\alpha \iff x = \pm\alpha + 2k\pi\) ; \(\sin x = \sin\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi\) ou \(\pi - \alpha + 2k\pi\).
VALEURS
\(\sin\) : \(0,\, \frac{1}{2},\, \frac{\sqrt{2}}{2},\, \frac{\sqrt{3}}{2},\, 1\) et \(\cos\) : l'ordre inverse, pour \(x = 0,\, \frac{\pi}{6},\, \frac{\pi}{4},\, \frac{\pi}{3},\, \frac{\pi}{2}\).
Exercices
15 corrigés
Commence par le niveau 1. Cherche vraiment avant d'ouvrir le corrigé — c'est là que ça rentre. Les exercices suivent l'ordre du cours : valeurs et courbes, périodicité et parité, dérivées, variations, équations, et un problème pour finir.
EXERCICE 01 · valeurs remarquablesniveau 1
Donne, sans calculatrice : a. \(\sin\dfrac{\pi}{6}\) ; b. \(\cos\dfrac{\pi}{4}\) ; c. \(\sin\dfrac{\pi}{3}\) ; d. \(\cos \pi\) ; e. \(\sin\dfrac{3\pi}{2}\).
CORRIGÉ
a. — \(\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\).
b. — \(\cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
c. — \(\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
d. — \(\cos \pi = -1\) : M est à l'opposé de I, tout à gauche du cercle.
e. — \(\sin\dfrac{3\pi}{2} = -1\) : M est tout en bas — le creux de la vague.
Conclusion : les valeurs de Première sont les points exacts des courbes de Terminale. Si l'une hésite, redessine le cercle.
EXERCICE 02 · périodicité et pariténiveau 1
Simplifie : a. \(\cos(x + 2\pi)\) ; b. \(\sin(-x)\) ; c. \(\cos(-x)\) ; d. \(\sin(x + 4\pi)\).
CORRIGÉ
a. — \(\cos(x + 2\pi) = \cos x\) : un tour complet, la périodicité.
b. — \(\sin(-x) = -\sin x\) : sinus est impaire.
c. — \(\cos(-x) = \cos x\) : cosinus est paire.
d. — \(\sin(x + 4\pi) = \sin x\) : deux tours complets — la période \(2\pi\) s'applique autant de fois qu'on veut.
Conclusion : quatre égalités, deux idées — le tour complet ne change rien, et le miroir ne change que le sinus.
EXERCICE 03 · premières dérivéesniveau 1
Dérive : a. \(f(x) = \sin x + \cos x\) ; b. \(g(x) = 3\sin x - 2\cos x\) ; c. \(h(x) = x + \sin x\).
CORRIGÉ
a. — \(f'(x) = \cos x - \sin x\) : chaque terme se dérive, et le signe moins vient de \((\cos x)' = -\sin x\).
b. — \(g'(x) = 3\cos x + 2\sin x\) : le \(-2\) multiplié par \(-\sin x\) donne \(+2\sin x\).
c. — \(h'(x) = 1 + \cos x\). Remarque au passage : \(h'(x) \geq 0\) partout — \(h\) est croissante sur \(\mathbb{R}\).
Conclusion : deux lignes nouvelles au tableau des dérivées, et une vigilance — le signe du \(-\sin x\).
EXERCICE 04 · produits et quotientsniveau 2
Dérive : a. \(f(x) = x\sin x\) ; b. \(g(x) = \cos^2 x\) ; c. \(h(x) = \dfrac{\sin x}{x}\) sur \(\left]0\;;\,+\infty\right[\).
CORRIGÉ
a. — produit : \(f'(x) = \sin x + x\cos x\).
b. — \(g = u^2\) avec \(u = \cos x\) : \(g'(x) = 2u'u = 2 \times (-\sin x) \times \cos x = -2\sin x \cos x\).
c. — quotient : \(h'(x) = \dfrac{x\cos x - \sin x}{x^2}\).
Conclusion : les règles de Première et la composée du chapitre précédent absorbent \(\sin\) et \(\cos\) sans broncher.
EXERCICE 05 · dérivées de composéesniveau 2
Dérive, en identifiant \(u\) d'abord : a. \(f(x) = \sin(2x)\) ; b. \(g(x) = \cos(3x)\) ; c. \(h(t) = \sin(\pi t)\).
b. — \(u = 3x\) : \(g'(x) = -3\sin(3x)\) — le signe moins du cosinus et le \(u'\).
c. — \(u = \pi t\), \(u' = \pi\) : \(h'(t) = \pi\cos(\pi t)\). C'est la forme des signaux en physique — \(\pi\) est un coefficient comme un autre.
Conclusion : le \(u'\) sort en facteur, l'intérieur ne bouge pas. Deux vérifications par dérivée : le facteur, et le signe.
EXERCICE 06 · sin x ≤ xniveau 2
a. Détermine la tangente à la courbe du sinus au point d'abscisse 0. b. On pose \(g(x) = x - \sin x\) : étudie le signe de \(g'\), puis montre que pour tout \(x \geq 0\), \(\sin x \leq x\).
CORRIGÉ
a. — \(\sin 0 = 0\), pente \(\cos 0 = 1\) : \(T : y = x\).
b. — \(g'(x) = 1 - \cos x \geq 0\) pour tout \(x\) (car \(\cos x \leq 1\)) : \(g\) est croissante sur \(\mathbb{R}\). Comme \(g(0) = 0\), on a \(g(x) \geq 0\) pour \(x \geq 0\), c'est-à-dire \(\sin x \leq x\).
Conclusion : sur \(\left[0\;;\,+\infty\right[\), la vague reste sous sa tangente en 0. Cette inégalité sert partout — encadrements, limites, gendarmes.
EXERCICE 07 · variationsniveau 2
Soit \(f(x) = 2\sin x - 1\) sur \(\left[0\;;\,2\pi\right]\). a. Calcule \(f'(x)\) et donne son signe. b. Dresse le tableau de variations de \(f\). c. Donne le maximum et le minimum de \(f\), et les points où ils sont atteints.
CORRIGÉ
a. — \(f'(x) = 2\cos x\) : positif sur \(\left[0\;;\,\frac{\pi}{2}\right[\), négatif sur \(\left]\frac{\pi}{2}\;;\,\frac{3\pi}{2}\right[\), positif ensuite.
b. — \(f\) croît de \(f(0) = -1\) à \(f\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\), décroît jusqu'à \(f\!\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -3\), puis remonte à \(f(2\pi) = -1\).
c. — Maximum \(1\), atteint en \(x = \frac{\pi}{2}\) ; minimum \(-3\), atteint en \(x = \frac{3\pi}{2}\).
Conclusion : le \(2\) étire la vague (amplitude 2), le \(-1\) la descend d'un cran — mais les abscisses des sommets ne bougent pas : elles appartiennent à \(\sin\).
EXERCICE 08 · étude de sin(2x)niveau 2
Soit \(f(x) = \sin(2x)\) sur \(\left[0\;;\,\pi\right]\). a. Calcule \(f'(x)\). b. Résous \(f'(x) = 0\) sur \(\left[0\;;\,\pi\right]\). c. Dresse le tableau de variations de \(f\). d. Quelle est la période de \(f\) ?
CORRIGÉ
a. — composée : \(f'(x) = 2\cos(2x)\).
b. — \(\cos(2x) = 0 \iff 2x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \iff x = \dfrac{\pi}{4} + k\dfrac{\pi}{2}\). Dans \(\left[0\;;\,\pi\right]\) : \(x = \dfrac{\pi}{4}\) et \(x = \dfrac{3\pi}{4}\).
c. — \(f\) croît de \(f(0) = 0\) à \(f\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1\), décroît jusqu'à \(f\!\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1\), puis remonte à \(f(\pi) = 0\).
d. — \(f(x + \pi) = \sin(2x + 2\pi) = \sin(2x) = f(x)\) : la période est \(\pi\). Le \(2\) dans le sinus fait tourner deux fois plus vite — la vague est deux fois plus serrée.
Conclusion : \(\sin(2x)\) vit une période complète sur \(\left[0\;;\,\pi\right]\) — tout le comportement de \(\sin\), en deux fois moins de place.
EXERCICE 09 · cos x = ½niveau 2
Résous \(\cos x = \dfrac{1}{2}\) : a. dans \(\mathbb{R}\) ; b. dans \(\left[0\;;\,2\pi\right[\).
b. — Dans \(\left[0\;;\,2\pi\right[\) : la première famille donne \(\dfrac{\pi}{3}\) (pour \(k = 0\)) ; la seconde donne \(-\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{3}\) (pour \(k = 1\)). Solutions : \(\left\{\dfrac{\pi}{3}\;;\,\dfrac{5\pi}{3}\right\}\).
Conclusion : deux points sur le cercle, deux solutions par tour. Le \(-\frac{\pi}{3}\) « hors intervalle » n'a pas disparu — il est revenu par la porte du \(+\,2\pi\).
EXERCICE 10 · sin x = −√2/2niveau 2
Résous \(\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) dans \(\left[0\;;\,2\pi\right[\).
Étape 3 — Dans \(\left[0\;;\,2\pi\right[\) : \(-\dfrac{\pi}{4} + 2\pi = \dfrac{7\pi}{4}\), et \(\dfrac{5\pi}{4}\). Solutions : \(\left\{\dfrac{5\pi}{4}\;;\,\dfrac{7\pi}{4}\right\}\) — les deux points du bas du cercle à l'ordonnée \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Conclusion : pour un sinus, la deuxième famille est \(\pi - \alpha\) — même avec un \(\alpha\) négatif, la formule s'applique telle quelle.
EXERCICE 11 · cos(2x) = ½niveau 2
Résous \(\cos(2x) = \dfrac{1}{2}\) dans \(\mathbb{R}\), puis donne les solutions dans \(\left[0\;;\,2\pi\right[\).
CORRIGÉ
Étape 1 — Pose \(X = 2x\) : \(\cos X = \dfrac{1}{2}\) donne \(X = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\).
Étape 2 — Divise tout par 2 — le \(2k\pi\) aussi : \(x = \pm\dfrac{\pi}{6} + k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).
Étape 3 — Dans \(\left[0\;;\,2\pi\right[\), chaque famille dépose deux valeurs : \(\dfrac{\pi}{6}\), \(\dfrac{7\pi}{6}\), et \(-\dfrac{\pi}{6} + \pi = \dfrac{5\pi}{6}\), \(\dfrac{11\pi}{6}\). Quatre solutions.
Conclusion : le \(2x\) tourne deux fois plus vite, donc deux fois plus de solutions par tour — et le \(+\,2k\pi\) devient \(+\,k\pi\) en divisant. C'est LA ligne à ne pas rater.
EXERCICE 12 · inéquationniveau 3
Résous l'inéquation \(\cos x \leq \dfrac{1}{2}\) sur \(\left[0\;;\,2\pi\right]\), en t'appuyant sur le cercle.
CORRIGÉ
Étape 1 — Frontières : \(\cos x = \dfrac{1}{2}\) en \(x = \dfrac{\pi}{3}\) et \(x = \dfrac{5\pi}{3}\) (exercice 09).
Étape 2 — Sur le cercle, \(\cos x \leq \dfrac{1}{2}\) correspond aux points d'abscisse au plus \(\frac{1}{2}\) : tout l'arc à gauche de la droite verticale, parcouru de \(\dfrac{\pi}{3}\) à \(\dfrac{5\pi}{3}\) dans le sens direct.
Conclusion : une inéquation trigonométrique se lit en arcs sur le cercle, pas en intervalles récités. Dessine, hachure, conclus.
EXERCICE 13 · parité et périodeniveau 3
Soit \(f(x) = \sin x \cos x\). a. Montre que \(f\) est impaire. b. Montre que \(f\) est périodique de période \(\pi\). c. Sur quel intervalle suffit-il alors d'étudier \(f\) ?
CORRIGÉ
a. — \(f(-x) = \sin(-x)\cos(-x) = (-\sin x)(\cos x) = -f(x)\) : impaire (le sinus apporte le signe, le cosinus n'en change pas).
b. — \(f(x + \pi) = \sin(x+\pi)\cos(x+\pi) = (-\sin x)(-\cos x) = f(x)\) : les deux signes moins se compensent. Période \(\pi\) — plus courte que celle de \(\sin\) et \(\cos\) eux-mêmes.
c. — Période \(\pi\) → un intervalle de longueur \(\pi\) suffit, par exemple \(\left[-\frac{\pi}{2}\;;\,\frac{\pi}{2}\right]\) ; l'imparité le coupe encore en deux : \(\left[0\;;\,\frac{\pi}{2}\right]\) suffit.
Conclusion : symétries d'abord, calculs ensuite — l'étude se réduit à un quart de tour. C'est tout l'intérêt de la section 3.
EXERCICE 14 · problèmeniveau 3
Dans un port, la hauteur d'eau (en mètres) est modélisée par \(h(t) = 5 + 3\cos\!\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)\), où \(t\) est l'heure, \(t \in \left[0\;;\,24\right]\). a. Montre que la marée est périodique de période 12 h. b. Donne la hauteur maximale, la hauteur minimale, et les heures où elles sont atteintes. c. Un voilier a besoin de 6,50 m d'eau : résous \(h(t) = 6{,}5\) et donne les heures exactes. d. À quelles heures la mer descend-elle le plus vite ?
CORRIGÉ
a. — \(h(t + 12) = 5 + 3\cos\!\left(\dfrac{\pi t}{6} + 2\pi\right) = h(t)\) : quand \(t\) gagne 12, l'angle gagne \(2\pi\). Période 12 h — deux marées hautes par jour.
b. — Le cosinus vaut 1 quand \(\dfrac{\pi t}{6} = 2k\pi\), soit \(t = 0\), \(12\), \(24\) : hauteur maximale \(5 + 3 = 8\) m. Il vaut \(-1\) en \(t = 6\) et \(18\) : hauteur minimale \(5 - 3 = 2\) m.
c. — \(h(t) = 6{,}5 \iff \cos\!\left(\dfrac{\pi t}{6}\right) = \dfrac{1}{2} \iff \dfrac{\pi t}{6} = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \iff t = \pm 2 + 12k\). Dans \(\left[0\;;\,24\right]\) : \(t = 2\), \(10\), \(14\), \(22\) — 2 h, 10 h, 14 h et 22 h.
d. — \(h'(t) = -\dfrac{\pi}{2}\sin\!\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)\), minimal quand \(\sin\!\left(\dfrac{\pi t}{6}\right) = 1\), c'est-à-dire \(\dfrac{\pi t}{6} = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\), soit \(t = 3\) et \(t = 15\). À mi-chemin entre marée haute et marée basse — le point d'inflexion de la courbe, comme au chapitre précédent.
Conclusion : période, extremums, équation, dérivée de composée — la marée fait travailler tout le chapitre, et le précédent en bonus.
VERS LE BAC — EXERCICE 15≈ 45 MIN · SANS CALCULATRICE
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\left[0\;;\,2\pi\right]\) par \(f(x) = \cos x + \dfrac{x}{2}\), et \(\mathcal{C}\) sa courbe représentative.
PARTIE A
Calcule \(f'(x)\), puis résous \(f'(x) = 0\) sur \(\left[0\;;\,2\pi\right]\).
Étudie le signe de \(f'\) et dresse le tableau de variations complet de \(f\) (valeurs exactes aux bornes et aux extremums).
Justifie que \(f(x) > 0\) pour tout \(x\) de \(\left[0\;;\,2\pi\right]\).
PARTIE B
Calcule \(f''(x)\).
Étudie la convexité de \(f\) sur \(\left[0\;;\,2\pi\right]\).
Donne les coordonnées des points d'inflexion de \(\mathcal{C}\).
CORRIGÉ — LES GRANDES ÉTAPES
A.1 — \(f'(x) = -\sin x + \dfrac{1}{2}\). \(f'(x) = 0 \iff \sin x = \dfrac{1}{2} \iff x = \dfrac{\pi}{6}\) ou \(x = \dfrac{5\pi}{6}\) (les deux familles, restreintes à \(\left[0\;;\,2\pi\right]\)).
A.2 — \(f' > 0\) quand \(\sin x < \dfrac{1}{2}\) : sur \(\left[0\;;\,\frac{\pi}{6}\right[\) et \(\left]\frac{5\pi}{6}\;;\,2\pi\right]\). \(f\) croît de \(f(0) = 1\) à \(f\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\pi}{12}\), décroît jusqu'à \(f\!\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{5\pi}{12}\), puis croît jusqu'à \(f(2\pi) = 1 + \pi\).
A.3 — Le minimum de \(f\) est le plus petit de \(f(0) = 1\) et \(f\!\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \dfrac{5\pi}{12} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Or \(\dfrac{5\pi}{12} > \dfrac{5 \times 3}{12} = \dfrac{5}{4}\) et \(\dfrac{\sqrt{3}}{2} < 1\) : donc \(f\!\left(\frac{5\pi}{6}\right) > \dfrac{5}{4} - 1 > 0\). Le minimum est strictement positif : \(f > 0\) partout.
B.1 — \(f''(x) = -\cos x\).
B.2 — \(f'' \geq 0 \iff \cos x \leq 0 \iff x \in \left[\frac{\pi}{2}\;;\,\frac{3\pi}{2}\right]\) : \(f\) est convexe sur cet intervalle, concave sur \(\left[0\;;\,\frac{\pi}{2}\right]\) et \(\left[\frac{3\pi}{2}\;;\,2\pi\right]\).
B.3 — \(f''\) s'annule en changeant de signe en \(\dfrac{\pi}{2}\) et \(\dfrac{3\pi}{2}\) : deux points d'inflexion, \(\left(\dfrac{\pi}{2}\;;\,\dfrac{\pi}{4}\right)\) et \(\left(\dfrac{3\pi}{2}\;;\,\dfrac{3\pi}{4}\right)\) (car le cosinus s'y annule).