Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Terminale Spé Maths

SOMMAIRE

1. La trajectoire du drone

Un drone de livraison décolle dans l'entrepôt. Sa position de passage est le point $A\,(1\;;\,1\;;\,1)$ — coordonnées en mètres, dans un repère de l'espace comme au chapitre sur les vecteurs. Sa consigne de vol tient en une ligne : chaque seconde, avancer du même vecteur $\vec u\,(2\;;\,1\;;\,1)$. Deux mètres en $x$, un en $y$, un en $z$ — cap constant, vitesse constante.

Où est-il au bout de 2 secondes ? Parti de $A$, il a avancé de $2\vec u$ : il est en $(1 + 4\;;\, 1 + 2\;;\, 1 + 2) = (5\;;\,3\;;\,3)$. À la demi-seconde $t = 0{,}5$ ? En $(2\;;\,1{,}5\;;\,1{,}5)$. Et à $t = -1$, une seconde avant son passage en $A$ ? En $A - \vec u = (-1\;;\,0\;;\,0)$. Tu sais déjà tout faire : point de départ plus $t$ fois le vecteur, coordonnée par coordonnée.

Le vol du drone : parti de $A$ (sa position à $t = 0$), il avance de $\vec u$ chaque seconde. Les points-témoins marquent les instants $t = -0{,}5$, $0$, $0{,}5$, $1$ et $1{,}5$ ; le point vif est sa position $M$ à $t = 0{,}75$, ramenée au sol par son fil à plomb.

Regarde la photo du vol : les positions successives s'alignent. Évidemment — avancer toujours du même vecteur, c'est rester sur une droite. Toute la nouveauté du chapitre tient dans ce renversement : une droite de l'espace n'est plus un trait posé là, c'est une trajectoire. Et pour se repérer dessus, un seul nombre suffit : l'instant $t$. Dire que $M$ est sur la trajectoire, c'est dire que $\overrightarrow{AM}$ est colinéaire à $\vec u$ — du pur chapitre espace :

$$\overrightarrow{AM} = t\,\vec u\,, \qquad t \in \mathbb{R}$$

2. Pilote le paramètre t

Reprends les commandes. Un seul réglage : l'instant $t$. Pousse-le au bout, reviens en arrière avant $t = 0$ — et regarde les trois coordonnées se recalculer, chacune sur sa ligne.

Ce que tu viens de faire à la main, voilà comment on l'écrit. À chaque instant $t$, la position du drone est $M(t) = (1 + 2t\;;\, 1 + t\;;\, 1 + t)$ : trois formules, un seul paramètre. Quand $t$ parcourt $\mathbb{R}$, $M$ décrit la droite entière — et ce petit système la décrit exactement.

DÉFINITION

Soit $A\,(x_A\;;\, y_A\;;\, z_A)$ un point de l'espace et $\vec u\,(a\;;\, b\;;\, c)$ un vecteur non nul. La droite $d$ passant par $A$ et dirigée par $\vec u$ est l'ensemble des points $M\,(x\;;\, y\;;\, z)$ pour lesquels il existe un réel $t$ tel que $\overrightarrow{AM} = t\,\vec u$. En coordonnées :

$$d\ :\ \begin{cases} x = x_A + t\,a \\ y = y_A + t\,b \\ z = z_A + t\,c \end{cases} \qquad t \in \mathbb{R}$$

Ce système est une représentation paramétrique de $d$, et $t$ est le paramètre. « Une », pas « la » : tu verras à la section 3 qu'une même droite en possède une infinité.

POURQUOI PAS UNE ÉQUATION CARTÉSIENNE ?

Dans le plan, une droite s'écrit avec une seule équation, comme $y = mx + p$. Dans l'espace, une équation du type $ax + by + cz + d = 0$ décrit… un plan — c'est tout le chapitre précédent. Une droite est un objet à une dimension dans un espace qui en a trois : pour la coincer, il faut deux équations (deux plans qui se coupent, section 5)… ou bien un paramètre pour la parcourir. La représentation paramétrique n'est pas un pis-aller, c'est l'outil naturel : une droite se parcourt.

MÉTHODE — ÉCRIRE UNE REPRÉSENTATION PARAMÉTRIQUE

1.Récupère un point $A$ et un vecteur directeur $\vec u$. Donnés par l'énoncé — ou, si la droite passe par deux points $A$ et $B$, calcule $\vec u = \overrightarrow{AB}$.

2.Écris les trois lignes $x = x_A + t\,a$, $y = y_A + t\,b$, $z = z_A + t\,c$ : constantes = le point, coefficients de $t$ = le vecteur.

3.Contrôle en deux secondes : $t = 0$ doit redonner $A$, et $t = 1$ doit donner $A + \vec u$ (le point $B$, si $\vec u = \overrightarrow{AB}$).

EXEMPLE RÉSOLU — DE DEUX POINTS AU SYSTÈME

Donne une représentation paramétrique de la droite $(AB)$, avec $A\,(2\;;\,0\;;\,1)$ et $B\,(3\;;\,2\;;\,0)$.

Étape 1 — Un vecteur directeur : $\overrightarrow{AB} = (3 - 2\;;\, 2 - 0\;;\, 0 - 1) = (1\;;\, 2\;;\, -1)$.

Étape 2 — Avec le point $A$ : $x = 2 + t$, $y = 2t$, $z = 1 - t$, pour $t \in \mathbb{R}$.

Étape 3 — Contrôle : $t = 0$ donne $(2\;;\,0\;;\,1) = A$ ✓ et $t = 1$ donne $(3\;;\,2\;;\,0) = B$ ✓.

Conclusion : un point, un vecteur, trois lignes — et le contrôle $t = 0$ / $t = 1$ attrape presque toutes les étourderies.

Q1Dans une représentation paramétrique, quand $t$ parcourt $\mathbb{R}$, le point $M(t)$ décrit…

Q2Avec $A\,(1\;;\,1\;;\,1)$ et $\vec u\,(2\;;\,1\;;\,1)$, le point de paramètre $t = 2$ est…

Q3Une droite de l'espace peut-elle s'écrire $ax + by + cz + d = 0$ ?

3. La carte d'identité d'une droite

Une représentation paramétrique ne se contemple pas : elle se lit. Les constantes donnent un point, les coefficients de $t$ donnent un vecteur directeur — la carte d'identité complète de la droite tient en trois lignes. Quatre manches pour vérifier que tu sais la lire, toutes sur la même droite.

Quel est un vecteur directeur de $d$ ?

MÉTHODE — VÉRIFIER QU'UN POINT EST SUR UNE DROITE

1.Résous en $t$ sur une ligne — choisis la plus simple (un coefficient 1, ou une ligne sans $t$ qui tranche immédiatement).

2.Reporte cette valeur de $t$ dans les deux autres lignes.

3.Tout colle → le point est sur la droite, et $t$ est son paramètre. Une seule ligne coince → il n'y est pas. Le même $t$ doit marcher partout.

PROPRIÉTÉ — LA REPRÉSENTATION N'EST JAMAIS UNIQUE

Une droite a une infinité de représentations paramétriques : n'importe lequel de ses points peut jouer le rôle de $A$, et n'importe quel vecteur $k\,\vec u$ (avec $k \neq 0$) peut la diriger. Pour reconnaître que deux systèmes décrivent la même droite : vecteurs directeurs colinéaires, et un point de l'une qui appartient à l'autre.

EXEMPLE RÉSOLU — LE MÊME t PARTOUT

Sur la droite $d$ du jeu ($x = 2 + 3t$, $y = 1 - t$, $z = 4$), les points $R\,(-4\;;\,3\;;\,4)$ et $S\,(5\;;\,0\;;\,1)$ sont-ils sur $d$ ?

Étape 1 — Pour $R$ : la ligne des $x$ donne $2 + 3t = -4$, soit $t = -2$. Report : $y = 1 - (-2) = 3$ ✓ et $z = 4$ ✓. Donc $R \in d$, avec le paramètre $-2$.

Étape 2 — Pour $S$ : la ligne des $z$ impose $z = 4$, or $S$ a $z = 1$. Inutile d'aller plus loin : $S \notin d$.

Conclusion : une seule valeur de $t$, validée sur les trois lignes — ou un refus net dès qu'une ligne bloque.

Q1Un vecteur directeur de $d : x = 1 - 2t,\; y = 3t,\; z = 2 + t$ est…

Q2Le point $P\,(3\;;\,-3\;;\,0)$ est-il sur cette même droite $d$ ?

Q3Les systèmes $x = 1 + 2t,\; y = -t,\; z = 3$ et $x = 3 + 4s,\; y = -1 - 2s,\; z = 3$ décrivent…

4. Où la droite perce le plan

Retour aux commandes. Face au drone, la baie vitrée du hall : le plan $P$ d'équation $x + y + z - 6 = 0$ — une équation cartésienne, comme au chapitre précédent. Question de pilotage : à quel instant la trajectoire touche-t-elle la vitre ? Trois plans de vol sont chargés. Pour chacun, fais courir $t$ et surveille $E(t)$, la valeur du premier membre de l'équation à la position du drone.

E(0,00) = −4,00

t = 0,00 M (1,00 ; 0,00 ; 1,00) E(t) ≠ 0 : M n’est pas sur le plan

Trois vols, trois destins — et à chaque fois, tout se joue sur une seule équation : celle qu'on obtient en injectant la trajectoire dans l'équation du plan. C'est la méthode la plus rentable du chapitre.

MÉTHODE — INTERSECTION D'UNE DROITE ET D'UN PLAN

1.Substitue : dans l'équation du plan, remplace $x$, $y$ et $z$ par leurs expressions en fonction de $t$. Il reste une équation d'inconnue $t$.

2.Résous-la.

3.Discute : une solution $t_0$ → sécants, et le point commun est $M(t_0)$, obtenu en reportant $t_0$ dans le système de la droite. Aucune solution → strictement parallèles. Toujours vraie → droite incluse dans le plan.

DROITE ∩ PLAN — LES TROIS CAS L'ÉQUATION EN t DÉCIDE

l'équation en $t$	position relative	points communs
$4t - 4 = 0$ (une solution)	$d$ et $P$ sécants	un point : $M(t_0)$
$-5 = 0$ (impossible)	$d$ strictement parallèle à $P$	aucun
$0 = 0$ (toujours vrai)	$d$ incluse dans $P$	toute la droite

EXEMPLE RÉSOLU — LE VOL SÉCANT, RÉDIGÉ EN ENTIER

Détermine l'intersection de $d : x = 1 + t,\; y = 2t,\; z = 1 + t$ et du plan $P : x + y + z - 6 = 0$.

Étape 1 — Substitution : $(1 + t) + 2t + (1 + t) - 6 = 0$, soit $4t - 4 = 0$.

Étape 2 — Une seule solution : $t = 1$.

Étape 3 — Report dans le système de $d$ : $M(1) = (2\;;\,2\;;\,2)$. Vérification dans l'équation de $P$ : $2 + 2 + 2 - 6 = 0$ ✓.

Conclusion : $d$ et $P$ sont sécants en $(2\;;\,2\;;\,2)$ — l'impact du premier vol, à l'instant $t = 1$.

À RETENIR

Droite ∩ plan : substituer, résoudre en $t$, discuter. Et si le $t$ disparaît, regarde la constante : $-5 = 0$ est impossible (parallèle stricte), $0 = 0$ est toujours vrai (droite incluse).

Q1Pour chercher l'intersection d'une droite (système en $t$) et d'un plan (équation cartésienne), on commence par…

Q2La substitution donne $2t - 4 = 0$. Alors…

Q3Après substitution et simplification, il reste $3 = 0$. Alors…

Q4Après substitution, il reste $0 = 0$. Alors…

5. Deux plans qui se coupent

Dans le hall, deux cloisons vitrées se rejoignent : leur arête commune est… une droite. C'est la deuxième façon de décrire une droite de l'espace, promise à la section 2 : l'ensemble des points qui vérifient deux équations de plans à la fois. Déplace $M$ le long de l'arête et surveille les deux équations — puis passe en mode « PARALLÈLES » pour voir ce qui arrive quand l'arête n'existe pas.

t = 2 → x = 1,00 · y = 1,00 · z = 2,00

M (1,00 ; 1,00 ; 2,00) x + y − 2 = 0,00 y + z − 3 = 0,00

PROPRIÉTÉ — POSITIONS RELATIVES DE DEUX PLANS

Soient deux plans de vecteurs normaux $\vec n_1$ et $\vec n_2$ (chapitre précédent).

Si $\vec n_1$ et $\vec n_2$ sont colinéaires, les plans sont parallèles — confondus si leurs équations sont proportionnelles, strictement parallèles sinon.

Sinon, les plans sont sécants, et leur intersection est une droite.

MÉTHODE — PARAMÉTRER L'INTERSECTION DE DEUX PLANS

1.Vérifie que les normales ne sont pas colinéaires — sinon, il n'y a rien à paramétrer.

2.Pose $z = t$ : une des trois inconnues devient le paramètre. (Si $z$ a un coefficient nul dans les deux équations, pose plutôt $x = t$ ou $y = t$.)

3.Résous le système des deux équations pour exprimer $x$ et $y$ en fonction de $t$.

4.Rassemble le système paramétrique obtenu, et contrôle en reportant dans les deux équations de départ.

EXEMPLE RÉSOLU — L'ARÊTE DU GRAPHIQUE, RÉDIGÉE

Détermine une représentation paramétrique de la droite d'intersection de $P_1 : x + y - 2 = 0$ et $P_2 : y + z - 3 = 0$.

Étape 1 — Normales $\vec n_1\,(1\;;\,1\;;\,0)$ et $\vec n_2\,(0\;;\,1\;;\,1)$ : non colinéaires (aucun réel $k$ ne donne $1 = k \times 0$ et $0 = k \times 1$ à la fois) — les plans sont sécants.

Étape 2 — Pose $z = t$. L'équation de $P_2$ donne $y = 3 - t$.

Étape 3 — Celle de $P_1$ donne $x = 2 - y = 2 - (3 - t) = t - 1$.

Étape 4 — $\Delta : x = t - 1,\; y = 3 - t,\; z = t$, pour $t \in \mathbb{R}$ — vecteur directeur $(1\;;\,-1\;;\,1)$. Contrôle : $(t - 1) + (3 - t) - 2 = 0$ ✓ et $(3 - t) + t - 3 = 0$ ✓, pour tout $t$.

Conclusion : deux équations, une droite — et son système paramétrique est prêt pour n'importe quel calcul de la section 4.

Q1Les plans $P : x + y - 2 = 0$ et $P' : 2x + 2y + 5 = 0$ sont…

Q2Deux plans sécants se coupent selon…

Q3Pour paramétrer la droite d'intersection de deux plans sécants, on commence par…

LES PIÈGES CLASSIQUES

Lire les coefficients de $t$ comme un point. C'est l'inverse : les constantes donnent un point (celui de $t = 0$), les coefficients de $t$ donnent un vecteur directeur. Dans $x = 2 + 3t$, le point commence par 2, la direction par 3. Relis colonne par colonne.

Vérifier une appartenance avec un $t$ différent par ligne. Trois lignes, une valeur de $t$ : on résout sur une ligne, on reporte dans les deux autres. Un point qui donne $t = 1$ en $x$ et $t = 2$ en $y$ n'est pas sur la droite.

Croire que deux systèmes différents décrivent deux droites différentes. La représentation n'est jamais unique : autre point de départ, directeur doublé… et c'est la même droite. Compare les directions (colinéaires ?), puis teste un point.

Chercher « l'équation cartésienne » d'une droite de l'espace. Une équation $ax + by + cz + d = 0$ décrit un plan. Une droite de l'espace se donne par un système paramétrique — ou par deux équations de plans sécants.

Conclure « parallèles » dès que le $t$ disparaît. Regarde la constante : $-5 = 0$ est impossible → parallèle stricte, mais $0 = 0$ est toujours vrai → droite incluse. Les deux cas commencent pareil et finissent très différemment.

L'ESSENTIEL EN 5 LIGNES

DROITE

$M(t) = A + t\,\vec u$ : le système $x = x_A + t\,a$, $y = y_A + t\,b$, $z = z_A + t\,c$, $t \in \mathbb{R}$ — une trajectoire pilotée par $t$.

LIRE

Constantes = un point de la droite ; coefficients de $t$ = un vecteur directeur (défini à un facteur près).

APPARTENIR

Résoudre $t$ sur une ligne, reporter dans les deux autres : le même $t$ doit vérifier les trois.

DROITE ∩ PLAN

Substituer dans l'équation du plan → équation en $t$ : une solution (sécants), aucune (parallèle stricte) ou toutes (incluse).

PLAN ∩ PLAN

Normales non colinéaires → une droite ; poser $z = t$, résoudre le système en $x$ et $y$.

Exercices

15 corrigés

Commence par le niveau 1. Cherche vraiment avant d'ouvrir le corrigé — c'est là que ça rentre. Les exercices suivent l'ordre du cours : écrire une représentation paramétrique, la lire et vérifier des appartenances, intersections droite-plan, intersections de deux plans, deux droites — et deux drones pour finir.

EXERCICE 01 · point + vecteur niveau 1

La droite $d$ passe par $A\,(2\;;\,-1\;;\,3)$ et est dirigée par $\vec u\,(1\;;\,4\;;\,-2)$. a. Donne une représentation paramétrique de $d$. b. Donne les coordonnées des points de paramètres $t = 2$ et $t = -1$.

EXERCICE 02 · par deux points niveau 1

Donne une représentation paramétrique de la droite $(AB)$, avec $A\,(1\;;\,2\;;\,0)$ et $B\,(3\;;\,1\;;\,4)$. Quel paramètre correspond à $A$ ? À $B$ ?

EXERCICE 03 · lire un système niveau 1

Soit $d : x = -1 + 3t,\; y = 2t,\; z = 5 - t$. a. Donne un point de $d$ et un vecteur directeur. b. Donne un deuxième point de $d$. c. Le vecteur $\vec v\,(-6\;;\,-4\;;\,2)$ dirige-t-il $d$ ?

EXERCICE 04 · appartenance niveau 2

Soit $d : x = 1 + 2t,\; y = 3 - t,\; z = 2 + t$. Les points $P\,(5\;;\,1\;;\,4)$ et $Q\,(7\;;\,0\;;\,4)$ appartiennent-ils à $d$ ?

EXERCICE 05 · même droite ? niveau 2

Montre que les systèmes $x = 1 + 2t,\; y = -t,\; z = 3 + t$ et $x = 5 - 4s,\; y = -2 + 2s,\; z = 5 - 2s$ représentent la même droite.

EXERCICE 06 · percer le sol niveau 2

En fin de tournée, le drone descend le long de $d : x = 2 + t,\; y = 1 + 2t,\; z = 6 - 2t$ (coordonnées en mètres, $t$ en secondes). a. À quel instant touche-t-il le sol ($z = 0$), et en quel point ? b. À quel instant passe-t-il à l'altitude 4 m, et où ?

EXERCICE 07 · droite ∩ plan niveau 1

Détermine l'intersection de $d : x = 1 + t,\; y = -1 + 2t,\; z = t$ et du plan $P : 2x - y + z - 4 = 0$.

EXERCICE 08 · parallèle stricte niveau 2

Montre que $d : x = 3 + t,\; y = 1 - t,\; z = 2 + 2t$ est strictement parallèle au plan $P : x + y - 2 = 0$.

EXERCICE 09 · droite incluse niveau 2

Montre que $d' : x = 1 + t,\; y = 1 - t,\; z = 4t$ est incluse dans le plan $P : x + y - 2 = 0$ (le même plan qu'à l'exercice 08).

EXERCICE 10 · avec un vecteur normal niveau 2

Le plan $P : x + 2y + 2z - 9 = 0$ — déjà croisé au chapitre précédent — et la droite $d : x = 1 + 2t,\; y = 1 + t,\; z = t$. a. Donne un vecteur normal de $P$. b. Détermine l'intersection de $d$ et de $P$.

EXERCICE 11 · plan ∩ plan niveau 2

Soient $P_1 : x - y + 2z - 3 = 0$ et $P_2 : y - z + 1 = 0$. a. Justifie que $P_1$ et $P_2$ sont sécants. b. Détermine une représentation paramétrique de leur droite d'intersection (pose $z = t$).

EXERCICE 12 · plans parallèles niveau 2

Trois plans : $P_1 : 2x - y + 3z - 1 = 0$, $P_2 : -4x + 2y - 6z + 5 = 0$ et $P_3 : -4x + 2y - 6z + 2 = 0$. Précise la position relative de $P_1$ et $P_2$, puis de $P_1$ et $P_3$.

EXERCICE 13 · deux droites niveau 3

Soient $d_1 : x = 1 + t,\; y = 2 - t,\; z = t$, puis $d_2 : x = 4 + 2s,\; y = 2 + s,\; z = 2 + s$ et $d_3 : x = 3 + 2s,\; y = -2 + s,\; z = 1 + s$. a. Montre que $d_1$ et $d_2$ sont sécantes et donne leur point commun. b. Montre que $d_1$ et $d_3$ ne sont ni parallèles ni sécantes. Comment appelle-t-on cette situation ?

EXERCICE 14 · problème : deux drones niveau 3

Deux drones de la flotte volent à la même altitude de croisière, 2 m. Position du premier à l'instant $t$ : $x = t,\; y = 1 + t,\; z = 2$. Position du second à l'instant $s$ : $x = -1 + s,\; y = 4 - s,\; z = 2$. a. Montre que leurs routes se coupent, et précise en quel point. b. Les horloges sont synchronisées ($t$ et $s$ comptent les mêmes secondes). Montre qu'il n'y a pas de collision. c. À l'instant 1, quelle distance sépare les deux drones ?

VERS LE BAC — EXERCICE 15 ≈ 45 MIN · SANS CALCULATRICE

$ABCDEFGH$ est un cube de côté 1. On se place dans le repère $(A\;;\, \overrightarrow{AB},\, \overrightarrow{AD},\, \overrightarrow{AE})$, dans lequel $B\,(1\;;\,0\;;\,0)$, $D\,(0\;;\,1\;;\,0)$, $E\,(0\;;\,0\;;\,1)$, $C\,(1\;;\,1\;;\,0)$ et $G\,(1\;;\,1\;;\,1)$. Au chapitre précédent, on a établi que le plan $(BDE)$ a pour équation $x + y + z - 1 = 0$ : on la donne.

PARTIE A

Vérifie que $x + y + z - 1 = 0$ est bien une équation du plan $(BDE)$. Pourquoi la vérification sur les trois points suffit-elle ?
Donne une représentation paramétrique de la droite $(AG)$.
Détermine les coordonnées du point $I$, intersection de $(AG)$ et du plan $(BDE)$, puis vérifie que $I$ est le centre de gravité du triangle $BDE$.

PARTIE B

On considère les plans $P_1 : x + z - 1 = 0$ et $P_2 : y + z - 1 = 0$. Justifie qu'ils sont sécants.
En posant $z = t$, détermine une représentation paramétrique de leur droite d'intersection $\Delta$.
Montre que $\Delta$ est la droite $(CE)$, et que le centre $\Omega\,\bigl(\tfrac{1}{2}\;;\,\tfrac{1}{2}\;;\,\tfrac{1}{2}\bigr)$ du cube appartient à $\Delta$.

CHAPITRE SUIVANT

La loi binomiale BIENTÔT

Un point pas clair ? Écris-moi.

l'équation en \(t\)	position relative	points communs
\(4t - 4 = 0\) (une solution)	\(d\) et \(P\) sécants	un point : \(M(t_0)\)
\(-5 = 0\) (impossible)	\(d\) strictement parallèle à \(P\)	aucun
\(0 = 0\) (toujours vrai)	\(d\) incluse dans \(P\)	toute la droite